{"id":3066,"date":"2021-07-17T15:48:48","date_gmt":"2021-07-17T18:48:48","guid":{"rendered":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/?p=3066"},"modified":"2023-08-26T16:18:54","modified_gmt":"2023-08-26T19:18:54","slug":"demonstre-teoremas-e-ganhe-bombons","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/3066\/","title":{"rendered":"Demonstre teoremas e ganhe bombons"},"content":{"rendered":"\n

E ai, voc\u00ea faz Matem\u00e1tica, n\u00e9? Ent\u00e3o tenta demonstrar essa propriedade…<\/em><\/p>\n\n\n\n

A frase acima \u00e9 de assustar, at\u00e9 mesmo para matem\u00e1ticos formados. Afinal, mesmo que tenhamos feito uma gradua\u00e7\u00e3o fundamentada em demonstra\u00e7\u00f5es, pedir para demonstrarmos algo sem que estejamos estudando o assunto, \u00e9 de dar medo.<\/p>\n\n\n\n

Mas se temos a habilidade necess\u00e1ria para demonstrar e j\u00e1 vimos o assunto, o que nos falta?<\/p>\n\n\n\n

Nesse sentido, considero que demonstrar seja bem parecido com programar. Pois a demonstra\u00e7\u00e3o envolve construir um argumento embasado num conjunto de verdades previamente aceitas e seguindo uma estrutura l\u00f3gica determinada, de modo que comecemos das hip\u00f3teses do enunciado e cheguemos em sua conclus\u00e3o. Um processo an\u00e1logo por exemplo a programar um “Hello World!”<\/p>\n\n\n\n

Na programa\u00e7\u00e3o voc\u00ea pode ter programas simples ou complexos fazendo exatamente as mesmas a\u00e7\u00f5es, como por exemplo, calcular a sequ\u00eancia de Fibonacci. Se feito de modo iterativo \u00e9 extremamente r\u00e1pido, mas se for feito modo recursivo, o mesmo c\u00e1lculo pode levar mais do que a idade do universo.<\/p>\n\n\n\n

Nas demonstra\u00e7\u00f5es temos um quadro an\u00e1logo, os mesmos resultados podem ser demonstrados por processos simples ou complexos. Por exemplo, provar que a ra\u00edz c\u00fabica de 2 \u00e9 um n\u00famero irracional:<\/p>\n\n\n\n

Jeito simples: <\/strong>
Suponha que 2^(1\/3) seja Racional, assim, da defini\u00e7\u00e3o de n\u00famero Racional, 2^(1\/3) pode ser escrito como p\/q, onde p e q s\u00e3o Inteiros primos entre si.
Temos que p\/q = 2^(1\/3), logo:
(p\u00b3)\/(q\u00b3) = 2
p\u00b3 = 2.q\u00b3
Portanto, p \u00e9 par. Assim, p pode ser escrito como 2.r, onde r \u00e9 um inteiro.
p\u00b3 = (2.r)\u00b3 = 2.q\u00b3
8.r\u00b3 = 2.q\u00b3
4.r\u00b3 = q\u00b3
Portanto, q \u00e9 par.
Portanto, p e q t\u00eam fator comum 2, o que \u00e9 uma contradi\u00e7\u00e3o.<\/p>\n\n\n\n

Jeito complicado:<\/strong>
Suponha que 2^(1\/3) seja Racional, assim, da defini\u00e7\u00e3o de n\u00famero Racional, 2^(1\/3) pode ser escrito como p\/q, onde p e q s\u00e3o Inteiros primos entre si.
Temos que p\/q = 2^(1\/3), logo:
(p\u00b3)\/(q\u00b3) = 2
p\u00b3 = 2.q\u00b3
p\u00b3 = q\u00b3 + q\u00b3
O que n\u00e3o \u00e9 verdade, pois pelo \u00daltimo Teorema de Fermat<\/strong> a equa\u00e7\u00e3o
x^n + y^n = z^n
n\u00e3o tem solu\u00e7\u00e3o com n > 2 e (x, y, z) Naturais.<\/p>\n\n\n\n

Uma diferen\u00e7a “sutil” a partir da 5a linha, que dista um conceito matem\u00e1tico que levou cerca de 2.500 anos para se desenvolver (jeito simples<\/strong>, dispon\u00edvel desde a Escola Pitag\u00f3rica ~ 500 a.C \/\/ jeito complexo<\/strong>, dispon\u00edvel apenas a partir de 1994).<\/p>\n\n\n\n

Assim, come\u00e7ar as cegas uma demonstra\u00e7\u00e3o assim como criar um c\u00f3digo, \u00e9 um jogo bastante arriscado, pois podemos seguir por um caminho aparentemente funcional, mas que \u00e9 muito mais complexo do que o necess\u00e1rio. Mas se tiv\u00e9ssemos algumas informa\u00e7\u00f5es sobre como a demonstra\u00e7\u00e3o poderia ser, talvez enxerg\u00e1ssemos mais facilmente um caminho mais simples para aquela prova.<\/p>\n\n\n\n

Foi assim que come\u00e7ou no dia 23 de Agosto de 2019, numa mesinha do subsolo do Instituto de Matem\u00e1tica, Estat\u00edstica e Computa\u00e7\u00e3o Cient\u00edfica da Unicamp, com uma caixa de bombons e tr\u00eas conjuntinhos de pe\u00e7as de papel, o evento conhecido como “Demonstre Teoremas e Ganhe Bombons”.<\/p>\n\n\n\n

No caso, t\u00ednhamos para provar:<\/p>\n\n\n\n

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  1. Se f(x) \u00e9 menor ou igual que g(x) para todo x em um intervalo aberto que cont\u00eam a, e limite quando x tende \u00e0 a de f(x) e de g(x) \u00e9 igual a L e M respectivamente, ent\u00e3o L \u00e9 menor ou igual a M;<\/li>\n\n\n\n
  2. A derivada da constante pela fun\u00e7\u00e3o, \u00e9 igual ao produto da constante pela derivada da fun\u00e7\u00e3o;<\/li>\n\n\n\n
  3. A derivada da soma das fun\u00e7\u00f5es, \u00e9 igual a soma da derivada das fun\u00e7\u00f5es;<\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n

    Para escrever cada demonstra\u00e7\u00e3o t\u00ednhamos de 6 a 7 pe\u00e7as para juntar de um modo que fizesse sentido com o enunciado. A din\u00e2mica desse dia foi bem positiva, v\u00e1rios alunos do instituto apareciam dizendo que n\u00e3o sabiam demonstrar assim de cabe\u00e7a, mas vendo que se tratava de juntar as pe\u00e7as, arriscavam a aplicar seu racioc\u00ednio matem\u00e1tico de modo a escrever a demonstra\u00e7\u00e3o corretamente.<\/p>\n\n\n\n

    A rela\u00e7\u00e3o de demonstrar com programar \u00e9 de fato t\u00e3o pr\u00f3xima, que alguns alunos do Instituto de Computa\u00e7\u00e3o da Unicamp reproduziram essa ideia naquele mesmo dia na parte da tarde, envolvendo em uma esp\u00e9cie de rivalidade com os Matem\u00e1ticos o “Resolva 1 programa e ganhe um chocolate”.<\/p>\n\n\n\n

    \"\"<\/figure>\n\n\n\n

    Na semana seguinte, dia 29 de agosto de 2019, realizei outra edi\u00e7\u00e3o, depois outra no dia 03 de mar\u00e7o de 2020. Desde ent\u00e3o, come\u00e7ou a pandemia de COVID-19 e esses eventos ficaram invi\u00e1veis presencialmente.<\/p>\n\n\n\n

    Mas se voc\u00ea sente vontade de demonstrar algumas propriedades matem\u00e1ticas, pode fazer isso virtualmente ainda com o game Arrasta o X<\/strong><\/a>, criado a partir de todas essas experi\u00eancias acumuladas e de suas contribui\u00e7\u00f5es com essa pesquisa esquisita que realizo \ud83d\ude1b<\/p>\n\n\n\n

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