{"id":3409,"date":"2021-08-27T22:34:42","date_gmt":"2021-08-28T01:34:42","guid":{"rendered":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/?p=3409"},"modified":"2023-08-26T16:23:05","modified_gmt":"2023-08-26T19:23:05","slug":"poligono-regular-de-%cf%80-lados","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/3409\/","title":{"rendered":"Pol\u00edgono regular de \u03c0 lados?"},"content":{"rendered":"\n

Essa semana estava conversando com meu amigo Pavel, quando comentei sobre qu\u00e3o legal seriam pol\u00edgonos regulares com quantidades n\u00e3o-Naturais de lados… ent\u00e3o esse post \u00e9 para voc\u00ea e para todas as pessoas com dificuldade de enxergar esses pol\u00edgonos esquisitos.<\/p>\n\n\n\n

Para come\u00e7ar esse texto precisamos falar de defini\u00e7\u00f5es… e nada melhor para explicar o poder das defini\u00e7\u00f5es matem\u00e1ticas, do que uma piada.<\/p>\n\n\n\n

Um fil\u00f3sofo, um f\u00edsico e um matem\u00e1tico recebem a mesma quantidade de cerca, e pede-se para que eles cerquem a maior \u00e1rea poss\u00edvel.
O fil\u00f3sofo pensa por um momento e decide cercar uma \u00e1rea quadrada.
O f\u00edsico, percebendo que podia cercar uma \u00e1rea maior, imediatamente coloca sua cerca em forma de c\u00edrculo. \u201cQuero ver voc\u00ea superar isso!\u201d, diz ele ao matem\u00e1tico, sorrindo.
O matem\u00e1tico, em resposta, pega uma pequena parte de sua cerca, enrola-a em volta de si e exclama: \u201cEu me defino como estando fora da cerca!\u201d<\/em><\/p>\n\n\n\n

A moral dessa piada \u00e9 que na matem\u00e1tica “vale tudo” desde que tenhamos definido dessa maneira. Em aula uma vez me perguntaram “como mostrar” que as opera\u00e7\u00f5es b\u00e1sicas com matrizes, ocorrem daquela maneira? A resposta matem\u00e1tica \u00e9 bastante sem gra\u00e7a: “pois s\u00e3o desse jeito que foram definidas” … j\u00e1 a raz\u00e3o dos matem\u00e1ticos definirem dessa maneira tem interesses bem espec\u00edficos<\/strong> para os c\u00e1lculos que eles precisam realizar com essas disposi\u00e7\u00f5es retangulares de n\u00fameros \ud83d\ude42<\/p>\n\n\n\n

Mas voltando a hist\u00f3ria dos pol\u00edgonos regulares de lados n\u00e3o-Naturais, vamos pensar qual seria a ideia para imagin\u00e1-los. O \u00e2ngulo interno de um pol\u00edgono regular de N lados \u00e9 uma constante. Ou seja, a rela\u00e7\u00e3o entre o n\u00famero de lados do pol\u00edgono e seu \u00e2ngulo interno \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o injetora. Pois se digo que um pol\u00edgono regular tem \u00e2ngulo interno de 60 graus, ent\u00e3o estou falando de um tri\u00e2ngulo regular. Se o pol\u00edgono regular tem \u00e2ngulo interno de 90 graus, ent\u00e3o estou falando de um quadrado. Se um pol\u00edgono regular tem \u00e2ngulo interno de 108 graus, ent\u00e3o estou falando de um pent\u00e1gono regular.<\/p>\n\n\n\n

Essa constante se mant\u00eam e inclusive j\u00e1 foi discutida no post Quantos graus tem o \u00e2ngulo interno de um pol\u00edgono regular de infinitos lados?<\/a><\/strong>. Uma maneira de calcular esse \u00e2ngulo mostrado no post \u00e9 a seguinte:<\/p>\n\n\n\n

3 lados: [180 \u2013 (360\/3)] = 60 graus<\/em>
4 lados: [180 \u2013 (360\/4)] = 90 graus
5 lados: [180 \u2013 (360\/5)] = 108 graus
6 lados: [180 \u2013 (360\/6)] = 120 graus
7 lados: [180 \u2013 (360\/7)] = 128,5 graus
8 lados: [180 \u2013 (360\/8)] = 135 graus
9 lados: [180 \u2013 (360\/9)] = 140 graus
10 lados: [180 \u2013 (360\/10)] = 144 graus<\/em><\/p>\n\n\n\n

Nesse c\u00e1lculo, a express\u00e3o geral \u00e9 [180 \u2013 (360\/n)]<\/em> onde n<\/strong> \u00e9 o n\u00famero de lados do pol\u00edgono regular. No caso, x<\/strong> \u00e9 o \u00e2ngulo (um n\u00famero Real positivo), enquanto n<\/strong> \u00e9 um n\u00famero Natural maior ou igual a 3.<\/p>\n\n\n\n

Apesar de termos uma fun\u00e7\u00e3o injetora, na nossa estrutura atual ela n\u00e3o \u00e9 sobrejetora, visto que podemos escolher \u00e2ngulos dos quais n\u00e3o temos um n\u00famero de lados de um poligono regular que corresponda. Por exemplo, no nosso cen\u00e1rio tradicional n\u00e3o h\u00e1 um pol\u00edgono regular com \u00e2ngulo interno 80 graus.<\/p>\n\n\n\n

Perceba que o tamanho do dom\u00ednio (lados de pol\u00edgonos) \u00e9 bem menor que o tamanho do contradom\u00ednio (\u00e2ngulos internos). Ou seja, podemos escolher qualquer n<\/strong> que teremos um x<\/strong> v\u00e1lido. Mas o contr\u00e1rio n\u00e3o funcionaria, escolher um n\u00famero qualquer para x<\/strong> n\u00e3o garante que n<\/strong> ser\u00e1 um n\u00famero Natural.<\/p>\n\n\n\n

Desse modo, vamos “definir” simplesmente que n<\/strong> a partir de agora ser\u00e1 um n\u00famero real positivo maior ou igual a 3.<\/p>\n\n\n\n

Mas antes de tomarmos qualquer x<\/strong> e determinarmos o n\u00famero de lados do nosso pol\u00edgono, observe que nossa defini\u00e7\u00e3o ainda est\u00e1 sem um sentido geom\u00e9trico.<\/p>\n\n\n\n

Antes de pensarmos na geometria do nosso objeto, vamos ver seu comportamento alg\u00e9brico. Fixando o comprimento das arestas do pol\u00edgono, vamos aumentar gradativamente seus \u00e2ngulos internos. Come\u00e7aremos transformando um tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero em um quadrado.<\/p>\n\n\n\n

\u00c2ngulo<\/strong><\/td>Lado<\/strong><\/td><\/tr>
60,0<\/td>3<\/td><\/tr>
62,0<\/td>3,05<\/td><\/tr>
63,9<\/td>3,1<\/td><\/tr>
65,7<\/td>3,15<\/td><\/tr>
67,5<\/td>3,2<\/td><\/tr>
69,2<\/td>3,25<\/td><\/tr>
70,9<\/td>3,3<\/td><\/tr>
72,5<\/td>3,35<\/td><\/tr>
74,1<\/td>3,4<\/td><\/tr>
75,7<\/td>3,45<\/td><\/tr>
77,1<\/td>3,5<\/td><\/tr>
78,6<\/td>3,55<\/td><\/tr>
80,0<\/td>3,6<\/td><\/tr>
81,4<\/td>3,65<\/td><\/tr>
82,7<\/td>3,7<\/td><\/tr>
84,0<\/td>3,75<\/td><\/tr>
85,3<\/td>3,8<\/td><\/tr>
86,5<\/td>3,85<\/td><\/tr>
87,7<\/td>3,9<\/td><\/tr>
88,9<\/td>3,95<\/td><\/tr>
90,0<\/td>4<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

O c\u00e1lculo parece funcionar, mas qual seu sentido geom\u00e9trico? Vamos tentar fazer o mesmo que fizemos com os c\u00e1lculos acima, agora com um tri\u00e2ngulo real:<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Se come\u00e7armos aumentando um pouco seus \u1ea7ngulos internos da base:<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Imediatamente ganhamos um v\u00e9rtice a mais, por\u00e9m “perdemos” o pol\u00edgono em si, al\u00e9m de que n\u00e3o h\u00e1 mais sentido falar em \u00e2ngulos internos desses dois v\u00e9rtices. Um jeito de resolver essa quest\u00e3o, \u00e9 criarmos uma aresta curvil\u00ednea com comprimento igual ao das outras arestas mas com a inclina\u00e7\u00e3o inicial com os v\u00e9rtices igual aos \u00e2ngulos da base:<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Ent\u00e3o, a medida que aumentamos nossos \u00e2ngulos internos, essa aresta curvil\u00ednea vai se alinhando:<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Pronto, agora temos “definido” nossos pol\u00edgonos regulares com n\u00fameros reais de lados.<\/p>\n\n\n\n

Para encerrar a brincadeira, vamos calcular o \u00e2ngulo interno de um pol\u00edgono regular de \u03c0 lados.<\/p>\n\n\n\n

Usando nossa express\u00e3o: [180 \u2013 (360\/n)] substituindo n por \u03c0, teremos:<\/p>\n\n\n\n

[180 \u2013 (360\/\u03c0)] ~ 65.4 graus.<\/p>\n\n\n\n

Construindo um tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero e abrindo seus \u00e2ngulos da base nessa inclina\u00e7\u00e3o junto \u00e0 aresta curvilin\u00e9a, teremos algo parecido com isso:<\/p>\n\n\n\n

\"\"
Um lindo pol\u00edgono regular de \u03c0 lados <3<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Cr\u00e9ditos da imagem de capa \u00e0 Gordon Johnson<\/a> por Pixabay<\/a><\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

Como referenciar este conte\u00fado em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023\/2018):<\/p>\n\n\n\n

SILVA, Marcos Henrique de Paula Dias da. Pol\u00edgono regular de \u03c0 lados?. In<\/em>: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero – Blog de Ci\u00eancia da Unicamp<\/a><\/strong>. Volume 6. Ed. 1. 2\u00ba semestre de 2021<\/a><\/strong>. Campinas, 27 ago. 2021. Dispon\u00edvel em: https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/3409\/<\/a>. Acesso em: <data-de-hoje>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

\u00c9 f\u00e1cil considerarmos uma fun\u00e7\u00e3o Natural em uma fun\u00e7\u00e3o Real, mas como ficaria a representa\u00e7\u00e3o visual deste pol\u00edgono de Irracionais lados?<\/p>\n","protected":false},"author":434,"featured_media":3425,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"colormag_page_container_layout":"default_layout","colormag_page_sidebar_layout":"default_layout","_monsterinsights_skip_tracking":false,"_monsterinsights_sitenote_active":false,"_monsterinsights_sitenote_note":"","_monsterinsights_sitenote_category":0,"pgc_sgb_lightbox_settings":"","_vp_format_video_url":"","_vp_image_focal_point":[],"footnotes":""},"categories":[1219],"tags":[],"class_list":["post-3409","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-v-6-ed-1"],"jetpack_featured_media_url":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-content\/uploads\/sites\/187\/2021\/08\/colorful-1302152_1280.png","_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3409","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/users\/434"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3409"}],"version-history":[{"count":15,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3409\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5310,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3409\/revisions\/5310"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/media\/3425"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3409"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3409"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3409"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}