{"id":1448,"date":"2020-03-25T19:40:20","date_gmt":"2020-03-25T22:40:20","guid":{"rendered":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/?p=1448"},"modified":"2023-08-25T12:58:20","modified_gmt":"2023-08-25T15:58:20","slug":"qual-a-chance-de-ganhar-recursos-nesta-rodada","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/1448\/","title":{"rendered":"Qual a chance de ganhar recursos nesta rodada?"},"content":{"rendered":"\t\t
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(Translate)<\/a><\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Catan \u00e9 um jogo de tabuleiro bastante popular, conhecido principalmente pela configura\u00e7\u00e3o de seu tabuleiro ser montada a partir de hex\u00e1gonos e tamb\u00e9m pela sua din\u00e2mica envolvendo a negocia\u00e7\u00e3o de recursos entre outros jogadores para constru\u00e7\u00f5es e desenvolvimentos dentro do jogo. O tabuleiro da vers\u00e3o cl\u00e1ssica \u00e9 formado por 19 hex\u00e1gonos dispostos como na figura abaixo.<\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Disposto acima de cada hex\u00e1gono temos um elemento do seguinte conjunto num\u00e9rico (sem repeti\u00e7\u00e3o):<\/p>

{2; 3; 3; 4; 4; 5; 5; 6; 6; 8; 8; 9; 9; 10; 10; 11; 11; 12}.<\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Para entender um pouco a din\u00e2mica do jogo, temos 5 tipos de mat\u00e9rias-primas que s\u00e3o necess\u00e1rias para realizar as constru\u00e7\u00f5es e desenvolvimentos. Cada hex\u00e1gono produz um \u00fanico tipo de mat\u00e9ria-prima, e todos os jogadores com aldeias ou cidades localizadas em um dos v\u00e9rtices do referente hex\u00e1gono, receber\u00e3o um (no caso de ter uma aldeia) ou dois (no caso de ter uma cidade) recursos daquela regi\u00e3o, quando a soma dos dois dados de 6 faces convencionais lan\u00e7ados corresponder ao n\u00famero no centro do hex\u00e1gono.<\/p>

Com isto j\u00e1 \u00e9 poss\u00edvel perceber que uma regi\u00e3o ficar\u00e1 sem nenhum n\u00famero (temos 19 regi\u00f5es e 18 n\u00fameros). No jogo cl\u00e1ssico esta regi\u00e3o \u00e9 representada pelo deserto e ela n\u00e3o gera nenhum recurso.<\/p>

Analisando as ocorr\u00eancias de cada par de dados, podemos determinar entre os outros n\u00fameros, quantas vezes eles ocorrem.<\/p>

1 ocorr\u00eancia de soma = 2 \u2192 {1,1}<\/p>

2 ocorr\u00eancias de soma = 3 \u2192 {2,1}; {1,2}<\/p>

3 ocorr\u00eancias de soma = 4 \u2192 {3,1}; {2,2}; {1,3}<\/p>

4 ocorr\u00eancias de soma = 5 \u2192 {4,1}; {3,2}; {2,3}; {1,4}<\/p>

5 ocorr\u00eancias de soma = 6 \u2192 {5,1}; {4,2}; {3,3}; {2,4}; {1,5}<\/p>

5 ocorr\u00eancias de soma = 8 \u2192 {6,2}; {5,3}; {4,4}; {3,5}; {4,6}<\/p>

4 ocorr\u00eancias de soma = 9 \u2192 {6,3}; {5,4}; {4,5}; {3,6}<\/p>

3 ocorr\u00eancias de soma = 10 \u2192 {6,4}; {5,5}; {4,6}<\/p>

2 ocorr\u00eancias de soma = 11 \u2192 {6,5}; {5,6}<\/p>

1 ocorr\u00eancia de soma = 12 \u2192 {6,6}<\/p>

Ao todo, temos 30 ocorr\u00eancias referentes aos n\u00fameros espalhados pelas regi\u00f5es do mapa, e 6 ocorr\u00eancias cuja soma daria 7, que apesar de ter um significado no jogo, n\u00e3o vir\u00e1 ao caso para esta discuss\u00e3o. No jogo nenhuma aldeia pode ser constru\u00edda em um v\u00e9rtice que diste menos que duas arestas de uma outra aldeia. Assim, para cada aldeia constru\u00edda, bloqueia-se de construir outras aldeias em at\u00e9 4 v\u00e9rtices (um v\u00e9rtice no qual a pr\u00f3pria aldeia foi constru\u00edda e at\u00e9 outros tr\u00eas v\u00e9rtices conectados a uma aresta daquele v\u00e9rtice).<\/p>

O jogo come\u00e7a com o primeiro jogador construindo uma aldeia em qualquer posi\u00e7\u00e3o do tabuleiro, depois o segundo jogador, assim at\u00e9 o \u00faltimo jogador. Ent\u00e3o o \u00faltimo jogador constr\u00f3i uma nova aldeia, depois o pen\u00faltimo jogador constr\u00f3i uma nova aldeia, assim at\u00e9 o primeiro jogador.<\/p>

Considerando uma partida com 3 jogadores, teremos:<\/p>

1o<\/sup> jogador-1a<\/sup> vez: tem exatamente 54 op\u00e7\u00f5es;<\/p>

2o<\/sup> jogador-1a<\/sup> vez: tem no m\u00ednimo 50 op\u00e7\u00f5es;<\/p>

3o<\/sup> jogador-1a<\/sup> vez: tem no m\u00ednimo 46 op\u00e7\u00f5es;<\/p>

3o<\/sup> jogador-2a<\/sup> vez: tem no m\u00ednimo 42 op\u00e7\u00f5es;<\/p>

2o<\/sup> jogador-2a<\/sup> vez: tem no m\u00ednimo 38 op\u00e7\u00f5es;<\/p>

1o<\/sup> jogador-2a<\/sup> vez: tem no m\u00ednimo 32 op\u00e7\u00f5es;<\/p>

Considerando uma partida com 4 jogadores, teremos:
1o<\/sup> jogador-1a<\/sup> vez: tem exatamente 54 op\u00e7\u00f5es;<\/p>

2o<\/sup> jogador-1a<\/sup> vez: tem no m\u00ednimo 50 op\u00e7\u00f5es;<\/p>

3o<\/sup> jogador-1a<\/sup> vez: tem no m\u00ednimo 46 op\u00e7\u00f5es;<\/p>

4o<\/sup> jogador-1a<\/sup> vez: tem no m\u00ednimo 42 op\u00e7\u00f5es;<\/p>

4o<\/sup> jogador-2a<\/sup> vez: tem no m\u00ednimo 38 op\u00e7\u00f5es;<\/p>

3o<\/sup> jogador-2a<\/sup> vez: tem no m\u00ednimo 34 op\u00e7\u00f5es;<\/p>

2o<\/sup> jogador-2a<\/sup> vez: tem no m\u00ednimo 30 op\u00e7\u00f5es;<\/p>

1o<\/sup> jogador-2a<\/sup> vez: tem no m\u00ednimo 26 op\u00e7\u00f5es;<\/p>

Em ambas as situa\u00e7\u00f5es, temos muitas op\u00e7\u00f5es a serem escolhidas, mas algu\u00e9m que j\u00e1 jogou Catan poderia responder que apesar de muitas op\u00e7\u00f5es, a quantidade de op\u00e7\u00f5es \u201cinteressantes\u201d n\u00e3o \u00e9 t\u00e3o grande. Por\u00e9m ao inserirmos o adjetivo \u201cinteressante\u201d a uma op\u00e7\u00e3o, estamos atribuindo algumas caracter\u00edsticas que podem ser medidas, para definirmos por um crit\u00e9rio qual a op\u00e7\u00e3o \u201cmais interessante\u201d.<\/p>

Numa partida recente, me perguntaram como calcular a probabilidade de numa jogada obtermos recurso em um v\u00e9rtice. A solu\u00e7\u00e3o \u00e9 bastante simples, se um v\u00e9rtice tivesse conectado a 11 regi\u00f5es com n\u00fameros variando de 2 a 12 (incluindo o 7), a toda rodada este v\u00e9rtice receberia recursos. Ou seja, sua probabilidade seria 100%.<\/p>

Dessa forma, a probabilidade de cada v\u00e9rtice render um recurso naquela rodada \u00e9 dada pela soma das probabilidades individuais de cada regi\u00e3o ao seu redor gerar recursos naquela rodada, menos a repeti\u00e7\u00e3o das regi\u00f5es.<\/p>

No caso, imagine um v\u00e9rtice conectado a uma regi\u00e3o com o n\u00famero 5. Este n\u00famero ocorre de 4 maneiras diferentes, dentre as 36 poss\u00edveis. Desse modo, 4\/36 representa a probabilidade de obtermos um 5, algo pr\u00f3ximo de 11%.<\/p>

Se nosso v\u00e9rtice estiver conectado a outro n\u00famero 5. A probabilidade de obtermos recursos nesta rodada n\u00e3o ser\u00e1 a soma das duas regi\u00f5es gerarem recursos. Pois a nova regi\u00e3o n\u00e3o amplia o espa\u00e7o de ocorr\u00eancias. Assim, conectados a duas regi\u00f5es com o n\u00famero 5, continuamos com 4\/36 das ocorr\u00eancias, o que muda no caso \u00e9 o peso dos recursos obtidos naquelas ocorr\u00eancias, que ser\u00e1 2 para uma aldeia e 4 para uma cidade (considerando um recurso qualquer como peso 1).<\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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De forma mais geral, podemos definir a probabilidade m\u00e1xima de um v\u00e9rtice, estando entre regi\u00f5es de n\u00famero 6, 8 e 9 ou 5, 6 e 8. Em ambos os casos obtemos 14\/36 dos casos, equivalente a 39%.<\/p>

A figura da p\u00e1gina anterior apresenta as probabilidades de cada v\u00e9rtice para a disposi\u00e7\u00e3o j\u00e1 apresentada. Ela foi gerada em uma planilha eletr\u00f4nica comum aplicando o racioc\u00ednio discutido neste cap\u00edtulo (o mais dif\u00edcil mesmo foi acertar a imagem de fundo com as c\u00e9lulas da planilha).<\/p>

Mas a escolha de um v\u00e9rtice \u00e9 algo mais complexo de entender do que apenas a probabilidade de cada posi\u00e7\u00e3o render recursos. Este \u00e9 um problema de natureza muito mais dif\u00edcil (isto ignorando os recursos e portos), pois como discutimos anteriormente, escolher um v\u00e9rtice implica no bloqueio de at\u00e9 outros tr\u00eas v\u00e9rtices. Desse modo uma escolha pode ser tomada n\u00e3o pelo seu pr\u00f3prio benef\u00edcio, mas pelo malef\u00edcio m\u00fatuo. Podemos por exemplo optar por uma posi\u00e7\u00e3o cuja probabilidade de gerar recursos naquela rodada n\u00e3o seja t\u00e3o grande, mas que bloqueie ao mesmo tempo tr\u00eas outros v\u00e9rtices com grande chance de gerarem recursos. Assim, esta \u00e9 uma escolha que deve levar v\u00e1rios outros fatores em considera\u00e7\u00e3o, o que fugiria a discuss\u00e3o deste humilde texto.<\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t

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Voltar para p\u00e1gina principal<\/a><\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Quem escreve os posts?<\/a><\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Em Catan \u00e9 bom ter recursos para negociar, mas qual a chance de ganhar algum em cada rodada?<\/p>\n","protected":false},"author":434,"featured_media":1476,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"inline_featured_image":false,"editor_plus_copied_stylings":"{}","_monsterinsights_skip_tracking":false,"_monsterinsights_sitenote_active":false,"_monsterinsights_sitenote_note":"","_monsterinsights_sitenote_category":0,"pgc_sgb_lightbox_settings":"","_vp_format_video_url":"","_vp_image_focal_point":[],"footnotes":""},"categories":[1210],"tags":[],"class_list":["post-1448","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-v-3-ed-1"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1448","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/users\/434"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1448"}],"version-history":[{"count":28,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1448\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5236,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1448\/revisions\/5236"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/media\/1476"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1448"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1448"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1448"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}