{"id":5463,"date":"2023-10-13T09:54:41","date_gmt":"2023-10-13T12:54:41","guid":{"rendered":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/?p=5463"},"modified":"2023-10-13T22:30:42","modified_gmt":"2023-10-14T01:30:42","slug":"porque-o-angulo-da-ligacao-tetraedrica-e-109","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/5463\/","title":{"rendered":"Porque o \u00e2ngulo da liga\u00e7\u00e3o tetra\u00e9drica \u00e9 109\u00b0?"},"content":{"rendered":"\n

Na minha \u00faltima aula de Qu\u00edmica Geral (j\u00e1 contei que estou cursando Licenciatura em Qu\u00edmica?), vimos sobre \u00e2ngulos de liga\u00e7\u00e3o entre \u00e1tomos e os nomes que essas geometrias recebiam. <\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

No caso das geometrias planas (linear<\/strong> e trigonal planar<\/strong>), era f\u00e1cil entender porque os \u00e2ngulos de 180\u00b0 e 120\u00b0 apareciam (dividir um c\u00edrculo de 360\u00b0 em 2 ou 3 partes).<\/p>\n\n\n\n

Na geometria bipiramidal trigonal<\/strong> o racioc\u00ednio segue parecido, basta enxergar um trigonal planar <\/strong>combinado com um linear<\/strong>, justificando os 120\u00b0 e 180\u00b0.<\/p>\n\n\n\n

Na geometria octa\u00e9drica<\/strong> “vemos” um monte de \u00e2ngulos retos, ent\u00e3o \u00e9 f\u00e1cil entender porque os \u00e2ngulos de 90\u00b0.<\/p>\n\n\n\n

Contudo, voc\u00ea percebeu que pulamos a geometria tetra\u00e9drica<\/strong>?<\/p>\n\n\n\n

\u00c9 dito que para ela o \u00e2ngulo de liga\u00e7\u00e3o \u00e9 de 109\u00b0… mas porque? <\/p>\n\n\n\n

Voc\u00ea pode at\u00e9 justificar dizendo que \u00e9 o \u00e2ngulo que faz o maior afastamento entre os \u00e1tomos… mas porque 109\u00b0 e n\u00e3o 112\u00b0 ou 106\u00b0?<\/p>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

Na minha \u00faltima aula de Pr\u00e9-C\u00e1lculo para professores de Qu\u00edmica (agora digo minha aula, pois era eu que estava ministrando), fazia a revis\u00e3o dos conte\u00fados das aulas anteriores, e ap\u00f3s tratar logaritmos, quis revisar de uma forma mais pr\u00e1tica fun\u00e7\u00f5es trigonom\u00e9tricas. Ent\u00e3o passei esta geometria molecular e prop\u00fas algo divertido para a turma.<\/p>\n\n\n\n

Se algu\u00e9m ali, nos pr\u00f3ximos 40 minutos, conseguisse mostrar porque aquele \u00e2ngulo \u00e9 de 109\u00b0, a turma inteira (que assinou a presen\u00e7a naquele dia), ganharia mais 0,5 na m\u00e9dia. Detalhe: valia tudo o que estivesse ao alcance da turma, desde pesquisar na internet, no chat-gpt, procurar professores ou veteranos pra responder, mas eles deveriam ser capazes de “explicar” porque s\u00e3o 109\u00b0.<\/em><\/p>\n\n\n\n

(Isso significa que poderiam ser utilizados recursos quaisquer da matem\u00e1tica, desde que quem fosse explicar, conseguisse entender o que est\u00e1 sendo feito. Sendo capaz de justificar todos os procedimentos adotados)<\/p>\n\n\n\n

(Essa proposta colaborativa foi bastante motivadora e penso us\u00e1-la novamente na pr\u00f3xima aula de revis\u00e3o, pois mesmo quem n\u00e3o precisava daquele 0,5 na m\u00e9dia, tinha a inten\u00e7\u00e3o de querer ajudar o restante da turma)<\/p>\n\n\n\n

Quase estourando o tempo, conseguiram encontrar a explica\u00e7\u00e3o e process\u00e1-la de um modo que justificasse o motivo \ud83d\ude42<\/p>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

Ficou curioso para saber como encontrar esse \u00e2ngulo? <\/p>\n\n\n\n

Ent\u00e3o mostrarei agora a resolu\u00e7\u00e3o que esperava dos meus alunos (e que fiz para eles ap\u00f3s a explica\u00e7\u00e3o de sua colega).<\/p>\n\n\n\n

Comece imaginando um tetraedro regular:<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Ent\u00e3o vamos pegar uma de suas faces (por exemplo a base) e calcular o seu ap\u00f3tema (que seria a altura de uma aresta que divide o pol\u00edgono em tri\u00e2ngulos is\u00f3sceles congruentes).<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Como estamos procurando o \u00e2ngulo, n\u00e3o faz mal escolhermos uma medida para os lados do tri\u00e2ngulo, neste caso vou assumir que o tri\u00e2ngulo tem lado 2. Agora sabendo que o \u00e2ngulo interno do tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero \u00e9 de 60\u00b0, e que os tri\u00e2ngulos internos s\u00e3o is\u00f3sceles, ent\u00e3o seu menor \u00e2ngulo ser\u00e1 de 30\u00b0. Logo o ap\u00f3tema A poder\u00e1 ser descrito como:<\/p>\n\n\n\n

tang(30\u00b0) = A\/1 = A<\/p>\n\n\n\n

Ent\u00e3o vou calcular a altura de uma das faces do tetraedro:<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Sabendo que seu \u00e2ngulo interno \u00e9 60\u00b0, ent\u00e3o sua altura H ser\u00e1:<\/p>\n\n\n\n

tang(60\u00b0) = H\/1 = H<\/p>\n\n\n\n

Por fim, vou procurar descobrir o valor da altura X do tetraedro, utilizando o teorema de pit\u00e1goras nesse tri\u00e2ngulo imagin\u00e1rio que criei, onde A \u00e9 um dos catetos e H \u00e9 a hipotenusa:<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Temos que:<\/p>\n\n\n\n

Tang(30\u00b0)\u00b2 + X\u00b2 = Tang(60\u00b0)\u00b2<\/p>\n\n\n\n

Substituindo os valores da tangente de 30\u00b0 e 60\u00b0, fica:<\/p>\n\n\n\n

(\u221a3\/3)\u00b2 + X\u00b2 + \u221a3\u00b2<\/p>\n\n\n\n

X\u00b2 = 3 – 3\/9<\/p>\n\n\n\n

X\u00b2 = 24\/9<\/p>\n\n\n\n

X = \u221a(24\/9) = 2\u221a6\/3<\/p>\n\n\n\n

Assim, sabendo que a altura do tetraedro \u00e9 3\/2 e sua aresta vale 2, podemos expressar o valor do \u00e2ngulo \u03b8, como:<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

cos(\u03b8) = (2\u221a6\/3)\/2 = \u221a6\/3<\/p>\n\n\n\n

\u03b8 = arccos(\u221a6\/3) ~ 35.26\u00b0<\/p>\n\n\n\n

Retomando ao nosso problema, estamos procurando o \u00e2ngulo de liga\u00e7\u00e3o \u03b1 que vai do centro do tetraedro at\u00e9 seus v\u00e9rtices. Assim, essas liga\u00e7\u00f5es formar\u00e3o tri\u00e2ngulos is\u00f3sceles, logo dois dos seus \u00e2ngulos ser\u00e3o iguais. Mas j\u00e1 descobrimos que \u03b8 = arccos(\u221a6\/3), com isso basta fazer a diferen\u00e7a da soma dos \u00e2ngulos internos de um tri\u00e2ngulo para encontrar \u03b1.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

\u03b1 = 180\u00b0 – arccos(\u221a6\/3) – arccos(\u221a6\/3) ~ 109.47\u00b0<\/p>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

Ufa! Acho que isso explica porque geralmente n\u00e3o vemos essa explica\u00e7\u00e3o \ud83d\ude42<\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

Como referenciar este conte\u00fado em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023\/2018):<\/p>\n\n\n\n

SILVA, Marcos Henrique de Paula Dias da. Porque o \u00e2ngulo da liga\u00e7\u00e3o tetra\u00e9drica \u00e9 109\u00b0?.\u00a0In<\/em>: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS.\u00a0Zero \u2013 Blog de Ci\u00eancia da Unicamp<\/a>.\u00a0<\/strong>Volume 10. Ed. 1. 2\u00ba semestre de 2023<\/a>. Campinas, 13 out. 2023. Dispon\u00edvel em:\u00a0https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/5463<\/a>. Acesso em: <data-de-hoje>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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