{"id":268,"date":"2019-06-22T19:39:51","date_gmt":"2019-06-22T22:39:51","guid":{"rendered":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/?p=268"},"modified":"2023-08-24T16:18:07","modified_gmt":"2023-08-24T19:18:07","slug":"horrivelmente-harmonico","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/268\/","title":{"rendered":"Terrivelmente Harm\u00f4nico"},"content":{"rendered":"\t\t
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(Translate)<\/a><\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Na matem\u00e1tica algumas coisas importantes possuem nomes, uma delas \u00e9 a famosa S\u00e9rie Harm\u00f4nica, que chamaremos neste texto de H, e o n-\u00e9simo termo desta s\u00e9rie de H(n). Ent\u00e3o H(n) \u00e9 dado por 1 + 1\/2 + 1\/3 + 1\/4 + \u2026 + 1\/n.<\/p>\n

Hora de brincar um pouco com isto.<\/p>\n

H(1)=1,00<\/p>\n

H(2)=1+1\/2=1,50<\/p>\n

H(3)=1+1\/2+1\/3=1,83<\/p>\n

H(4)=1+1\/2+1\/3+1\/4=2,08<\/p>\n

H(5)=1+1\/2+1\/3+1\/4+1\/5=2,28<\/p>\n

H(6)=1+1\/2+1\/3+1\/4+1\/5+1\/6=2,45<\/p>\n

H(7)=1+1\/2+1\/3+1\/4+1\/5+1\/6+1\/7=2,59<\/p>\n

H(8)=1+1\/2+1\/3+1\/4+1\/5+1\/6+1\/7+1\/8=2,71<\/p>\n

H(9)=1+1\/2+1\/3+1\/4+1\/5+1\/6+1\/7+1\/8+1\/9=2,82<\/p>\n

H(10)=1+1\/2+1\/3+1\/4+1\/5+1\/6+1\/7+1\/8+1\/9+1\/10=2,92<\/p>\n

\u2026<\/p>\n

H(100)=1+1\/2+1\/3+\u2026+1\/100=5,18<\/p>\n

\u2026<\/p>\n

H(1.000)=1+1\/2+1\/3+\u2026+1\/1000=7,48<\/p>\n

\u2026<\/p>\n

H(10.000)=1+1\/2+1\/3+\u2026+1\/10000=9,78<\/p>\n

Mas uma d\u00favida come\u00e7a a crescer junto com esta s\u00e9rie\u2026 ser\u00e1 que em algum momento ela vai parar de crescer?<\/p>\n

Dizemos que uma s\u00e9rie diverge quando ela n\u00e3o converge (uma clara explica\u00e7\u00e3o ao estilo da matem\u00e1tica\u2026). Sendo um pouco mais espec\u00edfico, a converg\u00eancia de uma s\u00e9rie implica na sua estabiliza\u00e7\u00e3o a medida que o \u00edndice dos termos aumenta.<\/p>\n

Por exemplo, a s\u00e9rie S = 1+1\/2+1\/4+1\/8+1\/16+1\/32+\u2026 converge para o n\u00famero 2. H\u00e1 dois modos de mostrar isto:<\/p>\n

Jeito 1)<\/b> Multiplique S por 2. Temos ent\u00e3o 2S=2+1+1\/4+1\/8+1\/16+1\/32+\u2026 Mas 2S \u2013 S = S. Logo, posso subtrair os termos S da s\u00e9rie 2S e obter seu valor final:<\/p>\n

1 se anula com 1;<\/i><\/p>\n

\u00bd se anula com \u00bd;<\/i><\/p>\n

\u00bc se anula com \u00bc;<\/i><\/p>\n

1\/8 se anula com 1\/8;<\/i><\/p>\n

1\/16 se anula com 1\/16;<\/i><\/p>\n

1\/32 se anula com 1\/32;<\/i><\/p>\n

\u201ctr\u00eas pontinhos\u201d se anula com \u201ctr\u00eas pontinhos\u201d.<\/i><\/p>\n

O que sobra \u00e9 o 2.<\/p>\n

Jeito 2)<\/b> Desenhe dois quadrados do mesmo tamanho. Pinte o primeiro (temos 1 quadrado pintado);<\/p>\n

Agora divida o 2o<\/sup> quadrado ao meio e pinte uma metade (temos 1+1\/2 quadrados pintados);<\/i><\/p>\n

Agora divida a parte n\u00e3o pintada do 2o<\/sup> quadrado ao meio e pinte-a tamb\u00e9m (temos 1+1\/2+1\/4 quadrados pintados);<\/i><\/p>\n

Agora divida a parte n\u00e3o pintada do 2o<\/sup> quadrado ao meio e pinte-a tamb\u00e9m (temos 1+1\/2+1\/4+1\/8 quadrados pintados);<\/i><\/p>\n

Agora divida a parte n\u00e3o pintada do 2o<\/sup> quadrado ao meio e pinte-a tamb\u00e9m (temos 1+1\/2+1\/4+1\/8+1\/16 quadrados pintados);<\/i><\/p>\n

Perceba que repetindo este processo muitas vezes, a regi\u00e3o \u201cn\u00e3o pintada\u201d praticamente desaparece, ou seja, no final de infinitas divis\u00f5es da parte n\u00e3o pintada teremos 2 quadrados inteiramente pintados.<\/i><\/p>\n

Ou seja, sempre podemos achar um N tal que este somat\u00f3rio esteja t\u00e3o perto do n\u00famero 2 quanto queiramos, isto de forma simples, significa que a s\u00e9rie \u00e9 convergente\u2026 e aqui vai uma piada sobre s\u00e9ries convergentes.<\/p>\n

Era uma vez um bar no qual se formou uma fila de infinitos matem\u00e1ticos. O primeiro matem\u00e1tico pediu \u00bd garrafa de u\u00edsque<\/span>, o segundo pediu \u00bc da garrafa, o terceiro pediu 1\/8 da garrafa, o quarto pediu 1\/16 da garrafa\u2026 e assim sucessivamente. Cansado de ouvir seus pedidos, o dono do bar colocou na mesa uma garrafa de u\u00edsque<\/span> cheia e foi embora. Os matem\u00e1ticos questionaram sobre seus pedidos e o dono do bar respondeu: por favor senhores, conhe\u00e7am seus limites!<\/p>\n

(sim, matem\u00e1ticos adoram inventar piadas, e geralmente ningu\u00e9m ri delas)<\/i><\/p>\n

Voltando ao assunto, uma s\u00e9rie \u00e9 divergente quando ela n\u00e3o se aproxima de nenhum n\u00famero. No caso, temos s\u00e9ries que oscilam indefinidamente, como por exemplo 1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1\u2026 esta s\u00e9rie independente de quanto seu \u00edndice cres\u00e7a, nunca estar\u00e1 realmente pr\u00f3xima de 1 e nem de 0. Neste caso, \u00e9 uma s\u00e9rie divergente. Outro tipo de s\u00e9rie divergente \u00e9 a s\u00e9rie que diverge para o infinito (ou para o infinito negativo).<\/p>\n

Podemos pensar que a S\u00e9rie Harm\u00f4nica n\u00e3o passar\u00e1 por isto, afinal quanto mais o \u00edndice dela crescer, seu n-\u00e9simo termo 1\/n vai se aproximar cada vez mais de 0. Ent\u00e3o teremos uma soma de n\u00fameros muito pr\u00f3ximos de 0, e como aprendemos na escola, 0+0+0+0+0+0+\u2026+0 = 0, mas aqui est\u00e1 um erro, os termos desta s\u00e9rie se aproximam de 0, mas n\u00e3o s\u00e3o realmente iguais a 0.<\/p>\n

Mas como podemos ter certeza de que uma coisa que cresce t\u00e3o lentamente (afinal, quanto maior o n se torna, mais pr\u00f3ximo de 0 seus termos ficam), pode ir para o infinito?<\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Por esta raz\u00e3o, trato a S\u00e9rie Harm\u00f4nica como \u201cA S\u00e9rie Terrivelmente Lenta com uma Converg\u00eancia Extremamente Ineficiente\u201d. Pois \u00e9 uma s\u00e9rie que cresce lentamente, mas muito lentamente mesmo, e que sua converg\u00eancia (ou seja, sua estabiliza\u00e7\u00e3o em um n\u00famero) \u00e9 ineficiente (dado que ela diverge, crescendo para o infinito).<\/p>\n

Este t\u00edtulo \u00e9 refer\u00eancia ao personagem Ginosaji, do v\u00eddeo \u201cO Assassino Terrivelmente Lento com a Arma Extremamente Ineficiente\u201d, dado que ele leva anos para matar sua v\u00edtima, atingindo-a com furiosas colheradas usando a parte arredondada de uma colher de sopa, at\u00e9 que ela sucumba aos ferimentos da sua terr\u00edvel colher.<\/p>\n

Certo, mas voc\u00ea pode estar pensando, isto vai mesmo crescer para sempre? E para um n = 10.000.000.000? Ou talvez isto nunca passe de um n\u00famero muito grande, como por exemplo, 10.000.000.000. Ent\u00e3o, estas s\u00e3o d\u00favidas comuns, especialmente para uma s\u00e9rie que cresce t\u00e3o lentamente. E \u00e9 por isso que vou mostrar aqui a demonstra\u00e7\u00e3o de diverg\u00eancia da s\u00e9rie Terrivelmente Lenta.<\/p>\n

Primeiro vamos expandir um pouco esta s\u00e9rie:<\/p>\n

H(n)=1+1\/2+1\/3+1\/4+1\/5+1\/6+1\/7+1\/8+1\/9+1\/10+1\/11+1\/12+1\/13+1\/14+1\/15+1\/16+1\/17+\u2026<\/i><\/p>\n

Vejamos que o terceiro termo \u00e9 maior que 1\/4 (\u00f3bvio, 1\/3 > 1\/4).<\/i><\/p>\n

Tamb\u00e9m, que o quinto, sexto e s\u00e9timos termos s\u00e3o maiores que 1\/8.<\/i><\/p>\n

O nono at\u00e9 o d\u00e9cimo quinto termos, cada um deles \u00e9 maior que 1\/16.<\/i><\/p>\n

Consequentemente, do d\u00e9cimo s\u00e9timo termo at\u00e9 o trig\u00e9simo primeiro termo, ser\u00e1 cada um maior que 1\/32, e assim por diante.<\/p>\n

Generalizando, os termos entre 2n-1<\/sup>+1e 2n<\/sup>-1 ser\u00e3o maiores que 1\/2n<\/sup>. Com isto, n\u00f3s podemos criar uma s\u00e9rie que cresce mais lentamente que a s\u00e9rie Harm\u00f4nica, que chamaremos de SH (super harm\u00f4nica). Vamos ent\u00e3o expandir um pouco est\u00e1 duas s\u00e9ries.<\/p>\n

H(n)=1+1\/2+1\/3+1\/4+1\/5+1\/6+1\/7+1\/8+1\/9+1\/10+1\/11+1\/12+1\/13+1\/14+1\/15+1\/16+1\/17+\u2026<\/i><\/p>\n

SH(n)=1+1\/2+1\/4+1\/4+1\/8+1\/8+1\/8+1\/8+1\/16+1\/16+1\/16+1\/16+1\/16+1\/16+1\/16+1\/16+1\/32+\u2026<\/i><\/p>\n

Voc\u00ea pode estar pensando, se j\u00e1 \u00e9 dif\u00edcil mostrar que a s\u00e9rie harm\u00f4nica cresce at\u00e9 o infinito, quem dir\u00e1 mostrar que a super harm\u00f4nica cresce at\u00e9 o infinito? Mas pelo contr\u00e1rio, mostrar que a super harm\u00f4nica cresce at\u00e9 o infinito \u00e9 mais f\u00e1cil do que parece. E como a harm\u00f4nica \u00e9 maior que a super harm\u00f4nica, mostrar que a super harm\u00f4nica vai at\u00e9 o infinito, nos garante que a harm\u00f4nica tamb\u00e9m vai.<\/p>\n

Observe que para qualquer termo n maior do que 1 da super harm\u00f4nica, se somarmos os termos entre 2n-1<\/sup>+1 at\u00e9 2n<\/sup>, n\u00f3s teremos exatamente 1\/2.<\/p>\n

SH(n)=1+1\/2+[(1\/4+1\/4)=0,5]+[(1\/8+1\/8+1\/8+1\/8)=0,5]+[(1\/16+1\/16+1\/16+1\/16+1\/16+1\/16+1\/16+1\/16)=0,5]+[(1\/32+\u2026+1\/32)=0,5]+ [(1\/64+\u2026+1\/64)=0,5]+ 1\/128+\u2026<\/i><\/p>\n

Com isto, n\u00f3s podemos garantir que para SH(n) com n>2m<\/sup>, SH ser\u00e1 maior que 1+(m\/2). Ent\u00e3o, para qualquer n\u00famero k que escolhamos, sendo k suficientemente grande, n\u00f3s podemos encontrar m tal que 1+(m\/2)>k, e com isto temos que SH(n) com n>2m<\/sup>, que implica H(n)>SH(n)>k. Isto demonstra que SH diverge para o infinito, e por consequ\u00eancia a s\u00e9rie Harm\u00f4nica, que \u00e9 maior do que a s\u00e9rie Super Harm\u00f4nica, tamb\u00e9m deve divergir para o infinito.<\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t

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Voltar para p\u00e1gina inicial<\/a><\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Quem escreve os posts?<\/a><\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Existe uma s\u00e9rie que cresce lentamente, beeeeeeeeeem lentamente, mas ela nunca para, nunca se cansa, nunca desiste…<\/p>\n","protected":false},"author":434,"featured_media":277,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"colormag_page_container_layout":"default_layout","colormag_page_sidebar_layout":"default_layout","_monsterinsights_skip_tracking":false,"_monsterinsights_sitenote_active":false,"_monsterinsights_sitenote_note":"","_monsterinsights_sitenote_category":0,"pgc_sgb_lightbox_settings":"","_vp_format_video_url":"","_vp_image_focal_point":[],"footnotes":""},"categories":[1206],"tags":[],"class_list":["post-268","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-v-1-ed-1"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/268","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/users\/434"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=268"}],"version-history":[{"count":25,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/268\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5195,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/268\/revisions\/5195"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/media\/277"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=268"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=268"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=268"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}