[Enigma] O Verme no Elástico

Um pequeno verme rasteja sobre um elástico que tem 1 metro de comprimento. O animáculo começa em uma das extremidades e segue ao ritmo de 1 centímetro por minuto. Infelizmente, ao fim de cada minuto, um mecanismo programado estica (uniforme e intantaneamente) o elástico, adicionando mais um metro ao seu comprimento. Sendo brasileiro, nosso vermezinho não desiste nunca e continua a rastejar. Mas será que ele vai conseguir chegar à outra ponta do elástico?

OBS: Considere que o mecanismo esticador seja ideal como uma Máquina de Turing. Considere, também, que o elástico seja indefinidamente, hã… elástico! Considere, outrossim, condições normais de temperatura e pressão. E last but not least: nenhum verme foi esmagado nesse experimento.

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  • rafinha.bianchin

    Não entendi: tem um fator não especificado que interfere completamente no desenvolvimento da resposta: sendo o verme um ser não proveniente das Terras Altas (considero isso por ser muito improvável que haja vermes por lá) e que não possa se alimentar de ar, nem de borracha (nunca houvi falar de um ser que possa converter C15H23 em algum alimento aproveitável), como ele poderá andar indefinidamente, como o problema deixa explícito, sem antes vir a falecer?
    [Brincadeira]

    Acredito que, realmente, o nosso pequeno... cobaia, nunca irá chegar à outra "extremidade" (nunca vi um objeto fechado com extremidades, pontos sim, mas ok", pois as duas variáveis andam de maneiras diferentes. O caminhar do verme pode ser expressado pela função afim y=x sendo y a distância percorrida (em cm) e x a variável tempo (em s, naturalmente). O alongamento do elástico, porém, é representado por y'=100x, considerando os mesmos significados dados à outra função. Como o coeficiente angular (i.e., tangente) da segunda função é maior que o da primeira, vemos que essa "cresce" mais "rápido" que a função do verme. Ou seja: o animalzinho não consegue acompanhar o crescimento do elástico, muito menos ultrapassar a velocidade deste.

    Agora, troca o elástico por uma fita de möebius (a trema tá no lugar certo?) e vamos ver o que acontece!

    • Renato Pincelli

      Hmm, uma fita de Möebius seria bem interessante nesse caso. E sim, nosso vermezinho, além de brasileiro que não desiste nunca, também é Highlander!

      No entanto, creio que a escolha da ilutração do post foi meio infeliz. O que eu queria ilustrar era um elástico um pouco mais largo, capaz de receber nosso animalzinho e não necessariamente um elástico fechado, tipo pulseira. Se bem que, pulseira ou 'banda' elástica, o importante é que ela é constantemente esticada.

  • rafinha.bianchin

    "Acredito que, realmente, o nosso pequeno… cobaia, nunca irá chegar à outra “extremidade” (nunca vi um objeto fechado com extremidades, pontos sim, mas ok”, pois... "
    deveria haver um parenteses fechado após o "ok".

  • rafinha.bianchin

    E, claro, por que tu comparou o preciso equipamento com uma máquina de turing? Uma máquina de Carnot ou a equação de Clapeyron funcionam muito melhor em situações hipotéticamente "irreais" (digo, ideais) que uma "máquina de Turing".

    (PS.: O único comando que conheço do DOS é o "exit". Amo termodinâmica)

    • Renato Pincelli

      *FACEPALM* Vergonha alheia de mim mesmo por não me lembrar da máquina de Carnot como máquina ideal. Mas vocês entendem o espírito da coisa, certo? É um enigmático experimento mental.

  • Igor Santos

    Será o elástico uma analogia à superinflação do Universo enquanto o verme representa a luz?
    Se a velocidade do bicho é 0,01m/min e a expansão do espaço é 1m/min, então o verme não tem a menor chance de chegar ao "fim", pois a cada centímetro que ele anda rasteja, cem novos centímetros aparecem à sua frente.

  • Vitor

    Esse esticamento é feito em uma das pontas ou em ambas simultaneamente?

    • Renato Pincelli

      Em uma das pontas, Vitor.

  • girino

    Não sei se fiz as contas certos, mas considerando que a cada minuto o verme anda 1cm, e é "levado pra frente" pela esticada do elástico de distancia proporcional ao tanto que o elastico esticou, no primeiro minuto ele anda 1cm e é levado pra frente de 1 vez a distancia andada (o elastico aumenta de 1 para 2 m, então dobra de tamanho). Na segunda passada ele anda mais 1cm e é levado pra frente de 3cm * (1m/2m) = 3cm + 3cm/2. Chamando o minuto de n, e a distancia percorrida de d(n) temos que d(n) = (d(n-1) + 1) * (1 + 1/n).

    Como não lembro mais PN de resolver equações recorrentes, pedi pro wolfram alpha e ele me disse que a solução pra essa equação de recorencia com d(0) = 0, d(1) = 2 e d(2) = 9/2 é "d(n) = (n+1) (polygamma(0, n+1)+gamma)".

    Sabendo também que o tamanho do elástico no momento n vai ser 100cm + 100cm * n (1m + 1m por minuto), pedi pro wolfram alpha resolver (100 +100n) = (n+1) (polygamma(0, n+1)+gamma) e ele me disse que a solução é -1. Como o momento -1 não existe no nosso problema, creio que o verme nunca vai encontrar o fim do elástico.

    Mas como eu disse, posso estar errado e ter confiado demais no wolfram alpha!

  • girino

    Acho que tinha conta errada ali mesmo. Tentei outra abordagem: Na primeira passada o verme anda 1/100 do elastico. Quando ele estica, se mantem na posição de 1/100, então não preciso ajustar nada nas esticadas igual fiz na tentativa anterior. Na segunda esticada, ele anda 1/200, depois 1/300, etc. Então a distancia andada, em relação ao tamanho do elástico fica sendo: sum(1/(100n)).

    Essa série diverge, então ele com certeza, em algum momento, chega no final do elástico.

    Como essa solução é mais fácil, acho que ela tá mais certa 😀

  • Marcos

    Observa-se que para cada minuto o elástico aumenta 1 metro de comprimento. Após 100 min, o elástico terá aumentado 100 m e o verme terá percorrido 1 m, o percurso restante é dado pela diferença (aumento do elástico) – (distância percorrida). Porém, é importante notar que dado um tempo (t) o elástico terá aumentado (t) metros e o verme terá percorrido (t)/10², ou seja, a diferença nunca será 0. Portanto o verme não chegará à outra extremidade do elástico.

  • girino

    Não sei qual foi o erro da primeira vez, mas tentei de novo usar o wolfram alpha e agora ele me deu que d(n) = (1 + n) H_n onde H é o n-ésimo numero harmonico. As soluções que ele me dava para (100+100n) = d(n) = (1 + n) H_n ainda eram negativas, mas mudando para : 1 = (1 + n) H_n/ (100 + 100n) me deu a solução n ~~ 1.50926886221138×10^43...

    Então acho que o problema era só do "range" onde ele procurava a solução. As duas soluções dizem que o verme chega no final! Viva o verme!

  • André Souza

    Depende muito....O verme tb é elástico como a fita?Se for e estiver perfeitamente aderido, ele esticaria junto com a fita elástica e, com o tamanho esticado na mesma proporção, ele percorreria um espaço da mesma proporção...Como se a fita fosse um universo e, como o verme está inserido neste mesmo universo, as forças que atuam na fita também atuariam no verme...

    Se o verme não for elástico, graças a este esticamento, o verme também "acelera": Basta ver que no final do 1º minuto, antes do esticamento,ele terá andado quase 1 cm. Já no final do 2º minuto, tb antes do esticamento, ele terá andado quase 3 cm (o 1 cm inicial esticado mais o 1 cm que ele andou). Não fiz o cálculo, mas acho que é possível o verme chegar ao final da fita, ainda que demore bastante

  • André Souza

    girino...Se seu cálculo estiver correto, a solução seria o verme colapsar em si mesmo, formando uma singularidade e contrabalançando o esticamento enquanto se move...
    Pode isto, Arnaldo?

  • André Souza

    Outra coisa...Se o elástico aumenta indefinidamente, chega um momento que o aumento de um metro é proporcionalmente irrelevante ( ex 100km e 100,001 km). Em compensação, todo movimento passado do verme é aumentado prorporcionalmente, enquanto o movimento presente é diminuído...Algo como, se a cada minuto, ele desse passos cada vez menores, e, ao mesmo tempo, a cada minuto ele avançasse ainda mais.
    Ou seja, ele sempre avança, apesar de cada vez menos. Dado um tempo infinito, ele eventualmente escapa do elástico

  • Igor Santos

    O problema diz que o verme anda a 1cm/min e não diz nada sobre recursões ou dilatação. Se o elástico passa a ter, instantaneamente um metro a mais, o espaço percorrido pelo verme continua (já que ele não pode ser arrastado enquanto desliza, por causa da instantaneidade do crescimento) e a taxa de 1cm/min se mantém.

  • André Souza

    Igor..Acho que depende de como o verme se move e do coeficiente de atrito entre o verme e o elástico...Tipo..Se ele não usa um muco para facilitar o rastejamento, o atrito é maior e ele pode ser arrastado ao esticar a fita.
    Se ele usa muco, como o atrito é menor, ele não seria arrastado...Mas peraí: Se a fita é esticada e o muco dilatado, significa que o o muco se torna menos denso e, portanto, pode acabar permitindo o atrito entre o verme e a fita...

    seria mais fácil se , em vez de esticada, a fita fosse rígida e fosse emendado um metro de fita a mais a cada minuto

  • O Verme no Elástico | hypercubic

    [...] rasteja lentamente sobre um elástico cujo comprimento aumenta, pois é constantemente esticado (vide as condições). Será que, mesmo assim, ele consegue chegar ao fim do [...]

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