{"id":6030,"date":"2025-05-04T08:14:41","date_gmt":"2025-05-04T11:14:41","guid":{"rendered":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/?p=6030"},"modified":"2025-05-04T08:14:43","modified_gmt":"2025-05-04T11:14:43","slug":"e-obvio-mas-esta-errado","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/6030\/","title":{"rendered":"\u00c9 \u00f3bvio, mas est\u00e1 errado!"},"content":{"rendered":"\n

Era uma sexta-feira comum na vida de Emanuelly, quando ao terminar o que planejou para sua aula um pouco mais cedo do que esperava, perguntou se dentre os exerc\u00edcios das listas que ela passa, havia algum em especial que a turma gostaria que fosse feito na lousa. Um aluno ent\u00e3o pede para fazer um exerc\u00edcio sobre a dedu\u00e7\u00e3o do valor da fun\u00e7\u00e3o seno para qualquer \u00e2ngulo, e a professora foi ao quadro mostrar como “imaginava” ser esta resolu\u00e7\u00e3o. Ela come\u00e7a desenhando um tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero de lado 1, pois como estaremos tratando de \u00e2ngulos, este tri\u00e2ngulo ser\u00e1 semelhante a qualquer outro tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero independente do valor dos lados, e escolher lado 1 deveria facilitar os c\u00e1lculos seguintes.<\/p>\n\n\n\n

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Ap\u00f3s desenhar o tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero, ela dividiu-o no meio, tra\u00e7ando a bissetriz daquele \u00e2ngulo. Isto divide o \u00e2ngulo em duas partes iguais, formando ent\u00e3o dois tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos de hipotenusa 1 e cateto 1\/2. Usando o teorema de Pit\u00e1goras, podemos deduzir que o outro cateto seja \u221a3\/2. Por outro lado, como era um tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero, todos os seus \u00e2ngulos eram 60 graus, e agora o \u00e2ngulo dividido ficava valendo 30 graus.<\/p>\n\n\n\n

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No passo seguinte, ela partiu do pressuposto de que poderia dividir agora aquele \u00e2ngulo de 30 graus em 3 partes iguais, de modo que cada \u00e2ngulo teria 10 graus, e o cateto que antes valia 1\/2, agora foi dividido em 3 partes, valendo 1\/6 cada.<\/p>\n\n\n\n

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Dos 3 tri\u00e2ngulos formados, ela toma ent\u00e3o o de baixo, que era ret\u00e2ngulo, e usando novamente o teorema de Pit\u00e1goras, deduz o valor de sua hipotenusa como \u221a7\/3.<\/p>\n\n\n\n

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Ent\u00e3o, para calcular o seno do \u00e2ngulo de 10 graus, bastava tomar o cateto oposto (1\/6) e dividir pela hipotenusa \u221a7\/3, que seria \u221a7\/14, aproximadamente 0.188. Perfeito! Agora bastava apenas conferir o resultado com o da calculadora…<\/p>\n\n\n\n

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Mas espera… porque os resultados n\u00e3o coincidiram? Ela ent\u00e3o come\u00e7a a rever seus c\u00e1lculos, procurando algum d\u00edgito que possa ter anotado errado, e ali em frente ao quadro, o que deveria ser o momento da celebra\u00e7\u00e3o com o uso do resultado do dispositivo eletr\u00f4nico apenas para confirmar a legitimidade do racioc\u00ednio come\u00e7a a se tornar um caos. Nenhum dos c\u00e1lculos estava errado, n\u00e3o era a calculadora que estava em radianos, n\u00e3o havia nada ali que pudesse ter resultado nessa diferen\u00e7a… exceto um detalhe. Quando assumiu que poderia fazer a trissec\u00e7\u00e3o (divis\u00e3o em 3 partes iguais) do \u00e2ngulo de 30 graus e que isso faria a trissec\u00e7\u00e3o do cateto com valor inicial de 1\/2.<\/p>\n\n\n\n

A professora contudo n\u00e3o se d\u00e1 por vencida, e come\u00e7a uma s\u00e9rie de “ataques” ao problema que ela julgava ser bastante simples de resolver… depois de encher e apagar a lousa com ideias enquanto a turma dispersava sua aten\u00e7\u00e3o, uma vez que ela mesma estava imersa em seus pr\u00f3prios pensamentos. Emanuelly aceita que n\u00e3o ser\u00e1 poss\u00edvel resolver aquele problema ali, e que essa contudo \u00e9 uma boa oportunidade para falar sobre onde estava o erro no seu racioc\u00ednio. Explicando que os c\u00e1lculos estavam certos, por\u00e9m aquela ocasi\u00e3o, onde foi pressuposto a trissec\u00e7\u00e3o do \u00e2ngulo, estava errada, ainda que inicialmente parecesse “natural” ou “intuitiva”, isto n\u00e3o acontecia. Ela ent\u00e3o se comprometeu a escrever explicando melhor sobre isso, e assim ficou pensando por dois dias a respeito de outras estrat\u00e9gias para atacar este problema, mas sem resultados favor\u00e1veis, aceitou a derrota e procurou na Internet a solu\u00e7\u00e3o.<\/p>\n\n\n\n

O problema \u00e9 que a solu\u00e7\u00e3o n\u00e3o \u00e9 nada trivial, pois a express\u00e3o alg\u00e9brica para seno de 10 graus \u00e9:<\/p>\n\n\n\n

i*e^(-i*\u03c0\/9)\/2 – i*e^(i*\u03c0\/9)\/2<\/em><\/strong><\/p>\n\n\n\n

Onde ‘e’ \u00e9 o n\u00famero de Euler (Uma capivara movida a jujubas<\/a>), i \u00e9 a unidade imagin\u00e1ria (\u221a-1) e \u03c0 \u00e9 a raz\u00e3o entre o comprimento de uma circunfer\u00eancia dividida pelo seu di\u00e2metro (O mist\u00e9rio de \u03c0=4<\/a>).<\/p>\n\n\n\n

Outras formas de chegar ao valor de seno de 10 graus, envolvem aproxima\u00e7\u00f5es, pois as \u00fanicas propriedades que dispomos com exatid\u00e3o s\u00e3o de somar\/subtrair \u00e2ngulos, e divid\u00ed-los ao meio. Mas como a priori conseguimos deduzir somente os \u00e2ngulos de 30, 45 e 60 graus, com estas opera\u00e7\u00f5es n\u00e3o \u00e9 poss\u00edvel chegar com exatid\u00e3o no valor 10 graus.<\/p>\n\n\n\n

Por fim, vale descobrirmos duas coisas. <\/p>\n\n\n\n

Qual era o \u00e2ngulo daquele tri\u00e2ngulo que calculamos o seno?<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Fazendo uma fun\u00e7\u00e3o trigonom\u00e9trica inversa, isto \u00e9, arco-seno (\u221a7\/14) chegamos que seu \u00e2ngulo era de 10,89 graus.<\/p>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

Quanto deveria valer o cateto para que o tri\u00e2ngulo tivesse \u00e2ngulo 10 graus?<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Se estipulamos que o \u00e2ngulo seja de 10 graus, conhecendo seu cateto adjacente, podemos fazer a tangente de 10 graus como:<\/p>\n\n\n\n

tang(10) = x\/(\u221a3\/2)<\/p>\n\n\n\n

tang(10)*(\u221a3\/2) = x<\/p>\n\n\n\n

0.1527 = x<\/p>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

Apenas para compara\u00e7\u00e3o, o resultado 1\/6 vale 0.1666, logo podemos ver que a diferen\u00e7a est\u00e1 presente em mais de 1 d\u00e9cimo.<\/p>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

Assim fica como reflex\u00e3o desse texto, que embora pare\u00e7a coerente que ao dividir o \u00e2ngulo de 30 graus daquele tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo, formemos 3 \u00e2ngulos de 10 graus, dividindo igualmente tamb\u00e9m o cateto oposto a ele, este pressuposto est\u00e1 errado! A divis\u00e3o do \u00e2ngulo em 3 partes iguais, resultar\u00e1 na divis\u00e3o do cateto em partes diferentes, dai a import\u00e2ncia de conferir at\u00e9 mesmo pressupostos que parecem mais naturais.<\/em><\/a><\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

Como referenciar este conte\u00fado em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023\/2018):<\/p>\n\n\n\n

SILVA, Marcos Henrique de Paula Dias da. \u00c9 \u00f3bvio, mas est\u00e1 errado!.\u00a0In<\/em>: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS.\u00a0Zero \u2013 Blog de Ci\u00eancia da Unicamp<\/a>.\u00a0<\/strong>Volume 13. Ed. 1. 1\u00ba semestre de 2025<\/a>. Campinas, 4 de maio 2025. Dispon\u00edvel em:\u00a0https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/6030\/<\/a>. Acesso em: <data-de-hoje>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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