Abstração na arte e na matemática

Na matemática, por incrível que pareça, abstração também é a ideia de remover os detalhes que são desnecessários para estudar determinado ponto. Por exemplo, todos sabemos como somar duas maçãs com três maçãs, para obter cinco maçãs. Mas na verdade não importa se estamos somando maçãs, bananas ou pedras, esse é um detalhe desnecessário. A essência aqui consiste em duas coisas: o número que representa a a quantidade de maçãs, e a operação de soma entre esses números. Esse número e essa operação são objetos abstratos, pois foram obtidos jogando fora aqueles detalhes que eram desnecessários para o problema (no caso, que se tratava de maçãs)! Chamamos de aritmética nada mais nada menos que essa abstração que fizemos da soma (de maçãs, ou de quaisquer outros objetos do nosso cotidiano).

Mas dá para ir além: mesmo os números às vezes têm detalhes demais que são desnecessários para os matemáticos. Por exemplo: além de somar e multiplicar, conseguimos calcular a distância entre dois números, conseguirmos comparar dois números em termos de qual é maior e qual é menor, conseguimos medir o tamanho de uma certa quantidade de números. Cada uma dessas é uma propriedade distinta que representa uma direção em que podemos abstrair¹. Se tirarmos todas essas propriedades, não sobra quase nada de interessante nos números. Mas se deixarmos todas, temos detalhes demais que às vezes são desnecessários. Assim, na matemática moderna, é comum que trabalhemos com espaços abstratos: jogamos fora o fato de estarmos nesse conjunto de números, que é rico em propriedades, e começamos a trabalhar em um conjunto abstrato que tem apenas a propriedade específica de nosso interesse. Isso serve para generalizar apenas uma propriedade específica e deixar de fora o que não é essencial. Ok, aqui já chegamos em um nível muito grande de abstração e as coisas começam a ficar confusas. Mas eu te garanto que existem ótimos motivos para os matemáticos fazerem esse tipo de abstração, e cito dois deles:

1. você consegue estudar um monte de casos particulares ao mesmo tempo (assim como na soma, que generaliza soma de vários tipos de objetos: maçãs, bananas, pedras, etc.),
2. você consegue ter a clareza de qual é a essência e quais são as conclusões que se pode tirar quando se olha apenas para a propriedade que te interessa.

Mas não se engane: essa ideia de abstração não é tão recente assim. Uma das grandes descobertas do filósofo Aristóteles (384–322 AC) no campo da lógica foi a descoberta do uso de váriaveis². Vamos tentar entender isso. Um dos princípios por trás da lógica é a ideia de tirar conclusões a partir de fatos conhecidos. Por exemplo, se conhecemos como fato as duas seguintes afirmações:

• todo homem é mortal, e
• Sócrates é homem,

podemos concluir que

• Sócrates é mortal.

Isso é chamado de inferência lógica, isto é, a partir das duas primeiras afirmações conseguimos concluir a terceira. Mas Aristóteles percebeu que esse tipo de regra não é algo que depende dos detalhes específicos do exemplo que vimos. Não depende das palavras “homem”, “mortal” e “Sócrates”; se substituíssemos, por exemplo, “Sócrates” por “Tim Maia” a inferência continuaria sendo verdadeira, pois ela só depende da estrutura da frase (apesar de que, em algum sentido Tim Maia é imortal). Aristóteles encontra então um jeito de generalizar, ou abstrair essa inferência utilizando variáveis. Ele faz assim: se supormos ser verdade que

• todo A é B, e
• todo C é A,

concluímos que

• todo C é B.

Aqui, A, B e C são variáveis que podem ser substituídas por qualquer termo, desde que as duas primeiras afirmações sejam verdadeiras. Experimente, por exemplo, substituir A por “mamífero”, B por “animal” e C por “cachorro”, e veja que a inferência continua funcionando.

A ideia de usar variáveis para fazer abstrações é hoje essencial em muitas áreas do conhecimento: lógica, filosofia, matemática, computação, linguística, entre outras. Ela está justamente baseada em tirar todos os detalhes que são desnecessários para a estutura lógica do que estamos analisando. Seja numa demonstração (no caso da matemática), num argumento (no caso da lógica e da filosofia), num programa de computador (no caso da computação) ou para analisar a estrutura sintática ou semântica de determinada linguagem (no caso da linguística). Em todos esses casos, ao formular seu problema e sua solução utilizando variáveis, conseguimos obter resultados que valem para muitos (às vezes infinitos) casos possíveis, e mesmo para casos que não havíamos sequer imaginado no início. Esse é o poder do uso de variáveis.

Para concluir, ouso afirmar aqui que a habilidade de abstrair é um dos grandes diferenciais do cérebro humano. A capacidade de fazer abstrações parece estar associada à nossa capacidade de observar o que ocorre ao nosso redor, perceber padrões e regras, e explicá-los com conceitos e ideias na nossa mente. O mundo é complexo, temos dificuldade de entender o que está acontecendo. A quantidade de informações que recebemos com nossos sentidos é muito grande, e frequentemente recebemos várias informações misturadas de um jeito que não sabemos nem como começar a processá-las. Isso é ainda mais verdade hoje, na era da informação. A abstração é uma ferramenta poderosa para nos ajudar a fazer sentido deste mundo. Ela nos permite olhar apenas para um ponto específico e deixar de lado o que não é essencial para entendê-lo. É muito mais fácil entender uma coisa de cada vez, do que entender todas as coisas ao mesmo tempo. Por isso a abstração deve ser vista como uma aliada para nossa compreensão do mundo, e não como uma forma de complicar as coisas nem de tirar o sentido delas.