{"id":5079,"date":"2013-03-06T22:30:40","date_gmt":"2013-03-07T01:30:40","guid":{"rendered":"http:\/\/scienceblogs.com.br\/hypercubic\/?p=5079"},"modified":"2013-03-06T22:30:40","modified_gmt":"2013-03-07T01:30:40","slug":"encontro-postal","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/hypercubic\/2013\/03\/encontro-postal\/","title":{"rendered":"Encontro postal"},"content":{"rendered":"

\"caxton1\"<\/a><\/p>\n

O enigma desta semana<\/a> foi resolvido pelos leitores de maneira mais simples do que pensei (acho que eu n\u00e3o devia ter passado a dica). O problema do encontro postal \u00e9 uma variante do cl\u00e1ssico \u201cdois trens partem de A e B, estando as esta\u00e7\u00f5es situadas a 100km entre si…\u201d.<\/p>\n

Mas como n\u00e3o havia trens no s\u00e9culo XVII, o matem\u00e1tico franc\u00eas Jacques Ozanam<\/a> (1640-1718) usou mensageiros (couriers<\/em>) em seu R\u00e9cr\u00e9ations math\u00e9matiques et physiques<\/em>, livro publicado em 1694 e traduzido para o ingl\u00eas em 1708.<\/p>\n

Nos baseamos na tradu\u00e7\u00e3o inglesa da obra, portentosamente intitulada Recreations Mathematical and Physical; Laying down and Solving Many Profitable and Delightful Problems of Arithmetick, Geometry, Opticks, Gnomonicks, Cosmography, Mechanicks, Physicks, and Pyrotechny<\/em> [Recrea\u00e7\u00f5es Matem\u00e1ticas e F\u00edsicas, Apresentando e Solucionando Mui \u00dateis e Deleitosos Problemas de Aritm\u00e9tica, Geometria, \u00d3ptica, Gnom\u00f4nica, Cosmografia, Mec\u00e2nica, F\u00edsica e Pirotecnia<\/em>(!!!)]. A ilustra\u00e7\u00e3o, por\u00e9m, n\u00e3o consta do livro e, na verdade, \u00e9 uma gravura de William Caxton<\/a> (1422?-1492) feita em fins do s\u00e9c. XV.<\/p>\n

Dito isso, vamos \u00e0 solu\u00e7\u00e3o apresentada pelo Prof. Ozanam:<\/p>\n

\n

Para encontrar quantas L\u00e9guas o Mensageiro que estava na Estrada h\u00e1 5 Dias viajou a cada Dia antes de encontrar o outro: subtraia 5, o n\u00famero de Dias, de 25, seu Quadrado, e tendo multiplicado o resto, 20, pelo n\u00famero do aumento di\u00e1rio de L\u00e9guas para esse Mensageiro, subtraia o produto, 40, de 100, o n\u00famero de L\u00e9guas entre Paris e Lions; e divida o Restante 60 por 10, o dobro de 5, o n\u00famero de Dias; e o Quociente 6 mostrar-lhe-\u00e1 que o Mensageiro viajou 6 L\u00e9guas no primeiro Dia, e consequentemente 8 no segundo, 10 no terceiro, 12 no quarto e 14 no quinto.<\/span><\/p>\n

De maneira similar, com refer\u00eancia ao outro Mensageiro, que chegou no meio do caminho em 4 Dias, subtraia 4, o n\u00famero de Dias, de seu pr\u00f3prio Quadrado, 16, e tendo multiplicado o Resto 12 por 3, o n\u00famero de seu aumento di\u00e1rio de L\u00e9guas, subtraia o Produto 36 de 100, a dist\u00e2ncia em L\u00e9guas entre Paris e Lions; e divida o Resto 64 por 8, o dobro de 4, o n\u00famero de Dias; e o Quociente 8 mostrar-lhe-\u00e1 que esse Mensageiro viajou 8 L\u00e9guas no primeiro dia e, consequentemente, 11 no segundo, 14 no terceiro e 17 no quarto.<\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n

Embora tenha havido uma confus\u00e3o entre os cinco gatos-pingados<\/span> comentaristas que responderam ao enigma, todos tiveram o m\u00e9rito de terem sido mais claros e simples do que o professor franc\u00eas. J\u00e1 na primeira resposta, o Tiago<\/a> matou o problema: \u201c1\u00b0: 6 \u2013 8 \u2013 10 \u2013 12 \u2013 14 = 50 2\u00b0: 8 \u2013 11 \u2013 14 \u2013 17 = 50\u201d, mas ele viu outro problema, que n\u00e3o existe: \u201cse sairam ao mesmo tempo e um chegou na metade em 5 dias e o outro em 4\u201d. Como pode?<\/p>\n

Curiosamente, a solu\u00e7\u00e3o desse suposto problema estava no pr\u00f3prio enunciado do problema: \u201cum<\/strong><\/em> vai de Paris a Lions, percorrendo a cada Dia 2 L\u00e9guas a mais<\/strong><\/em> que no Dia anterior<\/em><\/strong>, e o outro<\/strong><\/em> de Lions para Paris viaja a cada Dia 3 L\u00e9guas al\u00e9m do Dia precedente<\/em><\/strong>\u201d. Quem n\u00e3o reparou nisso, deve ter se confundido.<\/p>\n

Dessa pequena confus\u00e3o, por\u00e9m, surgiram duas hip\u00f3teses. O Andr\u00e9 Souza da Silva<\/a> considerou que \u201cUm viajava de dia e o outro viajava de noite.\u201d e repetiu os c\u00e1lculos do Tiago. E o Vitor<\/a> contou at\u00e9 uma historinha: \u201cAcho que um deles (o mais r\u00e1pido) chega na metade do caminho no quarto dia \u00e0 noite, para para descansar, acordando no dia seguinte, encontra o outro mensageiro chegando para descansar, cumprimenta-o e segue sua viagem\u201d.<\/p>\n

No entanto, ap\u00f3s fazer seus pr\u00f3prios c\u00e1lculos, o Vitor acabou corrigindo o Andr\u00e9: \u201cSe um viajasse de dia e o outro de noite, n\u00e3o teriam sa\u00eddo ao mesmo tempo. Foi a diferen\u00e7a do quanto viajavam por dia que foi alterando os hor\u00e1rios de viagem ao longo do percurso.\u201d<\/p>\n

O rafinha.bianchin<\/a> deve ter atentado para a nossa dica e trabalhou com f\u00f3rmulas sobre PA, mas n\u00e3o foi bem-sucedido:<\/p>\n

\n

Temos que:
\n50 = a+(4-1)*2
\n50 = b+(5-1)*3
\na+6 = b+12<\/p>\n

Utilizando a f\u00f3rmula para a soma dos termos, ficamos com:
\n50 = 5((a+(5-1)*2))\/2
\n20 = a+8
\na = 12
\n18-12 = b
\nb = 6<\/p>\n

Ent\u00e3o o primeiro andou 6 l\u00e9guas no in\u00edcio e o segundo come\u00e7ou com 12.<\/p>\n

primeiro: 12 \u2013 14 \u2013 16 \u2013 18
\nsegundo: 06 \u2013 09 \u2013 12 \u2013 15 \u2013 18<\/p>\n<\/blockquote>\n

E ainda que todos<\/del> quase todos tenham acabado acertando, o Igor<\/a> foi, de longe, o mais did\u00e1tico. Sua resposta parece at\u00e9 uma tradu\u00e7\u00e3o em linguagem moderna da solu\u00e7\u00e3o apresentada pela nossa fonte:<\/p>\n

\n

Tiago, cada um viajou numa velocidade diferente. Quem chegou antes, foi mais r\u00e1pido.<\/p>\n

Chamando o primeiro de P(aris) e o segundo de L(ions):<\/p>\n

P viajou 50 l\u00e9guas em 5 dias, aumentando 2 l\u00e9guas por dia. A \u00fanica inc\u00f3gnita \u00e9 a dist\u00e2ncia percorrida no primeiro dia, que chamo de X.
\nO segundo dia \u00e9 X+2, o terceiro X+2+2 (que \u00e9 X+4) e etc, at\u00e9 X+8 (2+2+2+2). Somando tudo, temos 5X (5 sendo o n\u00famero de dias) + 20 (representando a taxa de aumento di\u00e1rio, em l\u00e9guas) = 50 (l\u00e9guas percorridas). 5X + 20 = 50 X = 6. No primeiro dia, P percorreu 6 l\u00e9guas e duas a mais a cada dia, dando 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = 50.<\/p>\n

L viajou 50 l\u00e9guas em 4 dias, aumentando 3 l\u00e9guas por dia. Sua inc\u00f3gnita (o primeiro dia) ser\u00e1 Y.
\nUsando a mesma l\u00f3gica anterior, o segundo dia \u00e9 Y+3, o terceiro \u00e9 Y+3+3 (que \u00e9 Y+6), at\u00e9 Y+9, no \u00faltimo dia. Somando, ficamos com 4Y + 18 = 50 Y = 8 l\u00e9guas no primeiro dia. Ent\u00e3o temos 8 + 11 + 14 + 17 = 50.<\/p>\n<\/blockquote>\n

E por hoje \u00e9 s\u00f3, pessoal.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

O enigma desta semana foi resolvido pelos leitores de maneira mais simples do que pensei (acho que eu n\u00e3o devia ter passado a dica). 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