Quantos experimentos precisamos realizar para termos certeza de algo?<\/p>\n\n\n\n
No nosso dia-a-dia talvez dois ou tr\u00eas casos bem sucedidos j\u00e1 bastem para termos a impress\u00e3o de certeza sobre um fen\u00f4meno. Por exemplo, provavelmente voc\u00ea acha que sabe fazer arroz. <\/p>\n\n\n\n
Se te pedir para fazer 1 x\u00edcara de arroz, voc\u00ea colocar\u00e1 2 x\u00edcaras de \u00e1gua.<\/p>\n\n\n\n
Se te pedir para fazer 2 x\u00edcaras de arroz, voc\u00ea colocar\u00e1 4 x\u00edcaras de \u00e1gua.<\/p>\n\n\n\n
Se te pedir para fazer 3 x\u00edcaras de arroz, voc\u00ea colocar\u00e1 6 x\u00edcaras de \u00e1gua.<\/p>\n\n\n\n
Mas e se te pedir para fazer 200 x\u00edcaras de arroz, voc\u00ea colocar\u00e1 400 de \u00e1gua? <\/p>\n\n\n\n
Ser\u00e1 que o fen\u00f4meno se mant\u00eam nesta mesma propor\u00e7\u00e3o independente do volume de arroz?<\/p>\n\n\n\n
Veja que nossa aparente certeza sobre um fen\u00f4meno pode nos levar a situa\u00e7\u00e3o de falharmos no preparo de 200 x\u00edcaras de arroz. Isso nos for\u00e7aria a repensar o fen\u00f4meno de fazer arroz a partir de um modelo n\u00e3o-linear. <\/p>\n\n\n\n
Nas Ci\u00eancias, temos exatamente a mesma situa\u00e7\u00e3o, a partir de algumas observa\u00e7\u00f5es, determinam-se teorias que as explicam e as teorias seguem sendo refor\u00e7adas com mais observa\u00e7\u00f5es. Mas quando come\u00e7am a surgir observa\u00e7\u00f5es que contrariam a teoria, \u00e9 preciso repensar a pr\u00f3pria teoria. Isso ocorreu por exemplo com a F\u00edsica Newtoniana, que funcionava bem para dist\u00e2ncias “humanamente acess\u00edveis”. Por\u00e9m, come\u00e7ava a apresentar incongru\u00eancias com dist\u00e2ncias muito pequenas e muito grandes. Isso levou ao surgimento de dois novos campos da F\u00edsica, a Mec\u00e2nica Qu\u00e2ntica e a Teoria da Relatividade.<\/p>\n\n\n\n
Essa caracter\u00edstica emp\u00edrica est\u00e1 relacionada \u00e0 dificuldade em investigar por completo o dom\u00ednio de um fen\u00f4meno. <\/p>\n\n\n\n
No caso do arroz, poder\u00edamos fazer testes separados cozinhando 1 gr\u00e3o de arroz, at\u00e9 1 milh\u00e3o de gr\u00e3os de arroz e registrar se o modelo proposto suporta as observa\u00e7\u00f5es. Mas ainda assim n\u00e3o saber\u00edamos se esse modelo seguiria funcionando para 1 bilh\u00e3o de gr\u00e3os (por curiosidade, 1 bilh\u00e3o de gr\u00e3os de arroz pesaria quase 65 toneladas).<\/p>\n\n\n\n
A ideia no caso, \u00e9 aguardar que observa\u00e7\u00f5es contr\u00e1rias ao modelo surjam.<\/p>\n\n\n\n
Contudo a dificuldade em investigar todo um dom\u00ednio n\u00e3o \u00e9 uma limita\u00e7\u00e3o para a Matem\u00e1tica.<\/p>\n\n\n\n
Por exemplo, vou afirmar que qualquer n\u00famero Natural \u00e9 menor ou igual a 10100<\/sup>, pois existem 10100<\/sup> casos em que isso \u00e9 verdade. <\/p>\n\n\n\n Mas voc\u00ea pode achar facilmente casos em que essa afirma\u00e7\u00e3o falha, por exemplo 10100<\/sup> + 1 \u00e9 um n\u00famero Natural maior que 10100<\/sup>.<\/p>\n\n\n\n Por isso, quando queremos ter certeza de algo na Matem\u00e1tica, n\u00e3o basta encontrarmos casos bem-sucedidos da propriedade investigada. \u00c9 preciso garantir que para todo seu dom\u00ednio ela seja verdade (mesmo nas Ci\u00eancias, encontrar casos bem-sucedidos s\u00f3 basta quando utilizam a metodologia indutiva, caso contr\u00e1rio outras formas de investigar s\u00e3o essenciais).<\/p>\n\n\n\n Voc\u00ea pode entender o “dom\u00ednio” de uma propriedade Matem\u00e1tica como o conjunto para o qual a consideramos. <\/p>\n\n\n\n Por exemplo, ao falarmos de n\u00fameros pares e \u00edmpares, podemos subentender que estamos no dom\u00ednio dos n\u00fameros Naturais ou Inteiros. Pois n\u00e3o faz muito sentido dizermos que n\u00fameros n\u00e3o-Inteiros sejam pares ou \u00edmpares.<\/p>\n\n\n\n Outro exemplo que j\u00e1 foi discutido neste blog (Quem passa x dividindo sem especificar um dom\u00ednio n\u00e3o-nulo<\/a><\/strong>), \u00e9 o dom\u00ednio das propriedades relacionadas \u00e0 divis\u00e3o. Nas propriedades que existem denominadores, o dom\u00ednio do denominador nunca poder\u00e1 ter o 0.<\/p>\n\n\n\n De forma geral, para demonstrarmos que uma propriedade \u00e9 verdadeira, precisamos percorrer todo seu dom\u00ednio, mesmo que isso seja infinito. Encontrar infinitos casos em que a propriedade vale n\u00e3o s\u00e3o o suficiente para que ela seja verdadeira. <\/p>\n\n\n\n Por exemplo, dizer que para “para x \u2208 \u211d, ent\u00e3o x \u2260 x\u00b2<\/strong>” \u00e9 verdade para todos os n\u00fameros Reais com exce\u00e7\u00e3o de 0 e 1. Mas como o dom\u00ednio para qual esta propriedade foi enunciada (x \u2208 \u211d) cont\u00eam os elementos 0 e 1, ent\u00e3o a propriedade \u00e9 falsa.<\/p>\n\n\n\n Pensando assim, quando mostramos “exemplos” de que uma propriedade \u00e9 v\u00e1lida, estamos demonstrando para elementos espec\u00edficos do dom\u00ednio. Se o dom\u00ednio for composto por poucos elementos, podemos organizar estes exemplos na forma de “casos”. Ai sim, se mostrarmos que a propriedade vale para todos os casos, teremos mostrado que ela \u00e9 de fato verdadeira para todo o dom\u00ednio (que nesse caso foi descrito como um conjunto de casos). <\/p>\n\n\n\n Por exemplo “para x \u2208 \u211d tal que x = x\u00b2, ent\u00e3o x = x\u2074<\/strong>” \u00e9 uma propriedade cujo dom\u00ednio envolve os n\u00fameros Reais tais que x = x\u00b2, que j\u00e1 mencionamos \u00e9 composto apenas por 0 e 1. Ent\u00e3o podemos demonstrar esta propriedade por pelo menos duas maneiras distintas.<\/p>\n\n\n\n <\/p>\n\n\n\n Observe que demonstrar por casos \u00e9 diferente de “dar exemplos”, e nesta situa\u00e7\u00e3o s\u00f3 foi poss\u00edvel porque t\u00ednhamos poucos elementos no dom\u00ednio. Enquanto a demonstra\u00e7\u00e3o direta n\u00e3o dependeu da quantidade de elementos no dom\u00ednio, “atacando” o dom\u00ednio todo ao mesmo tempo.<\/p>\n\n\n\n Mas n\u00e3o abandone os exemplos! Embora apenas exemplos possam n\u00e3o bastar para garantir que uma propriedade vale em todo seu dom\u00ednio, pensar em exemplos \u00e9 uma boa estrat\u00e9gia inicial para entendermos como uma propriedade esquisita funciona. Isso nos ajuda a formar uma imagem mental desse objeto matem\u00e1tico com que estamos lidando e at\u00e9 mesmo nos dar ideias de por onde come\u00e7ar sua demonstra\u00e7\u00e3o. Sem falar que apenas um contra-exemplo pertencente ao dom\u00ednio daquela propriedade, j\u00e1 \u00e9 o bastante para provarmos que ela n\u00e3o vale.<\/p>\n\n\n\n Como referenciar este conte\u00fado em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023\/2018):<\/p>\n\n\n\n SILVA, Marcos Henrique de Paula Dias da. Dom\u00ednio. In<\/em>: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero – Blog de Ci\u00eancia da Unicamp<\/a><\/strong>. Volume 7. Ed. 1. 1\u00ba semestre de 2022<\/a><\/strong>. Campinas, 29 jan. 2022. Dispon\u00edvel em: https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/3661\/<\/a>. Acesso em: <data-de-hoje>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Qual seria o dom\u00ednio em que estamos operando? 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