{"id":3787,"date":"2022-04-16T11:16:23","date_gmt":"2022-04-16T14:16:23","guid":{"rendered":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/?p=3787"},"modified":"2023-08-26T17:37:49","modified_gmt":"2023-08-26T20:37:49","slug":"resolucao-estetica","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/3787\/","title":{"rendered":"Resolu\u00e7\u00e3o est\u00e9tica"},"content":{"rendered":"\n

J\u00e1 pensou encontrar um desafio de matem\u00e1tica em uma exposi\u00e7\u00e3o de Arte?<\/em><\/p>\n\n\n\n

Pode parecer estranho, talvez fizesse mais sentido este conte\u00fado aparecer em um museu de ci\u00eancias, mas em um espa\u00e7o reservado para Arte?<\/em><\/p>\n\n\n\n

O que haveria de “art\u00edstico” em um desafio de matem\u00e1tica?<\/em><\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

Acredite, esta realmente n\u00e3o \u00e9 uma ideia intuitiva, e para entender melhor como ela surgiu, preciso contar um pouco sobre o projeto Desafios de Matem\u00e1tica da Unicamp. Este projeto ocorre desde 2020, e consiste na publica\u00e7\u00e3o veiculada pelas redes sociais de cunho universit\u00e1rio, de tr\u00eas desafios de matem\u00e1tica por semana. Conte\u00fados de matem\u00e1tica usualmente tem suas produ\u00e7\u00f5es voltadas para um uso curricular, e neste trabalho, este prop\u00f3sito n\u00e3o foi diferente. O trabalho em si surgiu como um teste de material did\u00e1tico voltado para o ensino de fra\u00e7\u00f5es nos Anos Finais do Ensino Fundamental. As escolhas est\u00e9ticas a princ\u00edpio n\u00e3o eram consideradas, enquanto o foco principal era a viabilidade deste material para auxiliar na aprendizagem de fra\u00e7\u00f5es. Contudo, o que come\u00e7ou como um teste, teve um acolhimento da comunidade universit\u00e1ria bastante forte, levando a sua realiza\u00e7\u00e3o semanal. Isto com o tempo trouxe espa\u00e7o para desafios mais sofisticados, o que come\u00e7ou a determinar tamb\u00e9m uma forma e inten\u00e7\u00e3o ligado \u00e0 sua produ\u00e7\u00e3o. <\/p>\n\n\n\n

Os desafios de forma geral s\u00e3o figuras formadas por formas geom\u00e9tricas de duas ou tr\u00eas dimens\u00f5es, com uma informa\u00e7\u00e3o num\u00e9rica associada ao comprimento, \u00e1rea ou volume, e uma inc\u00f3gnita a ser determinada. Acompanhando os desafios h\u00e1 informa\u00e7\u00f5es textuais que garantem algumas das rela\u00e7\u00f5es visuais mais subjetivas.<\/p>\n\n\n\n

Ao longo dos primeiros 262 desafios publicados, era poss\u00edvel observar alguns apelos est\u00e9ticos ligados \u00e0s cores e arranjos de formas geom\u00e9tricas utilizadas. Alguns desafios eram bonitos de se ver, tinham desafios que pareciam flores, outros eram estruturas mais enigm\u00e1ticas e curiosas de se observar. Contudo, se pensarmos no ponto de vista matem\u00e1tico, os desafios carregam uma restri\u00e7\u00e3o maior do que as produ\u00e7\u00f5es art\u00edsticas usuais que utilizam cores e formas geom\u00e9tricas, pois enquanto uma produ\u00e7\u00e3o art\u00edstica pode fazer qualquer arranjo de cores e formas para alcan\u00e7ar a est\u00e9tica necess\u00e1ria, esses desafios est\u00e3o restritos a ilustrarem um problema matem\u00e1tico de solu\u00e7\u00e3o \u00fanica.<\/p>\n\n\n\n

Entretanto, uma caracter\u00edstica mais intr\u00ednseca dos desafios aparecia pelas pessoas que os resolviam. Isto estava ligado a uma s\u00e9rie de t\u00e9cnicas, conceitos, rela\u00e7\u00f5es, procedimentos ou resultados alcan\u00e7ados durante ou no final da resolu\u00e7\u00e3o. \u00c9 como se o processo de resolver pudesse carregar uma certa est\u00e9tica que faz com que um desafio seja admir\u00e1vel por algum aspecto n\u00e3o-visual. Por exemplo, ap\u00f3s realizar in\u00fameros c\u00e1lculos com fra\u00e7\u00f5es e ra\u00edzes, na hora do resultado elas se anulam, chegando em um n\u00famero Natural. Ou no emprego de um conceito ou rela\u00e7\u00e3o geom\u00e9trica que possibilita resolver um desafio aparentemente complexo, de forma bastante simples. S\u00e3o aspectos que aparecem no processo de resolv\u00ea-lo, e que acredito eu, carregam sim uma est\u00e9tica multifacetada.<\/p>\n\n\n\n

Ap\u00f3s essa percep\u00e7\u00e3o, me coloquei a trabalhar em um desafio que pudesse carregar de maneira mais intencional, essa est\u00e9tica ligada \u00e0 sua resolu\u00e7\u00e3o. Algo que poderia vir a ser exposto e gerar uma sensa\u00e7\u00e3o de satisfa\u00e7\u00e3o para quem o resolve, n\u00e3o por ser um desafio simples, mas pela forma com que pode ser resolvido. Para deixar mais claro do que estamos falando, vamos para este prot\u00f3tipo de obra de arte.<\/p>\n\n\n\n

O desafio abaixo \u00e9 composto de um quadril\u00e1tero azul com \u00e1rea 72 unidades e pede-se que determine a \u00e1rea de um dos 19 quadrados vermelhos. <\/p>\n\n\n\n

\"\"
Desafio 263<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n
\n\n\n\n

Resolu\u00e7\u00e3o 1:<\/strong>
Vamos chamar o Lado de cada quadrado vermelho de L.
Podemos imaginar a regi\u00e3o azul subdividida em um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo e outro tri\u00e2ngulo.<\/mark><\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

A \u00e1rea do tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo ser\u00e1 dada por (3L*4L)\/2 = 6L\u00b2.<\/mark>
<\/mark>A hipotenusa do tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo ser\u00e1 dada por \u221a[(3L)\u00b2 + (4L)\u00b2] = 5L. <\/mark>
A f\u00f3rmula de Heron permite calcularmos a \u00e1rea do outro tri\u00e2ngulo a partir de seus lados:
p = (5L + 5L + 6L)\/2 = 16L\/2 = 8L
\u00c1rea = \u221a[8L(8L \u2013 5L)<\/em>(8L \u2013 5L)(8L \u2013 6L)] = \u221a[8L<\/em>3L3L<\/em>2L] = \u221a[144L\u2074] = 12L\u00b2.
Somando as \u00e1reas dos tri\u00e2ngulos temos a \u00e1rea da regi\u00e3o azul: 18L\u00b2 = 72.
Para obter a \u00e1rea de um quadrado vermelho dada por L\u00b2, fazemos L\u00b2 = 72\/18 = 4.<\/mark><\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

Resolu\u00e7\u00e3o 2:<\/strong>
Vamos chamar o Lado de cada quadrado vermelho de L.
Podemos imaginar a regi\u00e3o azul subdividida em um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo e outro tri\u00e2ngulo.<\/mark><\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Sabendo que a hipotenusa tem comprimento 5L, podemos imaginar o outro tri\u00e2ngulo, subdividido em dois tri\u00e2ngulos congruentes ao tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Somando as \u00e1reas dos tri\u00e2ngulos temos a \u00e1rea da regi\u00e3o azul: 18L\u00b2 = 72.
Para obter a \u00e1rea de um quadrado vermelho dada por L\u00b2, fazemos L\u00b2 = 72\/18 = 4.<\/mark><\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

O que achou do desafio e de suas resolu\u00e7\u00f5es?<\/em><\/p>\n\n\n\n

Enxergou alguma “est\u00e9tica” nelas?<\/em><\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

A est\u00e9tica mencionada reside tanto no racioc\u00ednio sofisticado necess\u00e1rio para resolver o desafio, visto que em geral apenas com o conhecimento dos lados de um quadril\u00e1tero, o c\u00e1lculo da sua \u00e1rea pode ser indetermin\u00e1vel (podem haver infinitos pol\u00edgonos de 4 lados com as mesmas medidas de lados de \u00e1reas diferentes). Contudo, ao percebermos que ap\u00f3s dividi-lo em um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo, esse problema de infinitas solu\u00e7\u00f5es passa a ter uma solu\u00e7\u00e3o \u00fanica, passamos a ter duas formas distintas de resolv\u00ea-lo: utilizando a F\u00f3rmula de Heron ou dividindo-o em mais dois tri\u00e2ngulos congruentes ao tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo. Interessante observar tamb\u00e9m, que o in\u00edcio e o final de ambas as resolu\u00e7\u00f5es s\u00e3o id\u00eanticas.<\/p>\n\n\n\n

Junto \u00e0 est\u00e9tica do racioc\u00ednio, temos tamb\u00e9m a refer\u00eancia aos resultados conhecidos das Ternas Pitag\u00f3ricas (n\u00fameros a, b, c Naturais maiores que 0 com a caracter\u00edstica de que a\u00b2 + b\u00b2 = c\u00b2) e \u00e0 F\u00f3rmula de Heron presente na Resolu\u00e7\u00e3o 1.<\/p>\n\n\n\n

H\u00e1 entretanto uma est\u00e9tica geom\u00e9trica, de observarmos na Resolu\u00e7\u00e3o 2, um quadril\u00e1tero at\u00e9 ent\u00e3o sem ind\u00edcios claros, se decompor em tr\u00eas tri\u00e2ngulos congruentes. Este \u00e9 um resultado que a primeira vista pode parecer distante, mas ap\u00f3s encontrar a hipotenusa do primeiro tri\u00e2ngulo, esta rela\u00e7\u00e3o passa a ser \u201cvis\u00edvel\u201d na imagem.<\/p>\n\n\n\n

Al\u00e9m da est\u00e9tica do racioc\u00ednio e da geometria, temos tamb\u00e9m uma est\u00e9tica num\u00e9rica, que proporciona a realiza\u00e7\u00e3o dos c\u00e1lculos dentro do conjunto dos n\u00fameros Naturais, isto \u00e9, sem obtermos resultados nas formas de fra\u00e7\u00f5es ou ra\u00edzes quadradas (ainda que o Teorema de Pit\u00e1goras e a f\u00f3rmula de Heron utilizem fra\u00e7\u00f5es e ra\u00edzes em seus c\u00e1lculos).<\/p>\n\n\n\n

Por fim, h\u00e1 uma sutileza no desafio referente a percep\u00e7\u00e3o de que devemos interromper o c\u00e1lculo ao encontrarmos o valor de L\u00b2, em vez de continu\u00e1-lo para descobrir quanto vale o L. Que apesar de ser \u201ctentador\u201d dizer quanto vale L (tamb\u00e9m escolhido para ser um n\u00famero Natural), esse valor equivale \u00e0 medida do lado do quadrado vermelho em vez de sua \u00e1rea.<\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

Enfim, estas s\u00e3o caracter\u00edsticas ligadas \u00e0 resolu\u00e7\u00e3o do desafio que est\u00e3o de certo modo externas a sua representa\u00e7\u00e3o visual. Quem o v\u00ea, enxerga 20 quadril\u00e1teros, por\u00e9m quem o resolve enxerga possibilidades de resolu\u00e7\u00f5es sofisticadas e de c\u00e1lculos simples.<\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

E ai, o que achou?<\/em><\/p>\n\n\n\n

A est\u00e9tica de resolver um desafio parece compensar a limita\u00e7\u00e3o de desenvolv\u00ea-lo para ter solu\u00e7\u00e3o \u00fanica?<\/em><\/p>\n\n\n\n

Escreva ai nos coment\u00e1rios :3<\/em><\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

Como referenciar este conte\u00fado em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023\/2018):<\/p>\n\n\n\n

SILVA, Marcos Henrique de Paula Dias da. Resolu\u00e7\u00e3o est\u00e9tica. In<\/em>: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero – Blog de Ci\u00eancia da Unicamp<\/a><\/strong>. Volume 7. Ed. 1. 1\u00ba semestre de 2022<\/a><\/strong>. Campinas, 16 abr. 2022. Dispon\u00edvel em: https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/3787\/<\/a>. Acesso em: <data-de-hoje>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Um desafio matem\u00e1tico pode ter uma est\u00e9tica visual em suas formas, mas tamb\u00e9m uma est\u00e9tica n\u00e3o visual em sua forma de resolver.<\/p>\n","protected":false},"author":434,"featured_media":3794,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"colormag_page_container_layout":"default_layout","colormag_page_sidebar_layout":"default_layout","_monsterinsights_skip_tracking":false,"_monsterinsights_sitenote_active":false,"_monsterinsights_sitenote_note":"","_monsterinsights_sitenote_category":0,"pgc_sgb_lightbox_settings":"","_vp_format_video_url":"","_vp_image_focal_point":[],"footnotes":""},"categories":[1222],"tags":[],"class_list":["post-3787","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-v-7-ed-1"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3787","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/users\/434"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3787"}],"version-history":[{"count":13,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3787\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5334,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3787\/revisions\/5334"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/media\/3794"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3787"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3787"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3787"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}