{"id":1892,"date":"2010-11-28T18:39:34","date_gmt":"2010-11-28T21:39:34","guid":{"rendered":"http:\/\/scienceblogs.com.br\/100nexos\/2010\/11\/em_que_provamos_que_4\/"},"modified":"2010-11-28T18:39:34","modified_gmt":"2010-11-28T21:39:34","slug":"em_que_provamos_que_4","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/100nexos\/2010\/11\/28\/em_que_provamos_que_4\/","title":{"rendered":"Em que provamos que \u03c0=4"},"content":{"rendered":"

\"provapi4\"<\/p>\n

Voc\u00ea consegue descobrir a falha no argumento acima? H\u00e1 muitas formas de entender como repetir a remo\u00e7\u00e3o de cantos n\u00e3o leva realmente ao comprimento de um c\u00edrculo, incluindo aquela que se resume a repetir como remover cantos desta forma s\u00f3 lhe deixar\u00e1 com mais cantos, mas \u201cvoc\u00ea sempre vai ter espa\u00e7o pra fazer mais uma dobrinha nas quinas do quadrado, com apenas a ponta encostando no circulo, mas sempre com uma quina que n\u00e3o encosta. E voc\u00ea s\u00f3 diminui a distancia entre a quina e o circulo, mas sempre vai ter a quina ,ent\u00e3o nunca vai encostar em todo o per\u00edmetro\u201d, como notou o girino<\/strong><\/a>.<\/p>\n

Essa explica\u00e7\u00e3o lhe satisfaz? Pois bem, ent\u00e3o por que o m\u00e9todo de Arquimedes<\/strong> sim funciona? H\u00e1 mais de dois mil\u00eanios, o matem\u00e1tico grego foi o primeiro ser humano na hist\u00f3ria conhecida a aproximar o valor de pi<\/em> por um m\u00e9todo matematicamente rigoroso que poderia fornecer uma aproxima\u00e7\u00e3o com a precis\u00e3o que se desejasse.<\/p>\n

Atrav\u00e9s de pol\u00edgonos inscritos e circunscritos com n\u00fameros cada vez maiores de lados, Arquimedes p\u00f4de estimar esta elusiva constante matem\u00e1tica com as t\u00e9cnicas geom\u00e9tricas simples de que dispunha para pol\u00edgonos regulares. Clique na imagem abaixo para um gr\u00e1fico interativo<\/a>, e aumente o n\u00famero de lados do pol\u00edgono para obter aproxima\u00e7\u00f5es cada vez melhores de pi.<\/p>\n

\"arquimedespi\"<\/a><\/p>\n

Pois bem, isto n\u00e3o parece muito diferente do m\u00e9todo trollface. Voc\u00ea consegue explicar por que um m\u00e9todo funciona e o outro, n\u00e3o?<\/p>\n

Uma forma de enxergar o problema \u00e9 perceber, como notou o Ricbit<\/strong><\/a>, que o m\u00e9todo trollface de obter o valor do pi<\/em> poderia gerar um valor arbitr\u00e1rio. Voc\u00ea poderia desenhar uma estrela, e ent\u00e3o desenhar estrelas cada vez menores, sempre mais pr\u00f3ximas do per\u00edmetro do c\u00edrculo. Ao infinito, voc\u00ea poderia ter algo que de longe pareceria um c\u00edrculo. Mas o per\u00edmetro deste objeto poderia ser maior que 4, de fato, poderia ter um comprimento arbitr\u00e1rio, mesmo\u2026 infinito. E, pelo visto, mais pessoas perceberam isto<\/a>.<\/p>\n

\u00c9 o problema de medir a costa da Bretanha<\/a>. A aproxima\u00e7\u00e3o de Arquimedes tende a um limite que \u00e9 tanto um c\u00edrculo como equivale ao per\u00edmetro de um c\u00edrculo, ao contr\u00e1rio do m\u00e9todo trollface<\/em>. Agora, aqui est\u00e1 o detalhe fabuloso: o m\u00e9todo trollface pode ter comprimento arbitr\u00e1rio, mas sim tende a um limite que \u00e9 um c\u00edrculo!<\/a> Como?<\/p>\n

\u201cA converg\u00eancia de pontos de curvas n\u00e3o implica que seus comprimentos convirjam ao limite do comprimento. Imagine um humano caminhando em uma estrada reta por 1km da seguinte forma: ele d\u00e1 dois passos para frente, um passo para tr\u00e1s, e ent\u00e3o repete o procedimento. Ao final ele ter\u00e1 caminhado 3km ao inv\u00e9s de 1km. Se fizermos o humano e seus passos cada vez menores, seu movimento parecer\u00e1 cada vez mais cont\u00ednuo a um observador externo, mas ele ainda ter\u00e1 caminhado 3km ao inv\u00e9s de 1km\u201d, explica um coment\u00e1rio em Hacker News<\/a>. \u201cOu alternativamente (se quisermos adentrar o espa\u00e7o bidimensional) ele poderia dar uma passo \u00e0 esquerda, ent\u00e3o \u00e0 frente, e ent\u00e3o \u00e0 direita; isto faria com que seu caminho parecesse uma trilha fina que se aproximasse cada vez mais de uma linha reta, mas sempre seria tr\u00eas vezes mais comprido. Algo assim est\u00e1 acontecendo na brincadeira original\u201d.<\/p>\n

Em que percebemos que \u00e9 poss\u00edvel construir um c\u00edrculo com uma linha de comprimento infinito, sem com isso demonstrar que o valor de pi tenha um valor muito diferente daquele estimado por Arquimedes h\u00e1 um par de mil\u00eanios. Se isso parece inusitado, a matem\u00e1tica ainda reserva surpresas como o paradoxo de Banach-Tarski<\/a>.<\/p>\n

\"400px-Trollface_More_HD\"<\/p>\n

PS.: Por favor, corrijam quaisquer sacril\u00e9gios matem\u00e1ticos cometidos neste post.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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