{"id":5421,"date":"2023-09-18T19:58:34","date_gmt":"2023-09-18T22:58:34","guid":{"rendered":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/?p=5421"},"modified":"2023-09-18T19:58:35","modified_gmt":"2023-09-18T22:58:35","slug":"seno-cosseno-e-tangente-de-onde-voces-vieram","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/5421\/","title":{"rendered":"Seno, Cosseno e Tangente, de onde voc\u00eas vieram?"},"content":{"rendered":"\n

Ter\u00e7a-feira passada fui toda animada dar minha aula sobre fun\u00e7\u00f5es trigom\u00e9tricas na disciplina Pr\u00e9-C\u00e1lculo. Quis fazer algo interativo, levei barbante, r\u00e9gua, papel de rascunho e a inten\u00e7\u00e3o era que todas constru\u00edssem c\u00edrculos trigonom\u00e9tricos e desenvolvessemos juntas as rela\u00e7\u00f5es conhecidas como seno, cosseno e tangente. Uma hist\u00f3ria feliz, mas que n\u00e3o aconteceu t\u00e3o bem quanto eu esperava…<\/p>\n\n\n\n

Usar um barbante para fazer um c\u00edrculo “perfeito” na lousa \u00e9 bem mais simples do que no papel. Pois o c\u00edrculo \u00e9 relativamente maior, o tra\u00e7o feito \u00e9 mais grosso (ent\u00e3o esconde varia\u00e7\u00f5es nas medidas), e a lousa \u00e9 est\u00e1vel na parede. Mas no papel A4 \u00e9 um caos, pois o c\u00edrculo pode ter no m\u00e1ximo 10,5 cm de raio, e se n\u00e3o tivermos uma boa gest\u00e3o multi-tarefas com os dedos, o papel pode come\u00e7ar a girar junto, ou pior, o barbante afrouxar, ou a caneta escorregar… um caos generalizado. Se fazer um c\u00edrculo j\u00e1 seria dif\u00edcil, quem dir\u00e1 usar o barbante para fazer outro c\u00edrculo com metade do seu raio… sim, um c\u00edrculo ainda menor, e que sua exatid\u00e3o \u00e9 essencial para se estabelecer as t\u00e3o queridas rela\u00e7\u00f5es que buscamos.<\/p>\n\n\n\n

Bom, foi esse o caos que aconteceu… e isso me trouxe de volta a uma proposta anterior que desenvolvi pensando em uma aula teste que dei para um cursinho (e que n\u00e3o me chamaram :'( depois disso). A ideia em si era imprimir em uma folha A4 um c\u00edrculo de raio 10 cm, com eixos vertical e horizontal, e uma reta tangente. Na mesma folha teria uma r\u00e9guinha de 10 cm, um transferidor e um esquadro, que poderia ser recortado para formarmos nossos instrumentos, de modo que pudessemos fazer as investiga\u00e7\u00f5es necess\u00e1rias em nosso c\u00edrculo e o raio 10 cm permitia que os resultados fossem f\u00e1ceis de calcular, j\u00e1 que para dividir pela hipotenusa era s\u00f3 deslocar a v\u00edrgula.<\/p>\n\n\n\n

Esse material foi usado em algumas oficinas em eventos, e inclusive no semestre passado usei-o nessa mesma disciplina pra tratar fun\u00e7\u00f5es trigonom\u00e9tricas. Essa foi uma boa experi\u00eancia, deu quase tudo bem certo, com exce\u00e7\u00e3o do compasso improvisado… isso foi um caos (voc\u00ea percebe que fazer c\u00edrculos sem o equipamento adequado \u00e9 ca\u00f3tico).<\/p>\n\n\n\n

Enfim, c\u00e1 estamos, hoje terminei de montar o material que utilizarei amanh\u00e3 e venho aqui dar um spoiller<\/strong> do que minhas alunas aguardam \ud83d\ude42<\/p>\n\n\n\n

Imprimi em papel de rascunho 45 c\u00edrculos de raio 10 cm, com eixos horizontal e vertical, uma reta tangente, 45 r\u00e9guinhas de 15 cm e 45 c\u00edrculos de raio 5 cm.<\/p>\n\n\n\n

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Com um percevejo furei o centro do c\u00edrculo trigonom\u00e9trico pela parte de tr\u00e1s do papel.<\/p>\n\n\n\n

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Ent\u00e3o encaixei no percevejo, o c\u00edrculo de raio 5 cm na parte indicada.<\/p>\n\n\n\n

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Escolhi uma posi\u00e7\u00e3o qualquer do c\u00edrculo de raio 10 cm e fiz uma marquinha onde a flecinha indicava.<\/p>\n\n\n\n

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Tamb\u00e9m fiz uma marquinha onde o c\u00edrculo cruzava o eixo horizontal e outra onde cruzava o eixo vertical.<\/p>\n\n\n

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Por fim, seguindo uma linha reta do centro do c\u00edrculo at\u00e9 a parte marcada, fazemos uma marquinha onde a r\u00e9gua cruza a reta tangente.<\/p>\n\n\n\n

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Agora usando a r\u00e9gua, medi a dist\u00e2ncia dos pontos no eixo em rela\u00e7\u00e3o ao centro do c\u00edrculo, e da reta tangente em rela\u00e7\u00e3o ao eixo horizontal (obtive 5,4 cm, 8,6 cm e 6,1 cm).<\/p>\n\n\n\n

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Ent\u00e3o desenhei dois tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos ligando os pontos no c\u00edrculo e nos eixos, e chamei a inclina\u00e7\u00e3o do eixo horizontal at\u00e9 o ponto escolhido no c\u00edrculo de theta (aquela letrinha grega que parece um o cortado na horizontal).<\/p>\n\n\n\n

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Se voc\u00ea se lembra das suas aulas de trigonometria deve pensar, que podemos calcular o seno e o cosseno de theta fazendo a rela\u00e7\u00e3o entre seus catetos e a hipotenusa:<\/p>\n\n\n\n

seno (theta) = cateto-oposto\/hipotenusa<\/p>\n\n\n\n

cosseno (theta) = cateto-adjacente\/hipotenusa<\/p>\n\n\n\n

Mas escolhemos o c\u00edrculo com raio 10 justamente para facilitar esse momento.<\/p>\n\n\n\n

seno (theta) = 5,4\/10 = 0,54<\/p>\n\n\n\n

cosseno (theta) = 8,6\/10 = 0,86<\/p>\n\n\n\n

Terminamos? Falta a tangente!<\/p>\n\n\n\n

tang (theta) = cateto-oposto\/cateto-adjacente<\/p>\n\n\n\n

tang (theta) = 5,4\/8,6 ~ 0,62<\/p>\n\n\n\n

Mas veja s\u00f3, os valores que obtemos com a r\u00e9gua s\u00e3o basicamente estes mesmos 3 valores!<\/p>\n\n\n\n

Isso n\u00e3o \u00e9 coincid\u00eancia, pois o seno, cosseno e tangente s\u00e3o valores relacionados a um c\u00edrculo de raio 1 unidade. Se estamos considerando cm como unidades, ent\u00e3o este nosso c\u00edrculo \u00e9 10x maior que o c\u00edrculo unit\u00e1rio, por isso nossos resultados s\u00e3o tamb\u00e9m 10x maiores.<\/p>\n\n\n\n

Mas n\u00e3o acabamos aqui.<\/p>\n\n\n\n

Vamos tentar achar quem \u00e9 esse theta mal desenhado que fiz. Para isso utilizaremos o que sabemos, ou seja, quem s\u00e3o os resultados, e agora vamos procurar os \u00e2ngulos que tem estes resultados. Simples, n\u00e3o acha? Ent\u00e3o n\u00e3o se assuste quando ouvir o nome que isso recebe: fun\u00e7\u00e3o arco-trigonom\u00e9trico<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

arco-seno (0,54) ~ 32,6\u00ba<\/p>\n\n\n\n

arco-cosseno (0,86) ~ 30,6\u00ba<\/p>\n\n\n\n

arco-tangente (0,62) ~ 31,3\u00ba<\/p>\n\n\n\n

E agora? Chegamos em tr\u00eas resultados diferentes :'( deu errado?<\/p>\n\n\n\n

Sim, deu errado! Pois s\u00e3o medidas realizadas com instrumentos reais, logo sempre haver\u00e1 algum erro envolvido.<\/p>\n\n\n\n

Mas observe, que este erro est\u00e1 entre 30,6\u00ba e 32,6\u00ba. Ou seja, se dissermos que theta vale 31,6\u00ba estaremos a mais ou menos 1\u00ba de erro para cima ou para baixo. Nada mal para uma precis\u00e3o realizada utilizando papel e percevejos, n\u00e3o acha?<\/p>\n\n\n\n

Ent\u00e3o, agora se algu\u00e9m no \u00f4nibus te perguntar de onde v\u00eam o Seno e Cosseno, voc\u00ea j\u00e1 sabe o que dizer? S\u00e3o s\u00f3 nomes “gourmets” para as medidas de comprimento e altura dos pontos de um c\u00edrculo unit\u00e1rio. J\u00e1 a tangente, pode ser um pouco mais complicado de explicar, mas com um desenho voc\u00ea deve conseguir :3<\/p>\n\n\n\n

Abaixo disponibilizo o pdf com os arquivos para imprimir este material para quem quiser lev\u00e1-lo tamb\u00e9m pra sua sala de aula.<\/p>\n\n\n\n