Primeiramente devemos olhar nosso problema como uma quest\u00e3o de grafos no plano bidimensional:<\/p>\n\n\n\n
Cada casa ou companhia equivale a um v\u00e9rtice, ou seja, uma unidade pontual;<\/p>\n\n\n\n Para facilitar a nota\u00e7\u00e3o, vou redesenh\u00e1-los como pontinhos no plano, denotados por B (casa azul), Y (casa amarela), R (casa vermelha), G (companhia de \u00e1gua), C (companhia de luz) e P (companhia de esgoto).<\/p>\n\n\n\n Vamos definir tamb\u00e9m que toda conex\u00e3o entre uma casa e uma empresa ser\u00e1 chamada de aresta.<\/p>\n\n\n\n Mas n\u00e3o necessariamente estas arestas precisam ser segmentos de retas (basta que seja uma linha que comece e termine em v\u00e9rtices e n\u00e3o se cruze com nenhuma outra linha). Exemplo de duas arestas G-B e G-Y.<\/p>\n\n\n\n Por fim, cada regi\u00e3o do plano, totalmente cercada por arestas, ser\u00e1 chamada de uma face. Por exemplo, se eu inserir as arestas C-B e C-Y, formamos duas faces cercada pelos v\u00e9rtices G, C, B e Y (sim, s\u00e3o duas faces, a interna em laranja e a externa que representa o restante do plano).<\/p>\n\n\n\n Assim, temos 6 arestas (B, Y, R, G, C e P) e seeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee o problema tiver solu\u00e7\u00e3o, ent\u00e3o ele dever\u00e1 ter 9 arestas:<\/p>\n\n\n\n Ent\u00e3o, se sabemos o n\u00famero de v\u00e9rtices e de arestas, podemos usar a f\u00f3rmula de Euler para determinar o n\u00famero de faces (eu falo um pouco sobre a f\u00f3rmula de Euler no contexto tridimensional neste texto O Garlon faz v\u00e1rios cortes no poliedro, mas a f\u00f3rmula de Euler \u00e9 implac\u00e1vel<\/a>)<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n Para o plano: <\/strong>(n\u00famero de faces) + (n\u00famero de v\u00e9rtices) \u2013 (n\u00famero de arestas) = \u200b\u200b2<\/p>\n\n\n\n (n\u00famero de faces) + 6 \u2013 9 = \u200b\u200b2<\/p>\n\n\n\n (n\u00famero de faces) = \u200b\u200b5<\/p>\n\n\n\n <\/p>\n\n\n\n Assim, seeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee houver solu\u00e7\u00e3o, teremos 5 faces, 9 arestas e 6 v\u00e9rtices.<\/p>\n\n\n\n Vamos agora analisar como ser\u00e1 a rela\u00e7\u00e3o destas 5 faces com nossas 9 arestas.<\/p>\n\n\n\n Faces formadas por 1 aresta (chamaremos de Faces-1):<\/strong> besteira! Pois ter\u00edamos um v\u00e9rtice ligado a ele mesmo com uma mesma aresta. Veja que na figura abaixo temos duas faces foramadas pela aresta G-G, a face interna e a face externa.<\/p>\n\n\n\n Faces formadas por 2 arestas (chamaremos de Faces-2)<\/strong>:<\/strong> estranho! Pois estamos fazendo ligando duas vezes uma mesma companhia de uma casa. Veja que na figura abaixo temos duas faces foramadas por duas arestas G-B e B-G, a face interna e a face externa.<\/p>\n\n\n\n Faces formadas por quantidades \u00edmpares de arestas:<\/strong> sem sentido… pois ter\u00edamos uma liga\u00e7\u00e3o entre duas casas, ou entre duas companhias (o famoso “gato”). Veja que na figura abaixo temos duas faces foramadas por tr\u00eas arestas G-B, B-C, G-C, a face interna e a face externa.<\/p>\n\n\n\n Veja que na figura abaixo temos duas faces foramadas por cinco arestas B-Y, Y-P, P-R, R-C, C-B, a face interna e a face externa.<\/p>\n\n\n\n Com isso, as faces da nossa solu\u00e7\u00e3o devem ser formadas por um n\u00famero par de arestas, maior ou igual a 4.<\/p>\n\n\n\n No entanto, existe um teorema matem\u00e1tico<\/strong> v\u00e1lido para grafos no plano, que diz:<\/p>\n\n\n\n 2*(n\u00famero de arestas) = \u200b\u200b1*Face-1 + 2*Face-2 + 3*Face-3 + 4*Face-4 + 5*Face-5 + 6*Face-6 + … <\/p>\n\n\n\n onde Face-N<\/strong> representa o n\u00famero de faces formadas por N arestas.<\/p>\n\n\n\n <\/p>\n\n\n\n Agora combinando o resultado da f\u00f3rmula de Euler, de quando supomos que o problema teria solu\u00e7\u00e3o, com este novo teorema, temos que:<\/p>\n\n\n\n 2*9 = \u200b\u200b1*Face-1 + 2*Face-2 + 3*Face-3 + 4*Face-4 + 5*Face-5 + 6*Face-6 + … <\/p>\n\n\n\n <\/p>\n\n\n\n Mas como vimos antes, faces com 1 aresta, 2 arestas e qualquer quantidade \u00edmpar de arestas, n\u00e3o faz sentido para nossa solu\u00e7\u00e3o. Ent\u00e3o temos:<\/p>\n\n\n\n 18 = \u200b\u200b1*0 + 2*0 + 3*0 + 4*Face-4 + 5*0 + 6*Face-6 + 7*0 + 8*Face-8 + …<\/p>\n\n\n\n Simplificando fica:<\/p>\n\n\n\n 18 = 4*Face-4 + 6*Face-6 + 8*Face-8 + …<\/p>\n\n\n\n <\/p>\n\n\n\n Mas observe que pela f\u00f3rmula de Euler, eu tenho 5 faces, ent\u00e3o:<\/p>\n\n\n\n Face-4 + Face-6 + Face-8 + Face-10 + Face-12 + … = 5<\/p>\n\n\n\n <\/p>\n\n\n\n Ou seja, <\/p>\n\n\n\n 18 = 4*Face-4 + 6*Face-6 + 8*Face-8 + 10*Face-10 + 12*Face-12 … \u2265 4*5 + 6*0 + 8*0 + 10*0 + 12*0 + … <\/p>\n\n\n\n <\/p>\n\n\n\n Conclu\u00edmos com isso que:<\/p>\n\n\n\n 18 \u2265 20<\/p>\n\n\n\n Mas isso \u00e9 um absurdo!<\/p>\n\n\n\n <\/p>\n\n\n\n Logo, como consequ\u00eancia temos que aquela hip\u00f3tese inicial de que o problema teria solu\u00e7\u00e3o no plano, \u00e9 falsa.<\/p>\n\n\n\n Como referenciar este conte\u00fado em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023\/2018):<\/p>\n\n\n\n SILVA, Marcos Henrique de Paula Dias da. O problema \u00c1gua, Luz e Esgoto: parte 3.\u00a0In<\/em>: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS.\u00a0Zero \u2013 Blog de Ci\u00eancia da Unicamp<\/a>.\u00a0<\/strong>Volume 10. Ed. 1. 2\u00ba semestre de 2023<\/a>. Campinas, 10 set. 2023. Dispon\u00edvel em:\u00a0https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/5394<\/a>. Acesso em: <data-de-hoje>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Trabalhar em cima desta demonstra\u00e7\u00e3o, de certa forma, me incentivou a pesquisar e estudar matem\u00e1tica de forma s\u00e9ria e divertida.<\/p>\n","protected":false},"author":434,"featured_media":5373,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"colormag_page_container_layout":"default_layout","colormag_page_sidebar_layout":"default_layout","_monsterinsights_skip_tracking":false,"_monsterinsights_sitenote_active":false,"_monsterinsights_sitenote_note":"","_monsterinsights_sitenote_category":0,"pgc_sgb_lightbox_settings":"","_vp_format_video_url":"","_vp_image_focal_point":[],"footnotes":""},"categories":[1227],"tags":[],"class_list":["post-5394","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-v-10-ed-1"],"jetpack_featured_media_url":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-content\/uploads\/sites\/187\/2023\/09\/Untitled-1.jpg","_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/5394","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/users\/434"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=5394"}],"version-history":[{"count":7,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/5394\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5441,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/5394\/revisions\/5441"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/media\/5373"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=5394"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=5394"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=5394"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}![\"\"](\"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-content\/uploads\/sites\/187\/2023\/09\/Untitled-5-1.jpg\")
<\/figure>\n\n\n\n![\"\"](\"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-content\/uploads\/sites\/187\/2023\/09\/Untitled-8.jpg\")
<\/figure>\n\n\n\n![\"\"](\"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-content\/uploads\/sites\/187\/2023\/09\/Untitled-9.jpg\")
<\/figure>\n\n\n\n![\"\"](\"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-content\/uploads\/sites\/187\/2023\/09\/Untitled-10.jpg\")
<\/figure>\n\n\n\n\n
\n
![\"\"](\"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-content\/uploads\/sites\/187\/2023\/09\/Untitled-11.jpg\")
<\/figure>\n\n\n\n![\"\"](\"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-content\/uploads\/sites\/187\/2023\/09\/Untitled-12.jpg\")
<\/figure>\n\n\n\n![\"\"](\"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-content\/uploads\/sites\/187\/2023\/09\/Untitled-14.jpg\")
<\/figure>\n\n\n\n![\"\"](\"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-content\/uploads\/sites\/187\/2023\/09\/Untitled-13.jpg\")
<\/figure>\n\n\n\n
\n\n\n\n