{"id":2409,"date":"2020-11-15T22:46:05","date_gmt":"2020-11-16T01:46:05","guid":{"rendered":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/?p=2409"},"modified":"2023-08-25T17:47:45","modified_gmt":"2023-08-25T20:47:45","slug":"os-irmaos-esquecidos-de-%cf%80","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/2409\/","title":{"rendered":"Os irm\u00e3os esquecidos de \u03c0"},"content":{"rendered":"\n

Na escola aprendemos que \u03c0 \u00e9 um n\u00famero especial, uma constante obtida pelo per\u00edmetro de uma circunfer\u00eancia dividida por duas vezes o seu raio.<\/p>\n\n\n\n

Uma maneira did\u00e1tica com que professores de matem\u00e1tica costumam apresentar esse conceito, \u00e9 pedindo que os alunos encontrem circunfer\u00eancias pela escola, me\u00e7am seu per\u00edmetro, seu raio e depois realizem essa divis\u00e3o. Ainda que percebamos pequenas varia\u00e7\u00f5es resultantes nas pr\u00f3prias medi\u00e7\u00f5es, o valor se aproxima do famoso n\u00famero irracional \u03c0 (ou seja, algo em torno de 3,14).<\/p>\n\n\n\n

Um exemplo disso, \u00e9 minha x\u00edcara de caf\u00e9 aqui ao meu lado enquanto escrevo. Com uma fita m\u00e9trica medi seu per\u00edmetro e seu di\u00e2metro.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Dividindo 280 por 85, chegamos em 3,294. Sim, foi uma p\u00e9ssima medi\u00e7\u00e3o da minha parte mas serve de exemplo \ud83d\ude00<\/p>\n\n\n\n

O interessante, \u00e9 que a exist\u00eancia de uma constante dada pela divis\u00e3o do per\u00edmetro pelo dobro do seu raio, se mant\u00eam para todos os pol\u00edgonos regulares!<\/p>\n\n\n\n

Podemos nesse caso definir o raio de duas maneiras:<\/p>\n\n\n\n

raio-v\u00e9rtice:<\/strong> dado pela dist\u00e2ncia de um dos v\u00e9rtices at\u00e9 o centro do pol\u00edgono;<\/p>\n\n\n\n

raio-ap\u00f3tema:<\/strong> dado pela menor dist\u00e2ncia de uma aresta at\u00e9 o centro do pol\u00edgono.<\/p>\n\n\n\n

Esse problema de escolha n\u00e3o ocorre no c\u00edrculo, pois todo ponto do seu contorno tem a mesma dist\u00e2ncia at\u00e9 o centro. Mas no caso dos pol\u00edgonos regulares precisamos primeiro definir qual das categorias de raio estamos nos referindo. Por um gosto pessoal, dado que j\u00e1 existe o conceito de ap\u00f3tema, prefiro adotar o raio-v\u00e9rtice<\/strong>. Tamb\u00e9m por conveni\u00eancia, chamaremos de di\u00e2metro o dobro da medida de um raio-v\u00e9rtice<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

Assim, pegando um tri\u00e2ngulo regular cujo lado vale L, seu per\u00edmetro ser\u00e1 dado por 3L (at\u00e9 aqui esta f\u00e1cil);<\/p>\n\n\n\n

Seu raio-v\u00e9rtice<\/strong> ser\u00e1 dado por L\/2 dividido por cos(30o), ou reescrevendo, L\/[2.cos(30o)]. O valor do cos(30o) \u00e9 sqrt(3)\/2, logo, o raio-v\u00e9rtice<\/strong> ser\u00e1 L\/sqrt(3), e seu di\u00e2metro ser\u00e1 2L\/sqrt(3). Dividindo o per\u00edmetro pelo di\u00e2metro, chegaremos numa constante que chamaremos de Bi, e ela ser\u00e1 dada por 3L\/(2L\/sqrt(3). Como pode observar, temos a vari\u00e1vel L no numerador e no denominador, e L \u00e9 um comprimento, ent\u00e3o L>0, assim o numerador e o denominador se anulam, restando apenas uma constante, que \u00e9 aproximadamente 2,59807.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

O mesmo racioc\u00ednio ocorre para um quadrado. Seu per\u00edmetro \u00e9 dado por 4L, e seu di\u00e2metro \u00e9 dado por L.sqrt(2). Dividindo o per\u00edmetro pela diagonal novamente o numerador L se anula com o denominador L, restando apenas 4\/sqrt(2), ou seja, uma constante que chamaremos de Ci e se aproxima de 2,82842.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Para ilustrar, tamb\u00e9m mostro o c\u00e1lculo com um pent\u00e1gono.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Um resultado mais geral pode ser notado para todos os pol\u00edgonos regulares, pois o numerador ser\u00e1 um produto de L unidades, enquanto o di\u00e2metro estar\u00e1 em fun\u00e7\u00e3o de L, se anulando e restando apenas uma constante.<\/p>\n\n\n\n

Interessante observar como numerador cresce de forma linear, enquanto o denominador cresce mais lentamente.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Isso faz com que a medida que o n\u00famero de lados do pol\u00edgono aumenta, vamos gerando constantes Di, Fi, Gi, … at\u00e9 chegarmos no nosso famoso (e por isso sem gra\u00e7a) \u03c0.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Uma express\u00e3o geral para o c\u00e1lculo do di\u00e2metro de qualquer pol\u00edgono regular \u00e9 L.cos(theta\/2), onde L \u00e9 o lado do pol\u00edgono e theta \u00e9 um \u00e2ngulo interior do pol\u00edgono.<\/p>\n\n\n\n

Per\u00edmetro (L=1)<\/td>Di\u00e2metro (L=1)<\/td>P\/D<\/td><\/tr>
3<\/td>1,15470053837925<\/td>2,59807621135332<\/td><\/tr>
4<\/td>1,4142135623731<\/td>2,82842712474619<\/td><\/tr>
5<\/td>1,70130161670408<\/td>2,93892626146237<\/td><\/tr>
10<\/td>3,23606797749979<\/td>3,09016994374947<\/td><\/tr>
20<\/td>6,39245322149966<\/td>3,12868930080462<\/td><\/tr>
50<\/td>15,9259711099087<\/td>3,13952597646566<\/td><\/tr>
100<\/td>31,8362252090975<\/td>3,14107590781284<\/td><\/tr>
200<\/td>63,6645953060007<\/td>3,14146346236413<\/td><\/tr>
200<\/td>63,6645953060007<\/td>3,14146346236413<\/td><\/tr>
500<\/td>159,155990294267<\/td>3,14157198277953<\/td><\/tr>
1000<\/td>318,310409783138<\/td>3,14158748587987<\/td><\/tr>
2000<\/td>636,620034167059<\/td>3,14159136166168<\/td><\/tr>
5000<\/td>1591,54953563821<\/td>3,14159244688228<\/td><\/tr>
10000<\/td>3183,09891419646<\/td>3,14159260191397<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

Cr\u00e9ditos \u00e0 imagem de PublicDomainPictures<\/a> por Pixabay<\/a><\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

Como referenciar este conte\u00fado em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023\/2018):<\/p>\n\n\n\n

SILVA, Marcos Henrique de Paula Dias da. Os irm\u00e3os esquecidos de \u03c0. In<\/em>: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero – Blog de Ci\u00eancia da Unicamp<\/a><\/strong>. Volume 4. Ed. 1. 2\u00ba semestre de 2020<\/a><\/strong>. Campinas, 15 nov. 2020. Dispon\u00edvel em: https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/2409\/<\/a>. Acesso em: <data-de-hoje>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Podemos replicar a raz\u00e3o que gera o n\u00famero \u03c0 a quaisquer pol\u00edgono regular, isso gerar\u00e1 constantes legais, mas infelizmente ignoradas… <\/p>\n","protected":false},"author":434,"featured_media":2418,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"colormag_page_container_layout":"default_layout","colormag_page_sidebar_layout":"default_layout","_monsterinsights_skip_tracking":false,"_monsterinsights_sitenote_active":false,"_monsterinsights_sitenote_note":"","_monsterinsights_sitenote_category":0,"pgc_sgb_lightbox_settings":"","_vp_format_video_url":"","_vp_image_focal_point":[],"footnotes":""},"categories":[1212],"tags":[],"class_list":["post-2409","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-v-4-ed-1"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2409","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/users\/434"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2409"}],"version-history":[{"count":9,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2409\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5268,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2409\/revisions\/5268"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/media\/2418"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2409"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2409"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2409"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}