{"id":3050,"date":"2021-07-10T14:51:40","date_gmt":"2021-07-10T17:51:40","guid":{"rendered":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/?p=3050"},"modified":"2023-08-26T16:18:12","modified_gmt":"2023-08-26T19:18:12","slug":"o-numero-pi-em-enen-shouboutai","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/3050\/","title":{"rendered":"O n\u00famero Pi em Enen Shouboutai"},"content":{"rendered":"\n

No final do cap\u00edtulo 118 do mang\u00e1 Enen Shouboutai, os personagens encontram nas ru\u00ednas de uma “antiga civiliza\u00e7\u00e3o”, uma sequ\u00eancia num\u00e9rica bastante longa e aparentemente que n\u00e3o segue nenhum padr\u00e3o. Se assemelhando at\u00e9 mesmo a uma sequ\u00eancia aleat\u00f3ria.<\/p>\n\n\n\n

Na ocasi\u00e3o, um dos personagens (Arthur Boyle) “percebeu” que peda\u00e7os daquela sequ\u00eancia finita, correspondiam a sequ\u00eancias finitas presentes dentro do n\u00famero Pi.<\/p>\n\n\n\n

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Imagem do respectivo cap\u00edtulo, dispon\u00edvel em https:\/\/www.brmangas.com\/<\/strong><\/a><\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

De fato voc\u00ea pode conferir que o n\u00famero “54.625.261.181” aparece nas casas decimais de Pi pela primeira vez na 616.071 casa decimal.<\/p>\n\n\n\n

…0592688 54625261181<\/span><\/span> 1506554…<\/p>\n\n\n\n

Caso queira procurar n\u00fameros na sequ\u00eancia decimal de Pi, o site Atractor<\/a><\/strong> possibilita essa busca em uma quantidade consider\u00e1vel de casas.<\/p>\n\n\n\n

Contudo o ponto mais interessante dessa discuss\u00e3o \u00e9, qualquer sequ\u00eancia finita aparece em qualquer n\u00famero irracional?<\/p>\n\n\n\n

A resposta \u00e9 n\u00e3o!<\/strong><\/p>\n\n\n\n

O n\u00famero de Liouville \u00e9 um exemplo de irracional do qual podemos mostrar facilmente que existem sequ\u00eancias finitas que n\u00e3o aparecem em suas casas decimais. Esse n\u00famero \u00e9 formado pela s\u00e9rie 1\/10^(n!) onde n \u00e9 um Natural. Para voc\u00ea entender melhor como \u00e9 a apar\u00eancia desse n\u00famero, colocarei aqui seus primeiros 25 d\u00edgitos:<\/p>\n\n\n\n

0,1 + 0,01 + 0,000001 + 0,000000000000000000000001 = 0,1100010000000000000000010…<\/p>\n\n\n\n

Agora voc\u00ea pode estar pensando, existe algum n\u00famero irracional no qual qualquer sequ\u00eancia finita aparece?<\/p>\n\n\n\n

A resposta \u00e9 sim!<\/strong><\/p>\n\n\n\n

O n\u00famero de Champernowne \u00e9 um exemplo de irracional do qual podemos mostrar facilmente que qualquer sequ\u00eancia finita aparecer\u00e1 em suas casas decimais. Esse n\u00famero \u00e9 formado pela sequ\u00eancia dos n\u00fameros Naturais em sua representa\u00e7\u00e3o concatenada. Para voc\u00ea entender melhor como \u00e9 a apar\u00eancia desse n\u00famero, colocarei aqui seus primeiros 54 d\u00edgitos:<\/p>\n\n\n\n

0,12345678910111213141516171819202122232425262728293031… <\/p>\n\n\n\n

Assim, um n\u00famero como aquele que Arthur Boyle identificou como pertencente a sequencia decimal de Pi, certamente tamb\u00e9m pertence a sequ\u00eancia decimal do n\u00famero de Champernowne. Basta seguirmos a constru\u00e7\u00e3o de seus termos at\u00e9 chegarmos no 54.625.261.181 n\u00famero Natural.<\/p>\n\n\n\n

De todo modo, voc\u00ea ainda pode estar se perguntando, qualquer sequ\u00eancia finita aparece nas casas decimais de Pi?<\/p>\n\n\n\n

A resposta \u00e9 ningu\u00e9m sabe<\/strong><\/p>\n\n\n\n

S\u00f3 para nos recordarmos, Pi \u00e9 um n\u00famero irracional que expressa a raz\u00e3o entre o comprimento de um c\u00edrculo pelo seu di\u00e2metro. Um m\u00e9todo bastante rudimentar de aproximar o valor de Pi (e que foi mostrado no post Os irm\u00e3os esquecidos de \u03c0<\/strong><\/a>) \u00e9 construindo pol\u00edgonos regulares com um grande n\u00famero de lados, e ent\u00e3o dividindo o per\u00edmetro deles pela sua diagonal principal. Quando o n\u00famero de lados tender a infinito, essa raz\u00e3o tender\u00e1 a Pi.<\/p>\n\n\n\n

Assim, as casas decimais de Pi que muitos memorizam (3,141592…) n\u00e3o s\u00e3o obtidas de uma forma arbitr\u00e1ria. <\/p>\n\n\n\n

Mas uma propriedade dos n\u00fameros irracionais bastante investigada na Matem\u00e1tica \u00e9 a distribui\u00e7\u00e3o de seus d\u00edgitos, no caso, se seus d\u00edgitos s\u00e3o distribu\u00eddos de maneira aleat\u00f3ria dentro de alguma base num\u00e9rica (como por exemplo, se lan\u00e7assemos um dado de 10 faces para decidir entre 0 e 9 qual ser\u00e1 o pr\u00f3ximo valor da sequ\u00eancia decimal), o n\u00famero irracional \u00e9 chamado de Normal. Assim, um n\u00famero Normal certamente ter\u00e1 qualquer sequ\u00eancia finita definida, dado que a probabilidade dela aparecer nunca ser\u00e1 nula e a extens\u00e3o decimal do n\u00famero irracional \u00e9 infinita. <\/p>\n\n\n\n

Mas respondendo a pergunta em si, ningu\u00e9m ainda conseguiu provar que Pi \u00e9 um n\u00famero Normal. Pois embora construir n\u00fameros irracionais Normais seja relativamente simples, identificar se um n\u00famero irracional qualquer \u00e9 Normal, n\u00e3o \u00e9 uma tarefa trivial. Ou seja, embora v\u00e1rias frentes acreditem que Pi seja Normal, dizer que qualquer sequ\u00eancia finita seguramente aparecer\u00e1 em suas casas decimais \u00e9 at\u00e9 agora uma conjectura.<\/p>\n\n\n\n

Cr\u00e9ditos da imagem de capa a Andrew Martin<\/a> por Pixabay<\/a><\/p>\n\n\n\n

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Como referenciar este conte\u00fado em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023\/2018):<\/p>\n\n\n\n

SILVA, Marcos Henrique de Paula Dias da. O n\u00famero Pi em Enen Shouboutai. In<\/em>: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero – Blog de Ci\u00eancia da Unicamp<\/a><\/strong>. Volume 6. Ed. 1. 2\u00ba semestre de 2021<\/a><\/strong>. Campinas, 10 jul. 2021. Dispon\u00edvel em: https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/3050\/<\/a>. Acesso em: <data-de-hoje>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Arthur reconhece trechos dos algarismos de Pi em escrituras antigas, mas na verdade isso n\u00e3o \u00e9 nem um pouco surpreendente.<\/p>\n","protected":false},"author":434,"featured_media":3055,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"colormag_page_container_layout":"default_layout","colormag_page_sidebar_layout":"default_layout","_monsterinsights_skip_tracking":false,"_monsterinsights_sitenote_active":false,"_monsterinsights_sitenote_note":"","_monsterinsights_sitenote_category":0,"pgc_sgb_lightbox_settings":"","_vp_format_video_url":"","_vp_image_focal_point":[],"footnotes":""},"categories":[1219],"tags":[],"class_list":["post-3050","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-v-6-ed-1"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3050","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/users\/434"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3050"}],"version-history":[{"count":9,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3050\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5303,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3050\/revisions\/5303"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/media\/3055"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3050"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3050"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3050"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}