31 receitas com 5 gelatinas

Suponha que você teve a estranha vontade de comer uma gelatina de um sabor a cada dia do mês de maio, dia 1 correu no mercado e comprou todas as gelatinas que encontrou, mas chegando em casa, apesar de muitas gelatinas de cada sabor, a variedade de sabores era apenas framboesa, morango, uva, abacaxi e limão. O que fazer numa situação como essa? Pegar o carro e seguir vagando pelo mundo atrás de novos sabores de gelatina, ou, resolver seu problema com um pouco de permutação?

Enquanto você não decide, vamos fazendo as gelatinas dos sabores que temos:

Dia 1 – Framboesa;
Dia 2 – Morango;
Dia 3 – Uva;
Dia 4 – Abacaxi;
Dia 5 – Limão.

Mas agora, após pensarmos por 5 dias, já sabemos como resolver esse problema e nossa vontade louca por gelatinas:

Dia 6 – Framboesa-Morango;
Dia 7 – Framboesa-Uva;
Dia 8 – Framboesa-Abacaxi;
Dia 9 – Framboesa-Limão;
Dia 10 – Morango-Uva;
Dia 11 – Morango-Abacaxi;
Dia 12 – Morango-Limão;
Dia 13 – Uva-Abacaxi;
Dia 14 – Uva-Limão;
Dia 15 – Abacaxi-Limão.

Mas se fizemos isso com dois sabores, podemos fazer com mais um sabor:

Dia 16 – Framboesa-Morango-Uva;
Dia 17 – Framboesa-Morango-Abacaxi;
Dia 18 – Framboesa-Morango-Limão;
Dia 19 – Framboesa-Uva-Abacaxi;
Dia 20 – Framboesa-Uva-Limão;
Dia 21 – Framboesa-Abacaxi-Limão;
Dia 22 – Morango-Uva-Abacaxi;
Dia 23 – Morango-Uva-Limão;
Dia 24 – Morango-Abacaxi-Limão;
Dia 25 – Uva-Abacaxi-Limão.

Podemos misturar mais alguns sabores, e teremos:

Dia 26 – Framboesa-Morango-Uva-Abacaxi;
Dia 27 – Framboesa-Morango-Uva-Limão;
Dia 28 – Framboesa-Morango-Abacaxi-Limão;
Dia 29 – Framboesa-Uva-Abacaxi-Limão;
Dia 30 – Morango-Uva-Abacaxi-Limão.

Faltando apenas um dia para fecharmos o mês com um sabor diferente a cada dia, vamos ao grande final:

Dia 31 – Framboesa-Morango-Uva-Abacaxi-Limão.

Pronto, com apenas 5 tipos de gelatinas, 31 receitas para você se deliciar em todo mês de maio. Mas beleza, o que isso tem a ver com matemática? Ou será que comi gelatina de mais e agora estou variando das ideias (de fato adoro gelatina e não acredito que exista “gelatina de mais”).

Antes de começar esse post, estava fazendo gelatina e pensando, quantas formas podemos combinar esses pacotinhos? Esse é um problema de permutação no qual a ordem não importa, ou seja, se eu misturo Abacaxi com Limão, é a mesma coisa que misturar Limão com Abacaxi.

No caso, esse é um problema que se resolve facilmente com a ferramenta matemática chamada “X escolhe Y”. Ou seja, temos de um conjunto com X elementos, uma quantidade Y a ser escolhida, tal que Y é menor do que X. Vou dar um exemplo:

Tenho 5 sabores de gelatina e preciso escolher 1.

A solução parece “óbvia” e de fato ela é óbvia… mas vamos ver como escrever ela em termos de permutação.

A ferramenta “X escolhe Y” pode ser representada como o fatorial de X, dividido pelos fatoriais de Y e de (X – Y). No exemplo acima, 5 escolhe 1, escreveríamos como:

5!/(4!1!)

Isso é igual a 120/(24*1) = 5. Era de fato um caso bem simples de descobrir a resposta mesmo sem essa ferramenta.

Agora, se pensarmos na questão de 2 sabores combinados, temos novamente o problema de “X escolhe Y”, nesses exemplos X será sempre igual a 5, pois representa o total de sabores disponíveis em nosso problema. O que mudará, é Y, que representa aqui a quantidade de sabores que queremos misturar, que nesse caso será 2.

5!/(3!2!)

Isso é igual a 120/(6*2) = 10. Já não era um resultado tão fácil de descobrir, mas vejamos como que esse conceito nos é muito conveniente para os próximos cálculos.

Agora com 3 sabores, sequer precisamos fazer as contas, pois Y será 3, só que da definição de “X escolhe Y”, temos que 5! será dividido por Y! e por (X – Y)!. Nesse caso, Y será 3, e (X – Y) será 2. Ou seja 5!/(2!3!). Mas como a ordem dos fatores não altera o produto na multiplicação de números reais, temos que 5!/(3!2!) = 5!/(2!3!), que já sabemos a resposta, vale 10.

O mesmo nos diz que para 4 sabores, teremos 5!/(1!4!) = 5!/(4!1!) = 5.

Por fim, a última combinação, 5 sabores de 5 opções: 5!/(5!0!) = 1. Lembrando é claro, que 0! vale 1, pois representa a quantidade de maneiras que podemos combinar 0 objetos, e embora pareça contraintuitivo, podemos combinar 0 objetos de 1 maneira.

Somando os resultados, chegamos nas nossas queridas 31 receitas de gelatinas 🙂

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Como referenciar este conteúdo em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023/2018):

SILVA, Marcos Henrique de Paula Dias da. 31 receitas com 5 gelatinas. In: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero – Blog de Ciência da Unicamp. Volume 5. Ed. 1. 1º semestre de 2021. Campinas, 05 maio 2021. Disponível em: https://www.blogs.unicamp.br/zero/2907/. Acesso em: <data-de-hoje>.