{"id":6017,"date":"2025-04-29T18:00:21","date_gmt":"2025-04-29T21:00:21","guid":{"rendered":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/?p=6017"},"modified":"2025-04-30T07:23:21","modified_gmt":"2025-04-30T10:23:21","slug":"ataque-ao-tronco-da-piramide","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/6017\/","title":{"rendered":"Ataque ao tronco da pir\u00e2mide"},"content":{"rendered":"\n

No final de uma manh\u00e3 de ter\u00e7a-feira chuvosa, a professora Emanuelly come\u00e7a sua aula de Matem\u00e1tica para uma turma do Ensino M\u00e9dio T\u00e9cnico. Percebendo a agita\u00e7\u00e3o dos alunos ela teve a ‘brilhante’ ideia de dar bexigas para eles encherem, pensando que assim ficariam em sil\u00eancio enquanto usam o ar dos pulm\u00f5es para ench\u00ea-las em vez de falar… essa n\u00e3o foi uma boa ideia, pois alguns instantes depois come\u00e7ou uma esp\u00e9cie de sinfonia bal\u00f4nica, com bexigas esvaziando, outras estourando e outras esfregando fazendo sons graves.<\/p>\n\n\n\n

Nessa aula ela prop\u00f4s tratar sobre o Princ\u00edpio de Cavalieri para S\u00f3lidos (alguns textos que podem te ajudar a entender melhor este conceito: <\/a>Pepino de Cavalieri<\/a>, O dia que conheci M\u00b3. Cavalieri<\/a>, Princ\u00edpio de Cavalieri e volumes de s\u00f3lidos<\/a>). At\u00e9 ai n\u00e3o foi muito dif\u00edcil, pois a algumas aulas ela tratou deste mesmo princ\u00edpio para figuras planas, assim tra\u00e7ando um paralelo entre a ideia que valia para tri\u00e2ngulos de bases e alturas iguais, ela fez para pir\u00e2mides com \u00e1reas da base e alturas iguais.<\/p>\n\n\n\n

No momento seguinte, ela quis introduzir a ideia do s\u00f3lido ‘tronco de pir\u00e2mide’, que \u00e9 basicamente uma pir\u00e2mide com sua ‘cabe\u00e7a’ arrancada. <\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Isto fez um pouco de confus\u00e3o na turma, que associava aquele objeto a um prisma, mas ela tinha massinha na mochila (por algum motivo a massinha estava l\u00e1), e decidiu exemplificar isto usando-a para fazer uma pir\u00e2mide e depois ‘cortar fora’ sua cabe\u00e7a, explicando assim que sua estrutura \u00e9 diferente da estrutura de um prisma (pois este teria arestas laterais paralelas). O pr\u00f3ximo passo foi discutir como se calcula seu volume, e os pr\u00f3prios alunos j\u00e1 sugeriram que isto poderia ser feito subtraindo o volume da pir\u00e2mide total pela parte removida. Perfeito!<\/p>\n\n\n\n

Por\u00e9m e nas situa\u00e7\u00f5es em que n\u00e3o nos forem dadas informa\u00e7\u00f5es sobre como a pir\u00e2mide era antes de ser cortada? Isto \u00e9, se somente soubermos a medida da sua base inferior, base superior e altura (no caso, dist\u00e2ncia entre as bases), ainda seria poss\u00edvel determinar seu volume?<\/p>\n\n\n\n

A princ\u00edpio parece que n\u00e3o, pois sem a medida da altura total, n\u00e3o podemos dizer quanto valeria a pir\u00e2mide antes de ser cortada… por\u00e9m h\u00e1 algo que estamos esquecendo de considerar… se o corte for feito muito perto da base inferior, ambas as bases ter\u00e3o quase a mesma \u00e1rea.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Por outro lado, se se o corte for feito muito pr\u00f3ximo do topo, a \u00e1rea da base superior ser\u00e1 quase igual a 0.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Com isso, ela queria justificar que existe uma rela\u00e7\u00e3o entre a medida da base superior e a altura do corte… mas essa rela\u00e7\u00e3o entre as medidas, ainda no aspecto intuitivo da coisa j\u00e1 tomou bastante energia e exemplos emp\u00edricos, dos quais ela tentou usar pir\u00e2mides de base quadrada para mostrar que se cortarmos ela no meio na horizontal, teremos que a base superior ser\u00e1 1\/4 do tamanho da base inferior (j\u00e1 que lateralmente nossa nova base quadrada ser\u00e1 1\/2 da base quadrada original… e percebendo que estava dif\u00edcil de explicar isto na lousa, recorreu novamente para a massinha e contou inclusive com a ajuda de um aluno para montar uma pir\u00e2mide de base quadrada enquanto ela refazia a explica\u00e7\u00e3o.<\/p>\n\n\n\n

‘Convencidos’ parcialmente desta rela\u00e7\u00e3o, a professora avan\u00e7ou para a dedu\u00e7\u00e3o de uma f\u00f3rmula para aquele volume… tentando reescrever a altura total da pir\u00e2mide em fun\u00e7\u00e3o da altura do tronco, mas em meio aos c\u00e1lculos sem roteiro, as coisas n\u00e3o foram saindo t\u00e3o simples como ela esperava, chegando ao ponto em que seus c\u00e1lculos travaram em algum erro cometido no caminho, o qual ela n\u00e3o estava conseguindo identificar. Percebendo que a situa\u00e7\u00e3o n\u00e3o avan\u00e7aria assim t\u00e3o r\u00e1pido, ela se desculpa para a turma dizendo que naquela ocasi\u00e3o n\u00e3o conseguiria fazer aquela dedu\u00e7\u00e3o, mas que n\u00e3o gosta de “cuspir” f\u00f3rmulas para os alunos como se elas tivessem vindo do c\u00e9u, ent\u00e3o se comprometia a elaborar melhor esta resolu\u00e7\u00e3o e apresentar para eles como se chega naquela f\u00f3rmula.<\/p>\n\n\n\n

Em casa, sentou-se para atacar o problema do tronco de pir\u00e2mide, e imersa em seus c\u00e1lculos percebe que diferente das outras dedu\u00e7\u00f5es de volumes feitas, aquela exigia um toque de sagacidade… como at\u00e9 mesmo uma cruel divis\u00e3o de polin\u00f4mios. Uma vez prontos, ela ent\u00e3o organiza a dedu\u00e7\u00e3o abaixo e encaminha no ambiente virtual para seus queridos alunos :3<\/p>\n\n\n\n

Utilizaremos uma pir\u00e2mide de base quadrada, pois sem perda de generalidade, pelo princ\u00edpio de Cavalieri, seu volume ser\u00e1 equivalente ao de qualquer pir\u00e2mide de mesma altura e cuja \u00e1rea da base seja igual \u00e0 daquele quadrado. <\/strong><\/em><\/p>\n\n\n\n

Seja h2 a altura do topo da pir\u00e2mide (aquele que foi arrancado do tronco) e b2 a aresta da sua base. Seja h1 a altura do tronco e b1 a aresta da base maior do tronco.<\/strong><\/em><\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Podemos dizer que o tri\u00e2ngulo de altura (h1 + h2) \u00e9 semelhante ao tri\u00e2ngulo de altura h2. Logo:<\/strong><\/em><\/p>\n\n\n\n

(h1 + h2)\/b1 = h2\/b2<\/em><\/p>\n\n\n\n

Reescrevendo isolando h2, chegamos em<\/em><\/strong><\/p>\n\n\n\n

(h1 + h2)*b2 = b1*h2<\/em><\/p>\n\n\n\n

h1*b2 + h2*b2 = b1*h2<\/em><\/p>\n\n\n\n

h2*b2 – h2*b1 = – h1*b2<\/em><\/p>\n\n\n\n

h2(b2 – b1) = -h1*b2<\/em><\/p>\n\n\n\n

h2 = -h1*b2\/(b2 – b1)<\/em><\/p>\n\n\n\n

h2 = h1*b2\/(b1 – b2)<\/em><\/p>\n\n\n\n

O volume da pir\u00e2mide maior ser\u00e1 dada ent\u00e3o por<\/em><\/strong><\/p>\n\n\n\n

(h1 + h2)*b1\u00b2\/3<\/em><\/p>\n\n\n\n

Substituindo h2 na express\u00e3o acima, chegamos que seu volume ser\u00e1:<\/strong><\/em><\/p>\n\n\n\n

= ((h1*b2)\/(b1 – b2) + h1)*b1\u00b2\/3 <\/em><\/p>\n\n\n\n

= (h1*b2\/(b1 – b2) + h1*(b1 – b2)\/(b1 – b2))*b2\u00b2\/3<\/em><\/p>\n\n\n\n

= ((h1*b2 + h1(b1 – b2))\/(b1 – b2))*b1\u00b2\/3 <\/em><\/p>\n\n\n\n

= h1*((b2 + b1 – b2)\/(b1 – b2))*b1\u00b2\/3<\/em><\/p>\n\n\n\n

= h1*(b1\/(b1 – b2))*b1\u00b2\/3 <\/em><\/p>\n\n\n\n

= h1*b1\u00b3\/3*(b1 – b2)<\/em><\/p>\n\n\n\n

= h1*b1\u00b3\/(3b1 – 3b2)<\/em><\/p>\n\n\n\n

e o volume da pir\u00e2mide menor ser\u00e1 dada por<\/strong><\/em><\/p>\n\n\n\n

h2*b2\u00b2\/3<\/em><\/p>\n\n\n\n

Substituindo h2 na express\u00e3o acima, chegamos que seu volume ser\u00e1:<\/strong><\/em><\/p>\n\n\n\n

= ((h1*b2)\/(b1 – b2))*b2\u00b2\/3<\/em><\/p>\n\n\n\n

= h1*b2\u00b3\/(3b1 – 3b2)<\/em><\/p>\n\n\n\n

Assim, subtraindo um volume do outro, obtemos o volume do tronco:<\/strong><\/em><\/p>\n\n\n\n

h1*b1\u00b3\/(3b1 – 3b2) – h1*b2\u00b3\/(3b1 – 3b2)<\/em><\/p>\n\n\n\n

Reduzindo esta express\u00e3o chegamos em:<\/strong><\/em><\/p>\n\n\n\n

= h1*(b1\u00b3 – b2\u00b3)\/(3b1 – 3b2)<\/em><\/p>\n\n\n\n

= (h1\/3)*(b1\u00b3 – b2\u00b3)\/(b1 – b2)<\/em><\/p>\n\n\n\n

Aqui vem a parte mais cruel, pois podemos reescrever o polin\u00f4mio (b1\u00b3 – b2\u00b3) como (b1\u00b2 + sqrt(b1*b2) + b2\u00b2)*(b1 – b2), e ent\u00e3o voltamos para a express\u00e3o anterior:<\/strong><\/em><\/p>\n\n\n\n

= (h1\/3)*(b1 + sqrt(b1*b2) + b2)*(b1 – b2)\/(b1 – b2)<\/em><\/p>\n\n\n\n

Que pode ser simplificada como:<\/strong><\/em><\/p>\n\n\n\n

= (h1\/3)*(b1 + sqrt(b1*b2) + b2)<\/em><\/p>\n\n\n\n

A express\u00e3o da f\u00f3rmula do volume do tronco da pir\u00e2mide!!!!<\/strong><\/em><\/p>\n\n\n\n

SILVA, Marcos Henrique de Paula Dias da. Ataque ao tronco da pir\u00e2mide. In<\/em>: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero \u2013 Blog de Ci\u00eancia da Unicamp<\/a>. <\/strong>Volume 13. Ed. 1. 1\u00ba semestre de 2025<\/a>. Campinas, 29 de abril de 2025. Dispon\u00edvel em: https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/6017\/<\/a>. Acesso em: <data-de-hoje>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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