{"id":5620,"date":"2024-03-16T09:58:40","date_gmt":"2024-03-16T12:58:40","guid":{"rendered":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/?p=5620"},"modified":"2024-03-17T22:22:27","modified_gmt":"2024-03-18T01:22:27","slug":"a-curva-de-peano-e-mashle","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/5620\/","title":{"rendered":"A curva de Peano e Mashle"},"content":{"rendered":"\n

No anime Mashle, o protagonista hom\u00f4nimo n\u00e3o pode utilizar magia, mas compensa com seus m\u00fasculos absurdamente fortes para superar os desafios que enfrenta em uma escola de magia. Dentre eles temos o duelo contra o mago Macaron, o qual invoca um gigantesco sino que tocar\u00e1 ap\u00f3s um minuto destruir\u00e1 aqueles em seu alcance, exceto que Mashle consiga destruir sua varinha antes disso. Esta situa\u00e7\u00e3o coloca o protagonista em uma esp\u00e9cie de pega-pega, onde Macaron foge na arena movendo-se na velocidade do som enquanto Mashle o persegue.<\/p>\n\n\n\n

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Fonte: https:\/\/mashle.fandom.com\/wiki\/Margarette_Macaron<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Essa batalha me fez lembrar de uma quest\u00e3o da III Olimp\u00edada Iberoamericana de Matem\u00e1tica Universit\u00e1ria (7 de outubro de 2000), a qual tomarei a liberdade art\u00edstica de trocar o nome dos personagens e os valores utilizados. Na varia\u00e7\u00e3o deste problema, temos que a arena \u00e9 um campo aberto e que Mashle n\u00e3o consegue determinar a posi\u00e7\u00e3o de Macaron (ele poderia estar invis\u00edvel por exemplo).<\/p>\n\n\n\n

Em um plano se move de qualquer maneira um ponto (Macaron) com velocidade n\u00e3o superior a 18 quil\u00f4metros por minuto (velocidade do som), descrevendo uma curva cont\u00ednua \u03bb: [0, 1] \u2192 \u211d\u00b2, onde [0, 1] \u00e9 um intervalo de tempo de um minuto. Sabe-se que o Macaron se encontra inicialmente em um quadrado de lado de 144 km. No centro deste quadrado se encontra o Mashle que n\u00e3o pode saber a posi\u00e7\u00e3o do Macaron, por\u00e9m pode mover-se com qualquer velocidade. Encontrar uma curva cont\u00ednua \u03b3: [0, 1] \u2192 \u211d\u00b2 (o caminho percorrido pelo Mashle) tal que em algum momento de tempo t \u2208 [0, 1] se obt\u00e9m a igualdade \u03bb(t) = \u03b3(t), isto \u00e9, o Mashle pega o Macaron independente do caminho que este \u00faltimo escolha.<\/p>\n\n\n\n

De forma resumida, o problema pede para mostrarmos que existe um trajeto que Mashle possa percorrer de modo a capturar Macaron independente do caminho que ele percorra.<\/p>\n\n\n\n

A ideia da solu\u00e7\u00e3o desse problema foi apresentada a mim no Semin\u00e1rio de Coisas Legais realizado em 31\/05\/2012 por \u00c9rik Amorim<\/strong> (http:\/\/legal.icmc.usp.br\/doku.php<\/a>) intitulado \u201cA curva de Peano e um dem\u00f4nio da tasm\u00e2nia cego puntiforme infinitamente r\u00e1pido\u201d, e segundo ele a ideia da solu\u00e7\u00e3o foi-lhe apresentada pelo professor Carlos Gustavo Moreira<\/strong> (Gugu) do IMPA em uma palestra sobre problemas legais de an\u00e1lise.<\/p>\n\n\n\n

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Fonte: http:\/\/legal.icmc.usp.br\/doku.php<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

A ideia para a solu\u00e7\u00e3o \u00e9 que o trajeto percorrido por Mashle seja uma curva de Peano, isto \u00e9, uma linha no plano que passa por todos os pontos de uma regi\u00e3o com \u00e1rea, isto \u00e9, preenchendo-a.<\/p>\n\n\n\n

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Fonte: http:\/\/legal.icmc.usp.br\/doku.php<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

O problema \u00e9 que Macaron n\u00e3o est\u00e1 parado esperando que Mashle o encontre, isto significa que dependendo de como Mashle preenche o plano, temos a possibilidade de Macaron mover-se para alguma regi\u00e3o da qual o Mashle j\u00e1 passou e assim escapar de sua busca.<\/p>\n\n\n\n

Para resolver esta quest\u00e3o, \u00c9rik Amorim<\/strong> prop\u00f4e duas a\u00e7\u00f5es. A primeira foi dividir o quadrado inicial onde Macaron se encontra (em linha preta grossa) em 4 quadrados (linha preta fina), e cobrir cada um destes quadrados com outros quatro quadrados (linhas azuis), deixando uma margem de sobra (pois Macaron poderia tentar fugir para al\u00e9m dos limites do quadrado inicial.<\/p>\n\n\n\n

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Fonte: http:\/\/legal.icmc.usp.br\/doku.php<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

A segunda a\u00e7\u00e3o seria dividir o tempo que Mashle ficar\u00e1 em cada quadrado (azul). A ideia \u00e9 que ele divida seu tempo total em 7 partes, ele fica perambulando por cada quadrado (azul) por 1\/7 desse tempo (totalizando 4\/7) e usa 1\/7 do tempo para se mover de um quadrado (azul) para outro (totalizando outros 3\/7 do tempo).<\/p>\n\n\n\n

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Fonte: http:\/\/legal.icmc.usp.br\/doku.php<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Ai voc\u00ea pensa, o que Mashle far\u00e1 nesse 1\/7 do tempo que ele fica em cada quadrado? <\/p>\n\n\n\n

A mesma coisa!<\/p>\n\n\n\n

Ou seja, dividiremos este 1\/7 do tempo, em 7 partes, e Mashle percorrer\u00e1 outros 4 sub-quadrados que cubram o entorno de cada quadrado.<\/p>\n\n\n\n

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Fonte: adaptado de http:\/\/legal.icmc.usp.br\/doku.php<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n
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  1. <\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n

    Perceba que estamos sempre considerando uma margem a mais em cada etapa da busca (assim Macaron n\u00e3o conseguiria escapar dessa margem mesmo que mude de quadrado (inicial) na ocasi\u00e3o em que tamb\u00e9m mudamos de quadrado.<\/p>\n\n\n\n

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    Fonte: http:\/\/legal.icmc.usp.br\/doku.php<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

    H\u00e1 mais alguns argumentos necess\u00e1rios para “formalizar” esta explica\u00e7\u00e3o que podem ser encontrados na apresenta\u00e7\u00e3o de Erik Amorim (http:\/\/legal.icmc.usp.br\/lib\/exe\/fetch.php?media=slides:tasmania.pdf<\/a>). Mas a conclus\u00e3o segue a mesma, se a velocidade de Mashle \u00e9 ilimitada, ent\u00e3o n\u00e3o importa para onde Macaron fuja, ele ser\u00e1 capturado!<\/p>\n\n\n\n

    Cr\u00e9ditos da imagem de capa \u00e0 PublicDomainArchive<\/a> por Pixabay<\/a><\/p>\n\n\n\n

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    Como referenciar este conte\u00fado em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023\/2018):<\/p>\n\n\n\n

    SILVA, Marcos Henrique de Paula Dias da. A curva de Peano e Mashle. In<\/em>: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero \u2013 Blog de Ci\u00eancia da Unicamp<\/a>. <\/strong>Volume 11. Ed. 1. 1\u00ba semestre de 2024<\/a>. Campinas, 16 mar. 2024. Dispon\u00edvel em: https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/5620\/<\/a>. Acesso em: <data-de-hoje>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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