Suponha que voc\u00ea teve a estranha vontade de comer uma gelatina de um sabor a cada dia do m\u00eas de maio, dia 1 correu no mercado e comprou todas as gelatinas que encontrou, mas chegando em casa, apesar de muitas gelatinas de cada sabor, a variedade de sabores era apenas framboesa, morango, uva, abacaxi e lim\u00e3o. O que fazer numa situa\u00e7\u00e3o como essa? Pegar o carro e seguir vagando pelo mundo atr\u00e1s de novos sabores de gelatina, ou, resolver seu problema com um pouco de permuta\u00e7\u00e3o?<\/p>\n\n\n\n
Enquanto voc\u00ea n\u00e3o decide, vamos fazendo as gelatinas dos sabores que temos:<\/p>\n\n\n\n
Dia 1 – Framboesa;
Dia 2 – Morango;
Dia 3 – Uva;
Dia 4 – Abacaxi;
Dia 5 – Lim\u00e3o.<\/p>\n\n\n\n
Mas agora, ap\u00f3s pensarmos por 5 dias, j\u00e1 sabemos como resolver esse problema e nossa vontade louca por gelatinas:<\/p>\n\n\n\n
Dia 6 – Framboesa-Morango;
Dia 7 – Framboesa-Uva;
Dia 8 – Framboesa-Abacaxi;
Dia 9 – Framboesa-Lim\u00e3o;
Dia 10 – Morango-Uva;
Dia 11 – Morango-Abacaxi;
Dia 12 – Morango-Lim\u00e3o;
Dia 13 – Uva-Abacaxi;
Dia 14 – Uva-Lim\u00e3o;
Dia 15 – Abacaxi-Lim\u00e3o.<\/p>\n\n\n\n
Mas se fizemos isso com dois sabores, podemos fazer com mais um sabor:<\/p>\n\n\n\n
Dia 16 – Framboesa-Morango-Uva;
Dia 17 – Framboesa-Morango-Abacaxi;
Dia 18 – Framboesa-Morango-Lim\u00e3o;
Dia 19 – Framboesa-Uva-Abacaxi;
Dia 20 – Framboesa-Uva-Lim\u00e3o;
Dia 21 – Framboesa-Abacaxi-Lim\u00e3o;
Dia 22 – Morango-Uva-Abacaxi;
Dia 23 – Morango-Uva-Lim\u00e3o;
Dia 24 – Morango-Abacaxi-Lim\u00e3o;
Dia 25 – Uva-Abacaxi-Lim\u00e3o.<\/p>\n\n\n\n
Podemos misturar mais alguns sabores, e teremos:<\/p>\n\n\n\n
Dia 26 – Framboesa-Morango-Uva-Abacaxi;
Dia 27 – Framboesa-Morango-Uva-Lim\u00e3o;
Dia 28 – Framboesa-Morango-Abacaxi-Lim\u00e3o;
Dia 29 – Framboesa-Uva-Abacaxi-Lim\u00e3o;
Dia 30 – Morango-Uva-Abacaxi-Lim\u00e3o.<\/p>\n\n\n\n
Faltando apenas um dia para fecharmos o m\u00eas com um sabor diferente a cada dia, vamos ao grande final:<\/p>\n\n\n\n
Dia 31 – Framboesa-Morango-Uva-Abacaxi-Lim\u00e3o.<\/p>\n\n\n\n
Pronto, com apenas 5 tipos de gelatinas, 31 receitas para voc\u00ea se deliciar em todo m\u00eas de maio. Mas beleza, o que isso tem a ver com matem\u00e1tica? Ou ser\u00e1 que comi gelatina de mais e agora estou variando das ideias (de fato adoro gelatina e n\u00e3o acredito que exista “gelatina de mais”).<\/p>\n\n\n\n
Antes de come\u00e7ar esse post, estava fazendo gelatina e pensando, quantas formas podemos combinar esses pacotinhos? Esse \u00e9 um problema de permuta\u00e7\u00e3o no qual a ordem n\u00e3o importa, ou seja, se eu misturo Abacaxi com Lim\u00e3o, \u00e9 a mesma coisa que misturar Lim\u00e3o com Abacaxi.<\/p>\n\n\n\n
No caso, esse \u00e9 um problema que se resolve facilmente com a ferramenta matem\u00e1tica chamada “X escolhe Y”. Ou seja, temos de um conjunto com X elementos, uma quantidade Y a ser escolhida, tal que Y \u00e9 menor do que X. Vou dar um exemplo:<\/p>\n\n\n\n
Tenho 5 sabores de gelatina e preciso escolher 1.<\/p>\n\n\n\n
A solu\u00e7\u00e3o parece “\u00f3bvia” e de fato ela \u00e9 \u00f3bvia… mas vamos ver como escrever ela em termos de permuta\u00e7\u00e3o.<\/p>\n\n\n\n
A ferramenta “X escolhe Y” pode ser representada como o fatorial de X, dividido pelos fatoriais de Y e de (X – Y). No exemplo acima, 5 escolhe 1, escrever\u00edamos como:<\/p>\n\n\n\n
5!\/(4!1!)<\/p>\n\n\n\n
Isso \u00e9 igual a 120\/(24*1) = 5. Era de fato um caso bem simples de descobrir a resposta mesmo sem essa ferramenta.<\/p>\n\n\n\n
Agora, se pensarmos na quest\u00e3o de 2 sabores combinados, temos novamente o problema de “X escolhe Y”, nesses exemplos X ser\u00e1 sempre igual a 5, pois representa o total de sabores dispon\u00edveis em nosso problema. O que mudar\u00e1, \u00e9 Y, que representa aqui a quantidade de sabores que queremos misturar, que nesse caso ser\u00e1 2.<\/p>\n\n\n\n
5!\/(3!2!)<\/p>\n\n\n\n
Isso \u00e9 igual a 120\/(6*2) = 10. J\u00e1 n\u00e3o era um resultado t\u00e3o f\u00e1cil de descobrir, mas vejamos como que esse conceito nos \u00e9 muito conveniente para os pr\u00f3ximos c\u00e1lculos.<\/p>\n\n\n\n
Agora com 3 sabores, sequer precisamos fazer as contas, pois Y ser\u00e1 3, s\u00f3 que da defini\u00e7\u00e3o de “X escolhe Y”, temos que 5! ser\u00e1 dividido por Y! e por (X – Y)!. Nesse caso, Y ser\u00e1 3, e (X – Y) ser\u00e1 2. Ou seja 5!\/(2!3!). Mas como a ordem dos fatores n\u00e3o altera o produto na multiplica\u00e7\u00e3o de n\u00fameros reais, temos que 5!\/(3!2!) = 5!\/(2!3!), que j\u00e1 sabemos a resposta, vale 10.<\/p>\n\n\n\n
O mesmo nos diz que para 4 sabores, teremos 5!\/(1!4!) = 5!\/(4!1!) = 5.<\/p>\n\n\n\n
Por fim, a \u00faltima combina\u00e7\u00e3o, 5 sabores de 5 op\u00e7\u00f5es: 5!\/(5!0!) = 1. Lembrando \u00e9 claro, que 0! vale 1, pois representa a quantidade de maneiras que podemos combinar 0 objetos, e embora pare\u00e7a contraintuitivo, podemos combinar 0 objetos de 1 maneira.<\/p>\n\n\n\n
Somando os resultados, chegamos nas nossas queridas 31 receitas de gelatinas \ud83d\ude42<\/p>\n\n\n\n
Como referenciar este conte\u00fado em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023\/2018):<\/p>\n\n\n\n
SILVA, Marcos Henrique de Paula Dias da. 31 receitas com 5 gelatinas. In<\/em>: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero – Blog de Ci\u00eancia da Unicamp<\/a><\/strong>. Volume 5. Ed. 1. 1\u00ba semestre de 2021<\/a><\/strong>. Campinas, 05 maio 2021. Dispon\u00edvel em: https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/2907\/<\/a>. Acesso em: <data-de-hoje>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Se voc\u00ea gosta de gelatina e est\u00e1 cansado dos sabores b\u00e1sicos do mercado, que tal criar algumas combina\u00e7\u00f5es?<\/p>\n","protected":false},"author":434,"featured_media":2908,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"inline_featured_image":false,"editor_plus_copied_stylings":"{}","_monsterinsights_skip_tracking":false,"_monsterinsights_sitenote_active":false,"_monsterinsights_sitenote_note":"","_monsterinsights_sitenote_category":0,"pgc_sgb_lightbox_settings":"","_vp_format_video_url":"","_vp_image_focal_point":[],"footnotes":""},"categories":[1217],"tags":[],"class_list":["post-2907","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-v-5-ed-1"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2907","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/users\/434"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2907"}],"version-history":[{"count":6,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2907\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5294,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2907\/revisions\/5294"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/media\/2908"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2907"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2907"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2907"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}