{"id":409,"date":"2009-08-13T08:11:22","date_gmt":"2009-08-13T11:11:22","guid":{"rendered":"http:\/\/scienceblogs.com.br\/cretinas\/2009\/08\/empactoando_poliedros\/"},"modified":"2009-08-13T08:11:22","modified_gmt":"2009-08-13T11:11:22","slug":"empactoando_poliedros","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/cretinas\/2009\/08\/13\/empactoando_poliedros\/","title":{"rendered":"Acima, como abaixo"},"content":{"rendered":"<p>A <em>Nature<\/em> que circula esta semana traz um artigo sobre o melhor m\u00e9todo de realizar o &#8220;empacotamento denso&#8221; de s\u00f3lidos plat\u00f4nicos (os formados por pol\u00edgionos regulares, e que voc\u00ea provavelmente estudou\/est\u00e1 estudando\/vai estudar no ensino m\u00e9dio) e arquimedianos (formados por dois ou mais tipos de pol\u00edgonos regulares). Quabndo bati o olho na hist\u00f3ria, pensei: <em>que legal<\/em>! E, logo em seguida, assaltou-me a d\u00favida: como <em>explico<\/em> que \u00e9 legal?<br \/>\nCome\u00e7ando pelo come\u00e7o: &#8220;empacotamento denso&#8221; significa a melhor forma de junta um determinado conjunto de objetos num espa\u00e7o de modo que a maior fra\u00e7\u00e3o poss\u00edvel do espa\u00e7o seja ocupada pelos pr\u00f3prios objetos.<br \/>\nCubos ou paralelep\u00edpedos t\u00eam uma densidade de empacotamento de 100%. Idealmente, \u00e9 poss\u00edvel empilh\u00e1-los sem deixar nenhum espa\u00e7o entre eles. J\u00e1 esferas e icosaedros, por exemplo, s\u00e3o casos \u00e0 parte.<br \/>\nO empacotamento de esferas, ali\u00e1s, \u00e9 um problema matem\u00e1tico cl\u00e1ssico. At\u00e9 Kepler, o das tr\u00eas leis, chegou a elaborar uma conjectura a respeito do modo mais eficiente de juntar esferas num espa\u00e7o tridimensional. O problema \u00e9 mais complexo do que parece: uma prova da conjectura, apresentada em 2005, <em>ao que tudo indica<\/em> n\u00e3o tem falhas. Se a conjectura estiver correta, o empacotamento mais denso poss\u00edvel de esferas gera um aproveitamento do espa\u00e7o da ordem de pi\/SQR 18, ou 74%.<br \/>\nNo artigo da <em>Nature<\/em>, que tem como autor principal o engenheiro e matem\u00e1tico Salvatore Torquato, da Universidade de Princeton, s\u00e3o apresentados empacotamentos que superam os 90%, para o dodecadedro e o octaedro.<br \/>\nO caso do dodecaedro \u00e9 especialmente interessante porque essa \u00e9 a forma que esferas empacotadas assumem quando se permite que elas se expandam \u00e0 vontade, encontrando como barreira apenas a rigidez das esferas ao redor. Em duas dimens\u00f5es, isso \u00e9 o que ocorre com c\u00edrculos, que acabam deformados em hex\u00e1gonos &#8212; da\u00ed o formato dos favos de mel.<br \/>\nA conclus\u00e3o do artigo de Torquato \u00e9 uma generaliza\u00e7\u00e3o da conjectura de Kepler para todos os s\u00f3lidos plat\u00f4nicos ou arquimedianos dotados de simetria central &#8212; isto \u00e9, dotados de um centro que divide exatamente ao meio todas as linhas que unem pontos opostos da superf\u00edcie. Essa generaliza\u00e7\u00e3o diz que o modo mais eficiente que obter os empacotamentos \u00e9 por &#8220;treli\u00e7a&#8221;.<br \/>\n&#8220;O modo mais f\u00e1cil de explicar a treli\u00e7a \u00e9 no caso de esferas&#8221;, escreveu Torquato, depois de consultado, via e-mail, por este blog. &#8220;Um empacotamento de esferas por treli\u00e7a significa que \u00e9 poss\u00edvel dividir o espa\u00e7o em c\u00e9lulas, ou unidades repetidas, id\u00eanticas, que cont\u00eam exatamente uma esfera. Cada esfera no empacotamento infinito pode ser vista como tendo uma c\u00e9lula associada a si. Essas c\u00e9lulas s\u00e3o as menores unidades repetidas que permitem realizar o empacotamento. Em empacotamentos sem treli\u00e7a, as unidades repetidas s\u00e3o mais complexas, porque cont\u00eam duas ou mais esferas, arranjadas de um modo mais complicado&#8221;.<br \/>\nE o que h\u00e1 de legal nisso? Bom, se voc\u00ea ainda precisa perguntar, fico surpreso que tenha lido a postagem at\u00e9 aqui. Mas respondo, mesmo assim: essa quest\u00e3o do empacotamento \u00e9 mais uma evid\u00eancia do que j\u00e1 foi chamado de a &#8220;nada razo\u00e1vel aplicabilidade da matem\u00e1tica \u00e0s ci\u00eancias f\u00edsicas&#8221;. Tratado de modo abstrato, o problema do empacotamento denso oferece dados importantes para situa\u00e7\u00f5es que v\u00e3o desde a melhor forma de guardar latinhas de cerveja na geladeira \u00e0 organiza\u00e7\u00e3o de sementes numa vagem, c\u00e9lulas num corpo, \u00e1tomos numa estrela.<br \/>\nO velho Hermes Trimegisto n\u00e3o estava <em>t\u00e3o<\/em> errado assim, afinal.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>A Nature que circula esta semana traz um artigo sobre o melhor m\u00e9todo de realizar o &#8220;empacotamento denso&#8221; de s\u00f3lidos plat\u00f4nicos (os formados por pol\u00edgionos regulares, e que voc\u00ea provavelmente estudou\/est\u00e1 estudando\/vai estudar no ensino m\u00e9dio) e arquimedianos (formados por dois ou mais tipos de pol\u00edgonos regulares). 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