J\u00e1 falamos muitas vezes neste blog sobre demonstra\u00e7\u00f5es, sua import\u00e2ncia para a matem\u00e1tica e tudo mais. Contudo se engana quem pensa que matem\u00e1ticos n\u00e3o valorizam a beleza, e n\u00e3o nos referimos aqui as formas geom\u00e9tricas e padr\u00f5es geralmente associados \u00e0 imagens. Queremos dizer uma charmosidade ligada aos resultados, mais precisamente, \u00e0s demonstra\u00e7\u00f5es de teoremas.<\/p>\n\n\n\n
Demonstrar uma conjectura \u00e9 uma verdadeira briga de foice no escuro. N\u00e3o h\u00e1 certo ou errado, o importante \u00e9 sair de l\u00e1 com a conjectura demonstrada (seja verdadeira ou falsa). Ningu\u00e9m julgar\u00e1 um matem\u00e1tico por demonstrar uma conjectura a partir de argumentos obscuros, incont\u00e1veis passos e defini\u00e7\u00f5es confusas… quem consegue demonstrar uma conjectura \u00e9 em si um her\u00f3i para esta parte da sociedade, pois uma vez que garantimos sua validade podemos us\u00e1-la para propriedades derivadas e como argumento para outras demonstra\u00e7\u00f5es. Mesmo que a demonstra\u00e7\u00e3o revele que a conjectura \u00e9 falsa, tamb\u00e9m \u00e9 um estrondo de alegria, pois o trabalho em cima dela \u00e9 ent\u00e3o encerrado. Temos algumas conjecturas em aberto a mais de 300 anos e at\u00e9 hoje nenhuma certeza sobre elas serem verdadeiras ou falsas, e para piorar o quadro, tem dois teoremas (ou seja, afirma\u00e7\u00f5es cuja verdade j\u00e1 foi demonstrada) que nos garantem aspectos um tanto assustadores sobre essa \u00e1rea. O primeiro afirma que n\u00e3o importa quantos axiomas (verdades aceitas) iniciais assumimos, sempre existir\u00e3o resultados que n\u00e3o poder\u00e3o ser provados. O segundo afirma que n\u00e3o existe m\u00e9todo para garantir que uma determinada afirma\u00e7\u00e3o n\u00e3o pode ser provada. Entendeu agora porque provar uma conjectura \u00e9 uma conquista memor\u00e1vel?<\/p>\n\n\n\n
Contudo, um trabalho n\u00e3o t\u00e3o memor\u00e1vel mas de import\u00e2ncia equivalente, aparece um tempo depois da primeira prova aparecer. Inicia-se um processo de lapida\u00e7\u00e3o naquele resultado, limpando-o de aspectos obscuros, tentando simplific\u00e1-lo ou atingindo-o a partir de abordagens alternativas. Ou seja, ocorre um esfor\u00e7o para deixar a prova daquele resultado, elegante ou charmosa.<\/p>\n\n\n\n
Existem v\u00e1rias caracter\u00edsticas que uma prova elegante ou charmosa pode ter, desde a simplicidade, a engenhosidade, a suavidade com que o texto e os termos se relacionam. A ideia em si para uma prova elegante ou charmosa, \u00e9 que seja agrad\u00e1vel de ser lida, n\u00e3o necessariamente que seja simples de ser entendida. Um exemplo agora ajudar\u00e1 a compreendermos esta pseudo-defini\u00e7\u00e3o.<\/p>\n\n\n\n
Tomemos o Teorema de Euclides, que afirma existirem infinitos n\u00fameros primos. Sua demonstra\u00e7\u00e3o original apresentada por Euclides \u00e9 a seguinte:<\/p>\n\n\n\n
Suponha que existam apenas k primos, p1.p2\u2026pk. De fato este texto demonstra a exist\u00eancia de infinitos n\u00fameros primos, por\u00e9m n\u00e3o \u00e9 a \u00fanica forma disso ocorrer. Vejamos uma demonstra\u00e7\u00e3o parecida, mas que utiliza um resultado um tanto mais engenhoso.<\/p>\n\n\n\n \u00c9 suficiente mostrar que para qualquer Natural n, existe um primo p maior do que n. Nessa demonstra\u00e7\u00e3o, foi poss\u00edvel pular v\u00e1rios passos ao tratarmos de n! (n fatorial). Ou seja, em vez de se preocupar em definirmos o produto de apenas dos n\u00fameros primos, aqui j\u00e1 dizemos o produto dos n primeiros n\u00fameros Naturais. Ou seja, os primos aparecem ai, mas tamb\u00e9m levamos um monte de outros n\u00fameros que apesar de n\u00e3o ajudar, tamb\u00e9m n\u00e3o atrapalham. O resultado \u00e9 uma demonstra\u00e7\u00e3o extremamente curta, e por esse aspecto, tida como elegante ou charmosa.<\/p>\n\n\n\n Agora vejamos uma outra demonstra\u00e7\u00e3o deste mesmo teorema, mas dessa vez n\u00e3o se parece em nada com a demonstra\u00e7\u00e3o original, ela ganha sua charmosidade pela sua excentricidade.<\/p>\n\n\n\n Tome n>1 um Inteiro qualquer. Basicamente a demonstra\u00e7\u00e3o desenvolve um m\u00e9todo que garante a gera\u00e7\u00e3o de n\u00fameros primos. Este m\u00e9todo n\u00e3o \u00e9 uma estrat\u00e9gia computacional interessante para encontrarmos n\u00fameros primos, mas ela \u00e9 matematicamente segura, garantindo que se for repetida por um n\u00famero qualquer de vezes, funcionar\u00e1. Encontraremos assim infinitos n\u00fameros primos, e se isto ocorre, logo existem infinitos n\u00fameros primos.<\/p>\n\n\n\n Mas n\u00e3o se engane ao pensar que este trabalho tenha apenas um vi\u00e9s est\u00e9tico e que a charmosidade de uma demonstra\u00e7\u00e3o seja um aspecto desnecess\u00e1rio. Como mencionamos antes, uma demonstra\u00e7\u00e3o in\u00e9dita \u00e9 uma joia bruta, \u00e9 admirada pelos especialistas por\u00e9m muito distante de ser compreendida pela maioria das pessoas. O processo de melhorar sua apar\u00eancia e estrutura, possibilita que o resultado seja compreendido por mais pessoas, e at\u00e9 mesmo a confian\u00e7a de que o resultado \u00e9 de fato v\u00e1lido, seja algo mais claro. Dentre outros aspectos, nos pr\u00f3prios livros textos de disciplinas, as demonstra\u00e7\u00f5es apresentadas s\u00e3o de prefer\u00eancia aquelas tidas como elegantes, facilitando que o estudante leia e entenda o resultado.<\/p>\n\n\n\n As tr\u00eas demonstra\u00e7\u00f5es do teorema de Euclides, foram extra\u00eddas e traduzidas do livro que aparece na capa deste post: Se voc\u00ea quer entender mais sobre esta eleg\u00e2ncia nas demonstra\u00e7\u00f5es, sugiro que leia: Como referenciar este conte\u00fado em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023\/2018):<\/p>\n\n\n\n SILVA, Marcos Henrique de Paula Dias da. Demonstrar com charme. In<\/em>: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero – Blog de Ci\u00eancia da Unicamp<\/a><\/strong>. Volume 3. Ed. 1. 1\u00ba semestre de 2020<\/a><\/strong>. Campinas, 03 jun. 2020. Dispon\u00edvel em: https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/2162\/<\/a>. Acesso em: <data-de-hoje>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Qual a raz\u00e3o de diferentes formas de escrever uma demonstra\u00e7\u00e3o? Porque o charme nas demonstra\u00e7\u00f5es est\u00e1 al\u00e9m de apenas um detalhe est\u00e9tico?<\/p>\n","protected":false},"author":434,"featured_media":2165,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"colormag_page_container_layout":"default_layout","colormag_page_sidebar_layout":"default_layout","_monsterinsights_skip_tracking":false,"_monsterinsights_sitenote_active":false,"_monsterinsights_sitenote_note":"","_monsterinsights_sitenote_category":0,"pgc_sgb_lightbox_settings":"","_vp_format_video_url":"","_vp_image_focal_point":[],"footnotes":""},"categories":[1210],"tags":[],"class_list":["post-2162","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-v-3-ed-1"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2162","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/users\/434"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2162"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2162\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5253,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2162\/revisions\/5253"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/media\/2165"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2162"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2162"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2162"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}
Tome n=p1.p2\u2026pk.
Sendo n+1 maior que pk, n+1 n\u00e3o \u00e9 primo e n\u00e3o tem um divisor comum com n.
Sendo pj divisor de n e n+1, ent\u00e3o divide (n+1)-n=1, o que \u00e9 um absurdo<\/em>.<\/p>\n\n\n\n
Para isto considere qualquer primo p que divida n!+1<\/em><\/p>\n\n\n\n
Sendo n e n+1 inteiros consecutivos, eles s\u00e3o primos relativos.
Ent\u00e3o N2=n(n+1) deve ter pelo menos dois diferentes fatores primos.
Analogamente n(n+1) e n(n+1)+1 s\u00e3o inteiros consecutivos, e por isto primos relativos.
Assim N3=n(n+1)[n(n+1)+1] deve ter pelo menos tr\u00eas diferentes fatores primos.
Este processo pode ser continuado indefinidamente<\/em><\/p>\n\n\n\n
ALSINA, C.; NELSEN, R. B. Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics. Mathematical Association of America, 2010, p. 10.<\/p>\n\n\n\n
SCHATTSCHNEIDER, D. Beauty and Truth in Mathematics. In: Sinclair N., Pimm D., Higginson W. (eds) Mathematics and the Aesthetic. CMS Books in Mathematics. Springer, New York, NY. 2006.<\/p>\n\n\n\n
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