{"id":2676,"date":"2021-02-24T14:15:16","date_gmt":"2021-02-24T17:15:16","guid":{"rendered":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/?p=2676"},"modified":"2023-08-25T20:11:52","modified_gmt":"2023-08-25T23:11:52","slug":"integramamao-tripla","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/2676\/","title":{"rendered":"Integramam\u00e3o tripla"},"content":{"rendered":"\n

No C\u00e1lculo, a integral de uma fun\u00e7\u00e3o foi criada originalmente para determinar a \u00e1rea sob uma curva no plano cartesiano. De forma bem simpl\u00f3ria, uma integral precisa de uma posi\u00e7\u00e3o inicial (xi) de onde a fun\u00e7\u00e3o iniciar\u00e1 e uma posi\u00e7\u00e3o final (xf), de at\u00e9 onde mediremos o valor da fun\u00e7\u00e3o. Por exemplo, a \u00e1rea de um tri\u00e2ngulo como mostro abaixo. Temos que sua base come\u00e7a em xi e termina em xf, se conhecermos a fun\u00e7\u00e3o linear que forma sua hipotenusa, podemos deduzir qual a altura do tri\u00e2ngulo e ent\u00e3o encontrar sua \u00e1rea. Isso \u00e9 integra\u00e7\u00e3o.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Contudo, xi e xf n\u00e3o precisam corresponder ao come\u00e7o e fim da base. Podemos ter por exemplo xf menor que a base, e ainda assim, conhecendo a fun\u00e7\u00e3o que define sua hipotenusa, podemos deduzir sua altura e assim calcular sua \u00e1rea.<\/p>\n\n\n\n

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O mesmo vale para caso xi corresponda a uma posi\u00e7\u00e3o que n\u00e3o seja o in\u00edcio da base. Podemos calcular a altura da fun\u00e7\u00e3o hipotenusa em xf e em xi, e ent\u00e3o subtrair as \u00e1reas para encontrar a regi\u00e3o azul.<\/p>\n\n\n\n

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No caso a hipotenusa de um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo \u00e9 algo muito simples, mas poder\u00edamos ter fun\u00e7\u00f5es bem menos lineares que essa, e ainda assim utilizar desses mesmos conceitos. Como por exemplo, esse mam\u00e3o que eu tinha na geladeira.<\/p>\n\n\n\n

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Ele pode n\u00e3o parecer muito com um tri\u00e2ngulo, mas vamos observ\u00e1-lo melhor. No caso, o xi seria seu talo e o xf a parte mais larga. Ainda n\u00e3o parece muito, n\u00e9? Afinal, tri\u00e2ngulos tem essa ponta no xi, e o mam\u00e3o \u00e9 redondinho ali. Mas, vamos deslocar o xi um pouco mais para a direita com a nossa fun\u00e7\u00e3o matem\u00e1tica chamada “faca”.<\/p>\n\n\n\n

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Agora que deslocamos xi mais para a direita, a regi\u00e3o do mam\u00e3o corresponde melhor com a regi\u00e3o do nosso tri\u00e2ngulo.<\/p>\n\n\n\n

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Caso esteja dif\u00edcil de visualizar, abaixo sobreponho o tri\u00e2ngulo com o mam\u00e3o.<\/p>\n\n\n\n

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Veja que quanto mais \u00e0 direita eu deslocar o xi, mais minha figura se parecer\u00e1 com um ret\u00e2ngulo. De fato, quanto mais parecido com um ret\u00e2ngulo ficar esse segmento, mas f\u00e1cil de trabalhar com ele (ret\u00e2ngulos s\u00e3o legais).<\/p>\n\n\n\n

Contudo, mam\u00f5es s\u00e3o frutas tridimensionais, diferente de tri\u00e2ngulos que n\u00e3o s\u00e3o frutas e nem s\u00e3o tridimensionais. Podemos ent\u00e3o enxergar o segmento de mam\u00e3o do sua largura e comprimento, ignorando agora sua altura.<\/p>\n\n\n\n

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Com base nessas orienta\u00e7\u00f5es e fixando o centro, temos interesse na regi\u00e3o que esta entre yi (in\u00edcio da polpa) e yf (fim da polpa).<\/p>\n\n\n\n

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Ent\u00e3o podemos fixar a fun\u00e7\u00e3o “faca” primeiro em yi.<\/p>\n\n\n\n

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Ent\u00e3o executamos a fun\u00e7\u00e3o “faca” no intervalo entre 0\u00b0 e 360\u00b0 (particularmente, \u00e9 mais f\u00e1cil manter a faca fixa e rotacionar o mam\u00e3o).<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Repetimos o processo fixando a faca em yf.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Ent\u00e3o executamos a fun\u00e7\u00e3o “faca” no intervalo entre 0\u00b0 e 360\u00b0.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Nossa regi\u00e3o de interesse esta entre yi e yf, podemos ent\u00e3o considerar apenas esse intervalo, e chegamos assim na polpa que nos interessa.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Pronto! Terminamos de “integrar” nosso mam\u00e3o, vamos relembrar o que fizemos:<\/p>\n\n\n\n

    \n
  1. Determinamos a altura da polpa como xi at\u00e9 xf;<\/li>\n\n\n\n
  2. Determinamos a altura vezes o comprimento da polpa integrando de yi at\u00e9 yf;<\/li>\n\n\n\n
  3. Determinamos o volume da polpa integrando entre de 0\u00b0 a 360\u00b0.<\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n

    Simples, agora coma o mam\u00e3o e seja feliz \ud83d\ude00<\/p>\n\n\n\n

    \n\n\n\n

    Como referenciar este conte\u00fado em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023\/2018):<\/p>\n\n\n\n

    SILVA, Marcos Henrique de Paula Dias da. Integramam\u00e3o tripla. In<\/em>: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero – Blog de Ci\u00eancia da Unicamp<\/a><\/strong>. Volume 5. Ed. 1. 1\u00ba semestre de 2021<\/a><\/strong>. Campinas, 24 fev. 2021. Dispon\u00edvel em: https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/2676\/<\/a>. Acesso em: <data-de-hoje>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    Descascar um mam\u00e3o pode ser um bom exemplo de integra\u00e7\u00e3o tripla, consegue identificar a rela\u00e7\u00e3o?<\/p>\n","protected":false},"author":434,"featured_media":2677,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"colormag_page_container_layout":"default_layout","colormag_page_sidebar_layout":"default_layout","_monsterinsights_skip_tracking":false,"_monsterinsights_sitenote_active":false,"_monsterinsights_sitenote_note":"","_monsterinsights_sitenote_category":0,"pgc_sgb_lightbox_settings":"","_vp_format_video_url":"","_vp_image_focal_point":[],"footnotes":""},"categories":[1217],"tags":[],"class_list":["post-2676","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-v-5-ed-1"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2676","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/users\/434"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2676"}],"version-history":[{"count":9,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2676\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5282,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2676\/revisions\/5282"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/media\/2677"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2676"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2676"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2676"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}