{"id":1545,"date":"2020-04-20T04:00:31","date_gmt":"2020-04-20T07:00:31","guid":{"rendered":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/?p=1545"},"modified":"2023-08-25T13:05:49","modified_gmt":"2023-08-25T16:05:49","slug":"lotka-volterra-madoka-magi","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/1545\/","title":{"rendered":"Equa\u00e7\u00e3o de Lotka-Volterra em Madoka Magi"},"content":{"rendered":"\t\t
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Puella Magi Madoka Magica, simplesmente referida como Madoka Magi, \u00e9 uma s\u00e9rie de anime que foi ao ar em 2011. O enredo segue um grupo de Garotas Comuns do Ensino M\u00e9dio que optam por se tornarem Garotas M\u00e1gicas, com o objetivo de batalhar contra as denominadas Bruxas. Consequentemente, elas aprendem sobre o lado ruim de ser uma Garota M\u00e1gica\u2026 Pois a medida que o tempo passa ou utilizam seus poderes, elas v\u00e3o se enchendo de impurezas e a \u00fanica forma de limpar-se disto \u00e9 com a alma tirada de uma Bruxa. Pois se deixarem que estas impurezas a consumam, elas mesmas se tornar\u00e3o Bruxas. Apenas para completar o enredo, Bruxas criam Familiares que crescem at\u00e9 virarem Bruxas.<\/p>

Para a continuidade da discuss\u00e3o, vamos estabelecer uma ordem com que as coisas acontecem no seu enredo.<\/p>

No 0o<\/sup> per\u00edodo, a Garota Comum segue sua vida comum antes de virar uma Garota M\u00e1gica.<\/p>

No 1o<\/sup> per\u00edodo, a Garota Comum se transforma em Garota M\u00e1gica e passa a ca\u00e7ar bruxas.<\/p>

No 2o<\/sup> per\u00edodo, a Garota M\u00e1gica n\u00e3o conseguiu se purificar e virou a Bruxa1<\/b>. A Bruxa1<\/b> tem poder para criar\/manter o Familiar1<\/b>.<\/p>

No 3o<\/sup> per\u00edodo, o Familiar1<\/b> j\u00e1 cresceu e virou a Bruxa2<\/b> com o poder de criar o Familiar2<\/b>, a Bruxa1<\/b> livre do seu familiar (que virou a Bruxa2<\/b>) agora pode criar o Familiar3<\/b>.<\/p>

No 4o<\/sup> per\u00edodo, o Familiar2<\/b> j\u00e1 cresceu e virou a Bruxa3<\/b> com o poder de criar o Familiar4<\/b>, a Bruxa2<\/b> livre do seu familiar (que virou Bruxa3<\/b>) agora pode criar o Familiar5<\/b>, o Familiar3<\/b> j\u00e1 cresceu e virou a Bruxa4<\/b> com o poder de criar o Familiar6<\/b>, a Bruxa1<\/b> livre do seu familiar (que virou Bruxa4<\/b>) agora pode criar o Familiar7<\/b>.<\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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No anime n\u00e3o fica definido a quantidade de vezes que o esp\u00f3lio de uma Bruxa pode ser usado para limpar as impurezas de uma Garota M\u00e1gica. Outro aspecto a ser observado diz respeito as batalhas que as desgastam poderem ter sua origem de confrontos contra Bruxas, mas tamb\u00e9m contra os Familiares das Bruxas. Mas diferente das Bruxas, os Familiares n\u00e3o d\u00e3o esp\u00f3lio, assim, ca\u00e7\u00e1-los apenas gera preju\u00edzos para a Garota M\u00e1gica (tanto que algumas se recusam a ca\u00e7ar Familiares). Contudo, se a Bruxa que criou uma Familiar (no caso dele ainda n\u00e3o ter se transformado em uma Bruxa), for destru\u00edda, o Familiar tamb\u00e9m \u00e9 destru\u00eddo. A partir destes fatos podemos prosseguir a discuss\u00e3o explicando o que \u00e9 o sistema presa-predador.<\/p>

Sistema presa-predador, tamb\u00e9m conhecido como equa\u00e7\u00f5es de Lotka-Volterra, s\u00e3o duas equa\u00e7\u00f5es diferenciais n\u00e3o-lineares de primeira ordem frequentemente usadas para descrever a din\u00e2mica populacional de duas esp\u00e9cies que interagem: uma como presa e a outra como predadora. Nestes modelos, assume-se que a \u00fanica fonte de alimento para esp\u00e9cies predadoras s\u00e3o as popula\u00e7\u00f5es de presas e que n\u00e3o h\u00e1 competi\u00e7\u00e3o entre indiv\u00edduos da mesma esp\u00e9cie. Estas equa\u00e7\u00f5es receberam este nome em refer\u00eancia ao matem\u00e1tico Vito Volterra e ao biof\u00edsico Alfred J. Lotka, que publicaram em 1925 dois estudos completamente distintos (pois os mesmos n\u00e3o se conheciam), mas em ambos utilizavam de forma in\u00e9dita estas mesmas equa\u00e7\u00f5es. Elas representam o primeiro modelo que tenta compreender a rela\u00e7\u00e3o entre duas esp\u00e9cies (presa e predador), que apesar de n\u00e3o descrever uma rela\u00e7\u00e3o completa desses seres no meio ambiente, pois n\u00e3o considera outros fatores sen\u00e3o a densidade populacional das esp\u00e9cies, trata-se de facilitar a compress\u00e3o e fundamentar a elabora\u00e7\u00e3o de modelos mais complexos. Diversas rela\u00e7\u00f5es em sistemas de presa e predador podem ser expressas a partir deste modelo, entre elas:<\/p>

Linces e lebres;<\/p>

Raposas e coelhos;<\/p>

Joaninhas e pulg\u00f5es;<\/p>

Tubar\u00f5es e peixes.<\/p>

Devido a essa rela\u00e7\u00e3o de presa\/predador, podemos ter as seguintes situa\u00e7\u00f5es finais:<\/p>

1. Extin\u00e7\u00e3o de predadores;<\/p>

2. Extin\u00e7\u00e3o de presas;<\/p>

3. Coexist\u00eancia de predadores e presas.<\/p>

No contexto de Madoka Magi, precisamos das seguintes informa\u00e7\u00f5es referentes a cada per\u00edodo de tempo como apresentado na \u00e1rvore de crescimento das Bruxas.<\/p>

A)<\/b> Quantidade de Garotas Comuns que s\u00e3o convertidas para Garotas M\u00e1gicas durante aquele per\u00edodo (+Mahou\/per\u00edodo);<\/p>

B)<\/b> Quantidade de Bruxas que uma Garota M\u00e1gica consegue eliminar (Presas\/per\u00edodo);<\/p>

C)<\/b> A quantidade de vezes que um mesmo esp\u00f3lio de Bruxa pode ser usado para tirar as impurezas de Garotas M\u00e1gicas (Purifica\u00e7\u00e3o);<\/p>

D<\/b>)<\/b> Quantidade atual de Garotas M\u00e1gicas (Mahou X);<\/p>

E<\/b>)<\/b> Quantidade atual de Bruxas (Bruxas Yi).<\/p>

Com estas informa\u00e7\u00f5es e assumindo que as Garotas M\u00e1gicas n\u00e3o sejam derrotas pelas Bruxas. Assim, para Yi<\/sub> Bruxas iniciais e X Garotas M\u00e1gicas capazes de ca\u00e7ar at\u00e9 c Bruxas cada uma. Teremos no final do primeiro per\u00edodo:<\/p><\/colgroup>

Yf<\/sub> =<\/p><\/td>

Yi<\/sub>-X.c se Yi<\/sub> > X.c<\/p><\/td><\/tr>

0, caso contr\u00e1rio<\/p><\/td><\/tr><\/tbody><\/table>

Chamaremos Yf<\/sub> a quantidade de Bruxas que sobrevivem na totalidade daquele per\u00edodo. Este n\u00famero ser\u00e1 dobrado no per\u00edodo seguinte, quando assumir\u00e1 Yi<\/sub>.<\/p>

Se a quantidade de Purifica\u00e7\u00f5es dispon\u00edveis pelos esp\u00f3lios das Bruxas n\u00e3o for o suficiente para todas as Garotas M\u00e1gicas naquele per\u00edodo, aquelas que n\u00e3o se purificarem consequentemente se transformar\u00e3o em Bruxas no pr\u00f3ximo per\u00edodo. Observe que Yf<\/sub> sempre ser\u00e1 0 quando houver pelo menos uma Garota M\u00e1gica que n\u00e3o se purificou. Assim, as novas Bruxas vir\u00e3o diretamente das Garotas M\u00e1gicas que se transformar\u00e3o em Bruxas.<\/p>

Para agilizar, implementei o sistema numa planilha eletr\u00f4nica no qual as partes coloridas correspondem as entradas listadas anteriormente como A (1), B (2), C (3), D (3), E (15).<\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Para facilitar a interpreta\u00e7\u00e3o destes dados represento-os abaixo num gr\u00e1fico com entradas at\u00e9 o 40o<\/sup> per\u00edodo. Nele o eixo horizontal s\u00e3o os per\u00edodos e o vertical a quantidade de cada esp\u00e9cie (Garotas M\u00e1gicas e Bruxas).<\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Agora uma situa\u00e7\u00e3o um pouco diferente, no qual a quantidade inicial de Bruxas, que antes era 15, mudou para 16:<\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Perceba a mudan\u00e7a no resultado que segue at\u00e9 o 15o<\/sup> per\u00edodo. O que antes reduzia agora mant\u00eam um crescimento est\u00e1vel al\u00e9m do controle das Garotas M\u00e1gicas. A influ\u00eancia de uma \u00fanica Bruxa a mais desequilibrou o sistema. Para facilitar a leitura destes dados, represento-os num gr\u00e1fico no qual o eixo horizontal s\u00e3o os per\u00edodos, e o vertical a quantidade de cada uma (Garotas M\u00e1gicas e Bruxas).<\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Com esta an\u00e1lise, podemos perceber como o contexto do anime Puella Magi Madoka Magica se encaixa no sistema Presa-Predador proposto inicialmente pelas equa\u00e7\u00f5es de Lotka-Volterra, cujos sistemas que permitem a coexist\u00eancia entre esp\u00e9cies apresentam resultados semelhantes ao gr\u00e1fico da p\u00e1gina anterior. No gr\u00e1fico desta p\u00e1gina entretanto, a popula\u00e7\u00e3o de Bruxas foge ao controle das Garotas M\u00e1gicas. Isto no contexto do anime levaria a oblitera\u00e7\u00e3o do nosso mundo, pois as Bruxas causam malef\u00edcios aos seres humanos.<\/p>

Agrade<\/i>\u00e7o <\/i>ao meu amigo Alisson Almeida Bueno pelo apoio nos c\u00e1lculos e discuss\u00f5es a respeito de Puella Magi Madoka Magica <\/i>(o qual foi ele quem me recomendou assistir)<\/i>. <\/i><\/p>

Agrade\u00e7o a minha esposa Adelle Marques Trevisan, pelo desenho que utilizei de fundo para a capa deste post.<\/i><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t

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Voltar para p\u00e1gina principal<\/a><\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Quem escreve os posts?<\/a><\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

No anime Madoka Magi temos uma rela\u00e7\u00e3o matem\u00e1tica conhecida como sistema presa-predador.<\/p>\n","protected":false},"author":434,"featured_media":1547,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"colormag_page_container_layout":"default_layout","colormag_page_sidebar_layout":"default_layout","_monsterinsights_skip_tracking":false,"_monsterinsights_sitenote_active":false,"_monsterinsights_sitenote_note":"","_monsterinsights_sitenote_category":0,"pgc_sgb_lightbox_settings":"","_vp_format_video_url":"","_vp_image_focal_point":[],"footnotes":""},"categories":[1210],"tags":[],"class_list":["post-1545","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-v-3-ed-1"],"jetpack_featured_media_url":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-content\/uploads\/sites\/187\/2020\/03\/sistema-predador-presa-madoka.png","_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1545","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/users\/434"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1545"}],"version-history":[{"count":13,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1545\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5242,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1545\/revisions\/5242"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/media\/1547"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1545"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1545"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1545"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}