{"id":4870,"date":"2023-02-18T13:12:15","date_gmt":"2023-02-18T16:12:15","guid":{"rendered":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/?p=4870"},"modified":"2023-08-26T20:16:29","modified_gmt":"2023-08-26T23:16:29","slug":"funcoes-complexas-tem-graficos-fofos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/4870\/","title":{"rendered":"Fun\u00e7\u00f5es complexas tem gr\u00e1ficos fofos"},"content":{"rendered":"\n

Yep! Isso \u00e9 um post de divulga\u00e7\u00e3o cient\u00edfica, e sim, as figuras fofinhas e coloridinhas abaixo s\u00e3o gr\u00e1ficos de fun\u00e7\u00f5es complexas.<\/p>\n\n\n

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Mostra Matem\u00e1tica, Arte e Tecnologia<\/strong><\/a><\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n\n

Pode parecer estranho, pelo menos da forma como estamos acostumados a ver os gr\u00e1ficos, que estas coisas sejam gr\u00e1ficos. <\/p>\n\n\n\n

Lembre-se que um gr\u00e1fico relaciona cada ponto do dom\u00ednio de uma fun\u00e7\u00e3o a um ponto do contradom\u00ednio desta fun\u00e7\u00e3o. <\/p>\n\n\n\n

Assim, uma fun\u00e7\u00e3o de vari\u00e1vel Real (chamada de fun\u00e7\u00e3o Real), ter\u00e1 o dom\u00ednio igual a um subconjunto dos n\u00fameros Reais (geralmente o eixo horizontal) e o contradom\u00ednio igual a outro subconjunto dos n\u00fameros Reais (geralmente o eixo vertical). Ent\u00e3o cada posi\u00e7\u00e3o do dom\u00ednio se relaciona com um uma posi\u00e7\u00e3o do contradom\u00ednio e \u00e9 representada no plano cartesiano como um ponto. A uni\u00e3o destes pontos forma o gr\u00e1fico da fun\u00e7\u00e3o (at\u00e9 aqui sem novidades).<\/p>\n\n\n\n

Agora vamos pensar no gr\u00e1fico de uma fun\u00e7\u00e3o Complexa (isto \u00e9, cuja vari\u00e1vel \u00e9 um n\u00famero complexo). Um n\u00famero complexo possui uma parte Real (geralmente denotado no eixo x) e uma parte imagin\u00e1ria (geralmente denotado no eixo y). Ou seja, precisamos de todo o plano (que neste caso se chama em vez de plano cartesiano, plano Argand-Gauss) para representar o dom\u00ednio da fun\u00e7\u00e3o complexa (ta percebendo onde come\u00e7aremos a ter problema?)<\/p>\n\n\n\n

Ent\u00e3o, para cada posi\u00e7\u00e3o do plano teremos associada a ela outra posi\u00e7\u00e3o de um outro plano. Mas se os dois planos s\u00e3o independentes e cada um utiliza 2 dimens\u00f5es, precisamos de 4 dimens\u00f5es para desenhar este gr\u00e1fico.<\/p>\n\n\n\n

Ok… voc\u00ea pode pensar, que objetos em 3 dimens\u00f5es sejam poss\u00edveis de desenhar com t\u00e9cnicas de perspectiva, mas e 4 dimens\u00f5es?<\/p>\n\n\n\n

Uma forma mais simples de resolver este problema de representa\u00e7\u00e3o, \u00e9 escolher algo para servir de terceira e quarta dimens\u00f5es.<\/p>\n\n\n\n

No caso, eu me baseei em um trabalho realizado na UNESP de Bauru, chamado Mostra Matem\u00e1tica, Arte e Tecnologia<\/a><\/strong>, que atribuem espectros de cores \u00e0s terceira e quarta dimens\u00f5es necess\u00e1rias para o gr\u00e1fico da fun\u00e7\u00e3o complexa. Esta mostra re\u00fane 23 quadros produzidos com fun\u00e7\u00f5es complexas em um software espec\u00edfico que faz esta representa\u00e7\u00e3o.<\/p>\n\n\n\n

Embora aprecie bastante o trabalho da UNESP (j\u00e1 o vi de perto e conheci os respons\u00e1veis no per\u00edodo em que estudei l\u00e1), acredito que as fun\u00e7\u00f5es utilizadas sejam sofisticadas demais para quem conhece o projeto pela primeira vez. J\u00e1 temos uma dificuldade em pensar no plano Argand-Gauss e no comportamento de uma fun\u00e7\u00e3o complexa. As obras dessa mostra foram desenvolvidas para serem realmente incr\u00edveis, por\u00e9m penso que mostrar fun\u00e7\u00f5es mais simples em sequ\u00eancia seria algo que algu\u00e9m mais afastado daquele projeto, poderia entender com maior facilidade.<\/p>\n\n\n\n

Assim, em minha adapta\u00e7\u00e3o mantive o dom\u00ednio da fun\u00e7\u00e3o fixo entre -48 e 48 (eixo real) e -48i e 48i (eixo imagin\u00e1rio). Estipulei qual o valor m\u00e1ximo e m\u00ednimo que a parte real e a parte imagin\u00e1ria da fun\u00e7\u00e3o assumiria naquele intervalo do dom\u00ednio, e dividi cada intervalo em um espectro de 100 cores para a parte real, e um espectro de 100 n\u00edveis de satura\u00e7\u00e3o da cor para a parte imagin\u00e1ria. Assim, fiz o gr\u00e1fico das seguintes 5 fun\u00e7\u00f5es:<\/p>\n\n\n

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f(z) = z = x + y.i<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n
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\"\"
f(z) = z\u00b2 = (x\u00b2 – y\u00b2) + 2.x.y.i<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n
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\"\"
f(z) = z\u00b3 = (x\u00b3 – 3.x.y\u00b2) + (3.x\u00b2 – y\u00b3).i<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n
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\"\"
f(z) = z\u2074 = (x\u2074 – 6x\u00b2.y\u00b2 + y\u2074) + (4.x\u00b3.y – 4.x.y\u00b3).i<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n
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\"\"
f(z) = z\u2075 = (x\u2075 – 10.x\u00b3.y\u00b2 + 5.x.y\u2074) + (5.x\u2074.y – 10.x\u00b2.y\u00b3 + y\u2075).i<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n\n

Se quiser brincar um pouco, deixo aqui compartilhado o c\u00f3digo deste programa feito no Scratch: <\/p>\n\n\n\n

https:\/\/scratch.mit.edu\/projects\/806253117\/<\/a><\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n

Imagem de capa adaptada do meme conhecido na internet como “Filho, se voc\u00ea n\u00e3o estudar vai terminar como ele”<\/p>\n\n\n\n

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Como referenciar este conte\u00fado em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023\/2018):<\/p>\n\n\n\n

SILVA, Marcos Henrique de Paula Dias da. Fun\u00e7\u00f5es complexas tem gr\u00e1ficos fofos. In<\/em>: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero \u2013 Blog de Ci\u00eancia da Unicamp<\/a>. <\/strong>Volume 9. Ed. 1. 1\u00ba semestre de 2023<\/a>. Campinas, 18 fev. 2023. Dispon\u00edvel em: https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/4870<\/a>. Acesso em: <data-de-hoje>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Como desenhar um gr\u00e1fico de 4 dimens\u00f5es? Quer uma dica? Podemos improvisar duas dimens\u00f5es extras usando cores.<\/p>\n","protected":false},"author":434,"featured_media":4883,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"inline_featured_image":false,"editor_plus_copied_stylings":"{}","_monsterinsights_skip_tracking":false,"_monsterinsights_sitenote_active":false,"_monsterinsights_sitenote_note":"","_monsterinsights_sitenote_category":0,"pgc_sgb_lightbox_settings":"","_vp_format_video_url":"","_vp_image_focal_point":[],"footnotes":""},"categories":[1226],"tags":[],"class_list":["post-4870","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-v-9-ed-1"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4870","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/users\/434"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=4870"}],"version-history":[{"count":4,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4870\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5361,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4870\/revisions\/5361"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/media\/4883"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=4870"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=4870"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=4870"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}