Hipótese da Terra-Prezel

A situação que apresentaremos a seguir serve de exemplo para a ideia da manipulação de hipóteses e seu papel na matemática. Pois apesar de algumas coisas nos parecerem “triviais” ou “óbvias” e sua negação ser “absurda” ou “ridícula”, ao supormos estas esquisitices, podemos chegar a modos distintos de enxergar o mundo.

Suponha que esteja num avião quando o piloto informa que não tem combustível o bastante para pousar pela trajetória prevista para o voo. Ambos “sabem” que a Terra é um globo, mas dadas as circunstâncias o piloto pediu para o computador analisar uma trajetória de voo supondo que a Terra fosse um pretzel e viu que assim seria possível pousar o avião.

Ambos tem a plena convicção de que a Terra é um globo, mas também sabem que isto significa a queda do avião… porém e se estivessem errados nesse aspecto? Poderiam sobreviver à esta situação, ainda que a hipótese da Terra ser um pretzel lhes pareça absurda.

A título de esclarecimentos, pretzel é um tipo de pão de origem alemã, podendo ser doce ou salgado. Ele tem a forma de um nó estranho, e o planeta no formato de um pretzel seria algo parecido com a figura abaixo.

Euclides de Alexandria foi um grande matemático grego tido como o pai da geometria, ele viveu a cerca de 300 anos antes de Cristo e descreveu a geometria a partir de 5 postulados (proposições tidas como triviais e que precisamos assumir como verdadeiras sem provar). Sua forma “óbvia” de descrever a geometria no plano levou ao desenvolvimento da geometria euclidiana, que propõe por exemplo “a menor distância entre dois pontos é uma linha reta”.

Contudo ao longo dos séculos foram destinados esforços contra um destes postulados, conhecido como o Postulado das Paralelas e que pode ser enunciado da seguinte forma:

É verdade que, se uma reta ao cortar duas outras, forma ângulos internos, no mesmo lado, cuja soma é menor do que dois ângulos retos, então as duas retas, se continuadas, encontrar-se-ão no lado onde estão os ângulos cuja soma é menor do que dois ângulos retos.

De forma menos complicada para nós que já nascemos respirando geometria, o postulado diz que qualquer duas retas não-paralelas se cruzarão.

Vários matemáticos buscavam deduzir este postulado a partir dos 4 outros postulados e assim “provar” que a geometria como proposta por Euclides, poderia ser descrita apenas com 4 e não com 5 verdades absolutas. Entretanto, sempre que tentavam “supor” que se este postulado fosse falso acarretaria em uma afirmação absurda, chegavam a algo diferente, mas não absurdo, algo que veio a ser estudado como as geometrias não-euclidianas. Assim, apesar de parecerem “óbvios”, a negação de um postulado nos levou para formas diferentes de geometria que não é a euclidiana (ou seja, aquela que se baseia nos 5 postulados serem verdadeiros).

Uma forma simples de exemplificar uma geometria não-euclidiana é imaginar uma formiga em cima de uma bola de plástico. A menor distância entre dois pontos da bola certamente não é uma linha reta (pois a formiga não atravessará pelo interior do objeto) e sim um arco de circunferência com amplitude AB, que representa a trajetória entre dois pontos desta bola. Neste mesmo universo da bola de plástico, qualquer posição que a formiga queira chegar, estará a no máximo um arco de circunferência com 180 graus e raio igual ao da bola. No caso, para a formiga chegar ao ponto mais distante possível dela na bola, existem infinitos caminhos igualmente curtos.

De forma análoga, duas retas nesta bola seriam representadas por circunferências inscritas em sua superfície e que podem nunca se tocar mesmo não sendo paralelas. Assim, com uma situação simplória de uma formiga em uma bola de plástico, podemos observar contradições que a geometria euclidiana teria ao se estender neste universo de propriedades não-euclidianas.

Com isso ressaltamos o convite ao leitor para conhecer mais a matemática, mas não através de cálculos e fórmulas (que são necessários para averiguar as hipóteses, mas não suficientes para criá-las), e sim neste “jogo” de brincar com as hipóteses. Pois mesmo quando tudo parece “óbvio”, os matemáticos se colocam no dever de supor que algumas coisas possam ser diferentes e ver as consequências que estas ideias proporcionam para a análise da situação como um todo.

 

2 thoughts on “Hipótese da Terra-Prezel

  • 12 de janeiro de 2023 em 18:34
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    Vale ressaltar que no referencial que é a bola de plastíco temos a real calculo dos angulos, por isso usamos os termo raio e circunferência. E uma reta tem quantos angulos? ja uma circunferencia não tem angulos? Mas muito interessante seu post.

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    • 12 de janeiro de 2023 em 21:09
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      Realmente você tem razão com estas questões :3 mudando o referencial algumas coisas impossíveis se tornam triviais, mas na situação em que tudo parece perdido na teoria tradicional... vale arriscarmos em uma esperança improvável
      Fico feliz que tenha gostado do post

      Resposta

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