{"id":136,"date":"2019-06-01T18:29:49","date_gmt":"2019-06-01T21:29:49","guid":{"rendered":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/?p=136"},"modified":"2023-08-24T16:15:55","modified_gmt":"2023-08-24T19:15:55","slug":"series-retrateis","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/136\/","title":{"rendered":"S\u00e9ries retr\u00e1teis"},"content":{"rendered":"\t\t
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Em matem\u00e1tica, entendemos uma s\u00e9rie como a soma (que as vezes pode ser infinita) de termos de uma sequ\u00eancia. Podemos dizer que uma s\u00e9rie \u00e9 um conjunto ordenado de elementos desta sequ\u00eancia combinados pelo operador de adi\u00e7\u00e3o. O termo \u201cs\u00e9rie infinita\u201d \u00e9 usado para enfatizar o fato de que a s\u00e9rie cont\u00eam um n\u00famero infinito de termos.<\/p>

O s\u00edmbolo \u03a3 (somat\u00f3rio) \u00e9 usado para designar uma soma de N termos de uma sequ\u00eancia. Ap\u00f3s o s\u00edmbolo \u03a3 aparece o \u00edndice inferior do primeiro termo a ser somado e em seguida, o \u00edndice superior do \u00faltimo termo a ser somado.<\/p>

Por exemplo, seja a sequ\u00eancia chamada ALFACE com os elementos 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20; 22; 24\u2026 O primeiro termo desta sequ\u00eancia \u00e9 2, o segundo termo \u00e9 4, o d\u00e9cimo termo \u00e9 20. Ent\u00e3o ao escrevermos \u03a3i<\/sub>=2<\/sub>i<\/sup>=10<\/sup> ALFACE, significa, somar do segundo termo da sequ\u00eancia at\u00e9 o d\u00e9cimo termo desta sequ\u00eancia:<\/p>

4+ 6+10+12+14+16+18+20<\/i><\/p>

E ai vem uma piada de matem\u00e1ticos\u2026 Uma vez um matem\u00e1tico foi na f\u00e1brica televis\u00f5es e ficou somando os n\u00fameros de registro para cada aparelho que passava pela sua frente. Depois de uma hora disse que estava pronto e que j\u00e1 podia vender sua cria\u00e7\u00e3o. Perguntaram o que ele criou? E ele respondeu, que havia acabado de produzir sua \u201cs\u00e9rie de TV\u201d.<\/p>

Mas s\u00e9rie \u00e9 uma das coisas legais e divertidas na Matem\u00e1tica (diferente de minhas piadas). A s\u00e9rie suporta muitas ferramentas para trabalharmos com elas. Uma delas \u00e9 o super poder de \u201ctelescopar\u201d s\u00e9ries!<\/p>

Suponha que eu tenha uma s\u00e9rie \u03a3i<\/sub>=1<\/sub> BETERRABA, (quando n\u00e3o definimos um valor m\u00e1ximo na s\u00e9rie, isto significa que consideramos qualquer n\u00famero seu m\u00e1ximo). Pra lembrar, uma s\u00e9rie escrita com esta regra, deve ser assim:<\/p>

b1<\/sub>+b2<\/sub>+b3<\/sub>+b4<\/sub>+b5<\/sub>+\u2026+bN<\/sub>, onde N \u00e9 qualquer n\u00famero.<\/i><\/p>

Para mostrar como funciona \u201ctelescopar uma s\u00e9rie\u201d, vamos dizer que bi<\/sub> \u00e9 ai<\/sub>+1<\/sub> \u2013 ai<\/sub> (lembrando que a sequ\u00eancia ALFACE s\u00e3o os n\u00fameros pares crescentes come\u00e7ando de 2). Assim, podemos reescrever a s\u00e9rie \u03a3i<\/sub>=1<\/sub> BETERRABA como:<\/p>

(a2<\/sub> \u2013 a1<\/sub>)+(a3<\/sub> \u2013 a2<\/sub>)+(a4<\/sub> \u2013 a3<\/sub>)+(a5<\/sub> \u2013 a4<\/sub>)+(a6<\/sub> \u2013 a5<\/sub>)+\u2026+(aN<\/sub> \u2013 aN-1<\/sub>)+(aN<\/sub>+1<\/sub> \u2013 aN<\/sub>).<\/i><\/p>

Mas essa soma, pela propriedade comutativa da adi\u00e7\u00e3o, pode ser reescrita da seguinte maneira:<\/p>

-a1<\/sub>+a2<\/sub> \u2013 a2<\/sub>+a3<\/sub> \u2013 a3<\/sub>+a4<\/sub> \u2013 a4<\/sub>+a5<\/sub> \u2013 a5<\/sub>+a6<\/sub> \u2013 \u2026 \u2013 aN-2<\/sub>+aN-1<\/sub> \u2013 aN-1<\/sub>+aN<\/sub> \u2013 aN<\/sub>+aN<\/sub>+1<\/sub>.<\/i><\/p>

Para facilitar a visualiza\u00e7\u00e3o, colocarei os grupinhos que se cancelar\u00e3o em par\u00eanteses.<\/p>

-a1<\/sub>+(a2<\/sub> \u2013 a2<\/sub>)+(a3<\/sub> \u2013 a3<\/sub>)+\u2026(aN-2<\/sub> \u2013 aN-2<\/sub>) +(aN-1<\/sub> \u2013 aN-1<\/sub>) +(aN<\/sub> \u2013 aN<\/sub>) + aN<\/sub>+1<\/sub>.<\/i><\/p>

Como podemos ver, todos os termos, exceto o primeiro e o \u00faltimo, ser\u00e3o cancelados. Ou seja, quando telescopamos a s\u00e9rie \u03a3i<\/sub>=1<\/sub> BETERRABA que definimos, temos:<\/p>

-a1<\/sub> + aN<\/sub>+1<\/sub>.<\/i><\/p>

Por exemplo, se o nosso N final for 100, temos que a soma destas diferen\u00e7as \u00e9:<\/p>

-a1<\/sub> + a10<\/sub>1<\/sub> = -2 + 202 = 200.<\/i><\/p>

Mas voc\u00ea pode estar desconfiando desse super poder de \u201ctelescopar\u201d s\u00e9ries, afinal neste exemplo, todos os bi<\/sub> (para i um n\u00famero qualquer) ser\u00e1 igual a 2 (pois \u00e9 a diferen\u00e7a entre dois termos da sequ\u00eancia dos pares).<\/p>

Vamos pegar uma sequ\u00eancia mais \u201cca\u00f3tica\u201d, que tal os n\u00fameros primos (ou seja, os n\u00fameros Naturais maiores do que 1 que s\u00e3o divis\u00edveis apenas por ele mesmo e por 1)? Chamaremos esta sequ\u00eancia de P com os elementos p1<\/sub>=2; p2<\/sub>=3; p3<\/sub>=5; p4<\/sub>=7; p5<\/sub>=11; p6<\/sub>=13; p7<\/sub>=17; p8<\/sub>=19; p9<\/sub>=23; p10<\/sub>=29; \u2026 Dessa forma:<\/p>

bN<\/sub> = pN+1<\/sub> \u2013 pN<\/sub>.<\/i><\/p>

Ent\u00e3o, ao tomarmos a s\u00e9rie \u03a3i<\/sub>=1<\/sub>i<\/sup>=9<\/sup> BETERRABA, por exemplo, temos:<\/p>

p2<\/sub> \u2013 p1<\/sub>+p3<\/sub> \u2013 p2<\/sub>+p4<\/sub> \u2013 p3<\/sub>+p5<\/sub> \u2013 p4<\/sub>+p6<\/sub> \u2013 p5<\/sub>+p7<\/sub> \u2013 p6<\/sub>+p8<\/sub> \u2013 p7<\/sub>+p9<\/sub> \u2013 p8<\/sub>+p10<\/sub> \u2013 p9<\/sub>.<\/i><\/p>

Utilizando a propriedade comutativa da adi\u00e7\u00e3o, rearranjamos nossa s\u00e9rie da seguinte maneira:<\/p>

-p1<\/sub>+(p2 <\/sub>\u2013 p2<\/sub>)+(p3 <\/sub>\u2013 p3<\/sub>)+(p4 <\/sub>\u2013 p4<\/sub>)+\u2026+(p7 <\/sub>\u2013 p7<\/sub>)+(p8 <\/sub>\u2013 p8<\/sub>)+(p9 <\/sub>\u2013p9<\/sub>)+p10<\/sub><\/i><\/p>

Assim, dessa s\u00e9rie com valores de bi<\/sub> menos comportados, temos o seguinte resultado:<\/p>

-p1<\/sub> + p10<\/sub> = -2 + 29 = 27<\/i><\/p>

De forma an\u00e1loga, se nossa s\u00e9rie fosse \u03a3i<\/sub>=2<\/sub>i<\/sup>=8<\/sup> BETERRABA, ter\u00edamos por \u201ctelescopia\u201d, a solu\u00e7\u00e3o:<\/p>

-p2<\/sub> + p9<\/sub> = -3 + 27 = 24<\/i><\/p>

A ideia aqui \u00e9 que existem s\u00e9ries que se assemelham a um telesc\u00f3pio retr\u00e1til, que ap\u00f3s fecharmos o instrumento, temos apenas a parte inicial e a final. Similar a guardar um telesc\u00f3pio retr\u00e1til, as demais partes se retraem para seu interior.<\/p>

Ok\u2026 isto \u00e9 legal, mas para que serve?<\/i><\/p>

Quando a s\u00e9rie \u00e9 finita, isto pode ser substitu\u00eddo pela soma exaustiva de todos os seus termos\u2026 chato, mas funciona. Mas quando a s\u00e9rie \u00e9 infinita precisamos desta t\u00e9cnica para resolver de modo anal\u00edtico (n\u00e3o podemos simplesmente somar infinitamente). Um exemplo bonitinho de s\u00e9rie infinita \u00e9.<\/p>

\u03a3i<\/sub>=1<\/sub>i<\/sup>=\u221e<\/sup> COUVE, com seus elementos expressos por:<\/p>

Cn<\/sub> = 1\/n(n+1).<\/i><\/p>

Os primeiros termos desta sequ\u00eancia s\u00e3o:<\/p>

1\/2; 1\/6; 1\/12; 1\/20; 1\/30\u2026 <\/i><\/p>

A soma destes 5 termos acima \u00e9 0,83\u2026<\/p>

A soma dos 10 primeiros de Ci<\/sub> \u00e9 0,9090\u2026<\/p>

A soma dos 100 primeiros Ci<\/sub> \u00e9 0,99009900\u2026<\/p>

Ser\u00e1 que ela chegar\u00e1 no 1? Um bom palpite diria que sim, mas uma \u201ctelescopada\u201d nesta s\u00e9rie PROVA que SIM. A ideia para telescopar uma s\u00e9rie enxerg\u00e1-la como uma subtra\u00e7\u00e3o dentre os pr\u00f3prios termos de uma sequ\u00eancia. Por exemplo:<\/p>

Cn<\/sub> = 1\/n(n+1) = (1\/n) \u2013 (1\/(n+1)).<\/i><\/p>

Ent\u00e3o, a s\u00e9rie \u03a3i<\/sub>=1<\/sub>i<\/sup>=\u221e<\/sup> COUVE, fica da seguinte forma:<\/p>

1\/1 \u2013 1\/2 + 1\/2 \u2013 1\/3 +1\/3 \u2013 1\/4 + 1\/4 \u2013 1\/5 + \u2026 \u2013 1\/N + 1\/N \u2013 1\/(N+1).<\/i><\/p>

Pela \u201ctelescopia\u201d desta s\u00e9rie, ela se reduz a:<\/p>

1\/1 \u2013 1\/(N+1).<\/i><\/p>

E quando N for \u221e, 1\/(\u221e+1) ser\u00e1 muito pr\u00f3ximo de 0. Ent\u00e3o esta s\u00e9rie quando N vai ao infinito, tem como resultado:<\/p>

1\/1 \u2013 0 = 1.<\/i><\/p>

<\/i>Fica como reflex\u00e3o para o fim deste texto a pr\u00f3xima figura, com refer\u00eancia ao artista Ren\u00e9 Magritte que em 1929 fez uma obra sobre a dualidade objeto e representa\u00e7\u00e3o. Ilustrando um cachimbo e escrevendo pr\u00f3ximo a imagem \u201cCeci n\u2019est pas une pipe\u201d, que pode ser traduzida como \u201cIsto n\u00e3o \u00e9 um cachimbo\u201d.<\/p>

Isto gerou bastante repercuss\u00e3o na \u00e9poca, pois no quadro se via n\u00edtido e claro um cachimbo, ent\u00e3o como aquilo poderia n\u00e3o ser um cachimbo? A resposta do autor foi simples e suficiente para justificar sua afirma\u00e7\u00e3o a todo seu p\u00fablico. Se isto \u00e9 um cachimbo, ent\u00e3o que algu\u00e9m tente fum\u00e1-lo. A ret\u00f3rica de que o quadro \u00e9 em si uma representa\u00e7\u00e3o de um cachimbo foi a mensagem desejada pela obra. Outros trabalhos e refer\u00eancias a esta obra aparecem em v\u00e1rias \u00e1reas, entre elas a deste mesmo trabalho no qual apresento uma representa\u00e7\u00e3o de um telesc\u00f3pio como a s\u00e9rie telesc\u00f3pica. Que apesar dela \u201caparentemente\u201d retrair-se, isto \u00e9 apenas uma representa\u00e7\u00e3o que se associa a forma de retra\u00e7\u00e3o. De fato, a s\u00e9rie n\u00e3o se retrai fisicamente como um telesc\u00f3pio ou outro objeto, ela \u00e9 em si um objeto abstrato e sua retra\u00e7\u00e3o tamb\u00e9m se faz da mesma maneira, ultrapassando qualquer analogia ao universo concreto.<\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Quem escreve os posts?<\/a><\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Algumas s\u00e9ries num\u00e9ricas podem ser retra\u00eddas que nem telesc\u00f3pios.<\/p>\n","protected":false},"author":434,"featured_media":1566,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"colormag_page_container_layout":"default_layout","colormag_page_sidebar_layout":"default_layout","_monsterinsights_skip_tracking":false,"_monsterinsights_sitenote_active":false,"_monsterinsights_sitenote_note":"","_monsterinsights_sitenote_category":0,"pgc_sgb_lightbox_settings":"","_vp_format_video_url":"","_vp_image_focal_point":[],"footnotes":""},"categories":[1206],"tags":[],"class_list":["post-136","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-v-1-ed-1"],"jetpack_featured_media_url":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-content\/uploads\/sites\/187\/2019\/06\/isto-n\u00e3o-\u00e9-um-telesc\u00f3pio-4.png","_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/136","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/users\/434"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=136"}],"version-history":[{"count":59,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/136\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5192,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/136\/revisions\/5192"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/media\/1566"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=136"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=136"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=136"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}