{"id":5021,"date":"2013-02-21T23:00:25","date_gmt":"2013-02-22T02:00:25","guid":{"rendered":"http:\/\/scienceblogs.com.br\/hypercubic\/?p=5021"},"modified":"2013-02-21T23:00:25","modified_gmt":"2013-02-22T02:00:25","slug":"ano-em-escala","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/hypercubic\/2013\/02\/ano-em-escala\/","title":{"rendered":"Ano em escala"},"content":{"rendered":"

\"image_thumb.png\"<\/a>No enigma publicado no come\u00e7o da semana<\/a>, nos vimos diante de um modelo em escala do sistema solar no qual a Unidade Astron\u00f4mica equivale a um metro. Uma crian\u00e7a pergunta qual seria a dura\u00e7\u00e3o de um ano para a Terra do modelo. E ent\u00e3o: um ano pode ser reduzido em escala?<\/span><\/p>\n

Solu\u00e7\u00f5es dos leitores<\/span><\/h3>\n

Nove<\/span> Onze coment\u00e1rios (dois dos quais via Facebook) discutiram o problema. O franco<\/a> abriu os trabalhos e considerou que bastaria calcular a circunfer\u00eancia da \u00f3rbita do modelo:<\/span><\/p>\n

\n

\u201cdura\u00e7\u00e3o\u201d do ano em metros = 1. pi = 3,14 metros.
\ndivide-se isso por 365,25 e temos o valor do dia em \u201cmetros\u201d.<\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

Mais tarde o KK<\/a> cometeria praticamente o mesmo erro, talvez por confudirem ano com transla\u00e7\u00e3o. Ambos consideraram, de forma parecida, que um ano em escala seria apenas a trajet\u00f3ria, devidamente reduzida, do planeta ao redor do sol. no modelo em quest\u00e3o. Pensaram espacialmente. Mas o que queremos saber \u00e9 se d\u00e1 pra reduzir a dura\u00e7\u00e3o temporal<\/em> de uma transla\u00e7\u00e3o.<\/span><\/p>\n

O Sergio Murilo<\/a> considera que n\u00e3o haveria diferen\u00e7a alguma na dura\u00e7\u00e3o do ano:<\/span><\/p>\n

\n

Eu diria que um ano nessa escala duraria um ano\u2026 O que mudaria, por causa da escala, seria a velocidade aparente do movimento da Terra em torno do Sol.<\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

O sempre prolixo rafinha.bianchin atuou como um moderador n\u00e3o-autorizado ao apresentar r\u00e9plicas a alguns coment\u00e1rios. Depois, fez suas considera\u00e7\u00f5es<\/a>, que podem ser vistas como um desenvolvimento da teoria do Sergio:<\/span><\/p>\n

\n

Ok, vamos aproximar a transla\u00e7\u00e3o para um c\u00edrculo, j\u00e1 que apenas a dist\u00e2ncia m\u00e9dia \u00e9 de 1 m. O comprimento total \u00e9 de aproximadamente 6,28 m. A velocidade linear da Terra \u00e9, em m\u00e9dia, 108,88 km\/h.
\nRodando 360\u00b0 em 365 dias, temos 0,9863\u00b0\/dia de velocidade angular. Se esta velocidade fosse a mesma na maquete, um ano duraria\u2026 um ano!<\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

Na mosca! N\u00e3o faz diferen\u00e7a. Sendo tudo o mais proporcionalmente reduzido (inclusive a velocidade de transla\u00e7\u00e3o), a dura\u00e7\u00e3o do ano seria a mesma tanto na maquete quanto no sistema solar real. O problema \u00e9 realmente simples, por\u00e9m contraintuitivo. Tendemos a achar, um tanto infantilmente, que uma menor dist\u00e2ncia a percorrer significa menos tempo de viagem. Isso nem sempre \u00e9 verdade.<\/span><\/p>\n

Solu\u00e7\u00e3o \u201coficial\u201d<\/span><\/h3>\n

Mais uma vez, retiramos nosso enigma da obra 200 Puzzling Physics Problems<\/em> (Peter Gn\u00e4dig et. al.,<\/em> Londres, 2000). Eis a solu\u00e7\u00e3o apresentada no livro:<\/span><\/p>\n

\n

Iguale a for\u00e7a de atra\u00e7\u00e3o entre a Terra e o Sol \u00e0 for\u00e7a centr\u00edpeta que [no modelo em escala] mant\u00e9m a Terra em sua \u00f3rbita aproximadamente circular e expresse a velocidade angular \u03c9<\/strong> em termos de T<\/strong>, o per\u00edodo da revolu\u00e7\u00e3o. Isso d\u00e1 <\/span><\/p>\n

\"image\"<\/span><\/a><\/p>\n

onde M e m s\u00e3o, respectivamente, as massas do Sol e da Terra e r a dist\u00e2ncia m\u00e9dia entre eles. Divida por m e expresse M em termos da densidade m\u00e9dia \u03c1<\/strong> e raio R<\/strong> do Sol. Assim:<\/span><\/p>\n

\"image\"<\/span><\/a><\/p>\n

Isso leva a<\/span><\/p>\n

\"image\"<\/span><\/a><\/p>\n

para o per\u00edodo da revolu\u00e7\u00e3o.<\/span><\/p>\n

Podemos ver que o per\u00edodo de rota\u00e7\u00e3o da Terra depende apenas da constante gravitacional G<\/strong>, da densidade m\u00e9dia do Sol e da raz\u00e3o r\/R<\/strong>. Portanto, se a densidade da mat\u00e9ria mant\u00e9m-se constante, qualquer escalonamento do sistema solar deixa inalterada a dura\u00e7\u00e3o de um ano. Pode-se ver tamb\u00e9m que apenas o tamanho e a densidade do Sol s\u00e3o relevantes. Os dados da Terra n\u00e3o s\u00e3o. Qualquer corpo que seja pequeno em tamanho relativo ao Sol teria o mesmo per\u00edodo e seguiria a mesma \u00f3rbita [da Terra].<\/span><\/p>\n

Nota<\/strong>: esse resultado tamb\u00e9m pode ser obtido com o uso da Terceira Lei de Kepler: T\u00b2\/a\u00b3 = 4\u03c0\u00b2\/GM<\/strong>, onde a<\/strong> \u00e9 o semi-eixo maior da \u00f3rbita el\u00edptica da Terra. Se a massa solar \u00e9 expressa em termos de sua densidade m\u00e9dia, ent\u00e3o fica claro que uma redu\u00e7\u00e3o proporcional n\u00e3o altera o per\u00edodo dos planetas em \u00f3rbitas el\u00edpticas.<\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

A n\u00e3o ser que estejamos diante de uma crian\u00e7a-prod\u00edgio, essa n\u00e3o \u00e9, evidentemente, a melhor maneira de responder \u00e0 curiosidade infantil. Quem melhor conseguiu uma resposta simultaneamente simples e correta foi o Igor<\/a>, com sua analogia do distanciamento:<\/span><\/p>\n

\n

Reduzir em escala \u00e9 o mesmo que aumentar a dist\u00e2ncia entre o observador e o objeto.
\nImaginando que a maquete \u00e9 o sistema solar e o observador est\u00e1 a uma dist\u00e2ncia suficiente para que a Terra pare\u00e7a estar a um metro do Sol, um ano vai continuar durando um ano mas a velocidade (que \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o do espa\u00e7o percorrido sobre o tempo decorrido) de transla\u00e7\u00e3o ser\u00e1 consideravelmente menor.<\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

No entanto, h\u00e1 um por\u00e9m<\/a>, segundo o nosso vizinho de cerca blogu\u00edstico<\/a>:<\/span><\/p>\n

\n

Considerando a dica: se as massas forem as mesmas e a dist\u00e2ncia real for um metro, esse sistema rapidamente se tornar\u00e1 um corpo s\u00f3 e algum tipo de explos\u00e3o at\u00f4mica se dar\u00e1. Algo como uma mini-supernova que, ao se deslocar com pouco menos que a velocidade da luz, far\u00e1 com que o tempo dentro de sua esfera de observa\u00e7\u00e3o pare\u00e7a praticamente infinito.
\nDesta forma, o que conhecemos como \u201cum ano\u201d, demoraria uma eternidade ao inv\u00e9s das oito mil e tantas horas tradicionais.<\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

Igor, parab\u00e9ns pela aten\u00e7\u00e3o \u00e0 dica, mas n\u00e3o precisava tom\u00e1-la ao p\u00e9 da letra. \ud83d\ude09
\n<\/span><\/p>\n

Men\u00e7\u00f5es honrosas ao franco (j\u00e1 citado) e ao Daniel<\/a>, que sugeriram o uso da Terceira Lei de Kepler. Pena que n\u00e3o desenvolveram seus argumentos nesse sentido\u2026<\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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