em arte, matemática

Abstração na arte e na matemática

A palavra “abstração” é por vezes uma palavra muito abstrata: é confusa e ninguém entende direito o que ela significa. Quando pensamos em arte abstrata, pensamos em uma arte distante da realidade, esquisita, geométrica, ou até figurativa. Para quem é familiar com matemática, a palavra abstração também é muito presente, e é comum entender-se como uma matemática desconectada da realidade, com muita manipulação de símbolos e pouca relação com a vida cotidiana. Essas noções não são completamente erradas, porém existe uma ideia muito mais precisa e clara do que é abstração e a qual propósito ela serve. Eu quero aqui te convencer que, na verdade, abstrair não é deixar as coisas mais complicadas, muito pelo contrário: é simplificar as coisas. E veremos que a palavra abstração aparece em muitos contextos bem diferentes, mas que, ainda sim, existe ideia essencial em comum em todos os usos dela.

É muito comum textos científicos começarem com um abstract: um brevíssimo resumo do que vai ser tratado. Quem bate o olho num artigo ou tese não quer saber sobre os detalhes específicos, a pessoa quer saber qual é a essência do texto, o que ele está comunicando de forma geral, para saber se vale a pena abrir e ler. Para autores que estão imersos no seu texto, fazer essa síntese pode ser uma tarefa difícil, mas ela é importante para se ter uma visão mais ampla da sua área e entender como aquele assunto se encaixa no todo do conhecimento. O nome abstract usado pare esse resumo não é a toa: abstração tem justamente a ver com capturar a essência de um conceito, deixando de lado detalhes e particularidades.

A série do Netflix “Abstract: The Art of Design” mostra em cada episódio o trabalho e a arte de um designer diferente. Me chamou muito a atenção o episódio “Christoph Niemann: ilustrador”; no episódio ele diz acreditar que abstração é o conceito mais importante na arte. Christoph explica dizendo que para ele, abstração é a ideia de se livrar de tudo que não é essencial para falar de determinado ponto. No momento em que ouvi isso, eu imediatamente pensei “Caramba! Na matemática é exatamente a mesma coisa!”. Ele cita um exemplo: o coração sendo usando como símbolo para o amor. Se usássemos um coração utrarealista com artérias e sangue para representar o amor, as pessoas iriam achar esquisito ou até nojento, e definitivamente não iria remeter ao amor. Se, por outro lado, fôssemos para o extremo do abstrato e usássemos apenas um pixel vermelho como símbolo para o amor, as pessoas não iriam nem entender o significado daquilo. É um jogo de equilibrar o quanto de informação queremos jogar fora, e quanto queremos deixar: existe um grau de abstração ideal para o coração como símbolo do amor, que é o formato de coração que estamos todos acostumados. Ou seja, precisamos simplificar, precisamos remover os detalhes excessivos do coração ultrarealista que não são essenciais para representar o amor. Mas se removermos detalhes demais, a figura vai ficar abstrata demais e ninguém vai entender.

Na matemática, por incrível que pareça, abstração também é a ideia de remover os detalhes que são desnecessários para estudar determinado ponto. Por exemplo, todos sabemos como somar duas maçãs com três maçãs, para obter cinco maçãs. Mas na verdade não importa se estamos somando maçãs, bananas ou pedras, esse é um detalhe desnecessário. A essência aqui consiste em duas coisas: o número que representa a a quantidade de maçãs, e a operação de soma entre esses números. Esse número e essa operação são objetos abstratos, pois foram obtidos jogando fora aqueles detalhes que eram desnecessários para o problema (no caso, que se tratava de maçãs)! Chamamos de aritmética nada mais nada menos que essa abstração que fizemos da soma (de maçãs, ou de quaisquer outros objetos do nosso cotidiano).

Mas dá para ir além: mesmo os números às vezes têm detalhes demais que são desnecessários para os matemáticos. Por exemplo: além de somar e multiplicar, conseguimos calcular a distância entre dois números, conseguirmos comparar dois números em termos de qual é maior e qual é menor, conseguimos medir o tamanho de uma certa quantidade de números. Cada uma dessas é uma propriedade distinta que representa uma direção em que podemos abstrair¹. Se tirarmos todas essas propriedades, não sobra quase nada de interessante nos números. Mas se deixarmos todas, temos detalhes demais que às vezes são desnecessários. Assim, na matemática moderna, é comum que trabalhemos com espaços abstratos: jogamos fora o fato de estarmos nesse conjunto de números, que é rico em propriedades, e começamos a trabalhar em um conjunto abstrato que tem apenas a propriedade específica de nosso interesse. Isso serve para generalizar apenas uma propriedade específica e deixar de fora o que não é essencial. Ok, aqui já chegamos em um nível muito grande de abstração e as coisas começam a ficar confusas. Mas eu te garanto que existem ótimos motivos para os matemáticos fazerem esse tipo de abstração, e cito dois deles:

  1. você consegue estudar um monte de casos particulares ao mesmo tempo (assim como na soma, que generaliza soma de vários tipos de objetos: maçãs, bananas, pedras, etc.),
  2. você consegue ter a clareza de qual é a essência e quais são as conclusões que se pode tirar quando se olha apenas para a propriedade que te interessa.

Mas não se engane: essa ideia de abstração não é tão recente assim. Uma das grandes descobertas do filósofo Aristóteles (384–322 AC) no campo da lógica foi a descoberta do uso de váriaveis². Vamos tentar entender isso. Um dos princípios por trás da lógica é a ideia de tirar conclusões a partir de fatos conhecidos. Por exemplo, se conhecemos como fato as duas seguintes afirmações:

  • todo homem é mortal, e
  • Sócrates é homem,

podemos concluir que

  • Sócrates é mortal.

Isso é chamado de inferência lógica, isto é, a partir das duas primeiras afirmações conseguimos concluir a terceira. Mas Aristóteles percebeu que esse tipo de regra não é algo que depende dos detalhes específicos do exemplo que vimos. Não depende das palavras “homem”, “mortal” e “Sócrates”; se substituíssemos, por exemplo, “Sócrates” por “Tim Maia” a inferência continuaria sendo verdadeira, pois ela só depende da estrutura da frase (apesar de que, em algum sentido Tim Maia é imortal). Aristóteles encontra então um jeito de generalizar, ou abstrair essa inferência utilizando variáveis. Ele faz assim: se supormos ser verdade que

  • todo A é B, e
  • todo C é A,

concluímos que

  • todo C é B.

Aqui, A, B e C são variáveis que podem ser substituídas por qualquer termo, desde que as duas primeiras afirmações sejam verdadeiras. Experimente, por exemplo, substituir A por “mamífero”, B por “animal” e C por “cachorro”, e veja que a inferência continua funcionando.

A ideia de usar variáveis para fazer abstrações é hoje essencial em muitas áreas do conhecimento: lógica, filosofia, matemática, computação, linguística, entre outras. Ela está justamente baseada em tirar todos os detalhes que são desnecessários para a estutura lógica do que estamos analisando. Seja numa demonstração (no caso da matemática), num argumento (no caso da lógica e da filosofia), num programa de computador (no caso da computação) ou para analisar a estrutura sintática ou semântica de determinada linguagem (no caso da linguística). Em todos esses casos, ao formular seu problema e sua solução utilizando variáveis, conseguimos obter resultados que valem para muitos (às vezes infinitos) casos possíveis, e mesmo para casos que não havíamos sequer imaginado no início. Esse é o poder do uso de variáveis.

Para concluir, ouso afirmar aqui que a habilidade de abstrair é um dos grandes diferenciais do cérebro humano. A capacidade de fazer abstrações parece estar associada à nossa capacidade de observar o que ocorre ao nosso redor, perceber padrões e regras, e explicá-los com conceitos e ideias na nossa mente. O mundo é complexo, temos dificuldade de entender o que está acontecendo. A quantidade de informações que recebemos com nossos sentidos é muito grande, e frequentemente recebemos várias informações misturadas de um jeito que não sabemos nem como começar a processá-las. Isso é ainda mais verdade hoje, na era da informação. A abstração é uma ferramenta poderosa para nos ajudar a fazer sentido deste mundo. Ela nos permite olhar apenas para um ponto específico e deixar de lado o que não é essencial para entendê-lo. É muito mais fácil entender uma coisa de cada vez, do que entender todas as coisas ao mesmo tempo. Por isso a abstração deve ser vista como uma aliada para nossa compreensão do mundo, e não como uma forma de complicar as coisas nem de tirar o sentido delas.


¹ Para quem quiser saber mais, o nome das direções de abstração neste exemplo são, respectivamente: corpo, espaço métrico, conjunto ordenado, espaço de medida.

Referências:

² Hadgopoulos, D. J. (1975). Substitution of Variables in Aristotle. Journal of the History of Philosophy, 13(2), 133–138 doi:10.1353/hph.2008.0342

Imagem de capa: Sem título (primeira aquarela abstrata) por Wassily Kandinsky. Fonte: Wikimedia Commons (domínio público)

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Comentário

  1. Cara, adorei o seu post. Fiquei curioso pra saber se estava mais pras Artes ou pra Matemática… Mas enfim, olhando seu currículo, tive uma resposta. Muito legal mesmo, na matemática a gente tá tão acostumado a jogar tudo fora, o típico exemplo, imagine que uma vaca é uma esfera perfeita 🙂