{"id":6040,"date":"2025-09-10T21:56:11","date_gmt":"2025-09-11T00:56:11","guid":{"rendered":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/?p=6040"},"modified":"2025-09-10T22:12:12","modified_gmt":"2025-09-11T01:12:12","slug":"um-desafio-peculiar","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/6040\/","title":{"rendered":"Um desafio peculiar"},"content":{"rendered":"\n

Fazem uns 4 meses desde que n\u00e3o escrevo nenhum novo post… mas muita coisa aconteceu nesse per\u00edodo, dentre elas, estive dando uma organizada nos Desafios de Matem\u00e1tica (https:\/\/integravel.github.io\/desafios<\/a>), revendo algumas resolu\u00e7\u00f5es que fiz porcamente e agora tento deix\u00e1-las mais intelig\u00edveis, vendo tamb\u00e9m de remover figuras que n\u00e3o foram inteiramente geradas por mim (um processo de de-IA-siza\u00e7\u00e3o). Enfim, a cole\u00e7\u00e3o de desafios estava pronta a uns 2 anos com seus 450 desafios, e tinha certeza de que n\u00e3o daria continuidade a ela, mas a certeza \u00e9 algo capaz de nos surpreender :3<\/p>\n\n\n\n

Essa semana em aula, um aluno me pediu ajuda para resolver um exerc\u00edcio de uso do Teorema de Pit\u00e1goras, que aparentemente parece “simples”, mas traz uma beleza singular. Apresentarei uma vers\u00e3o gen\u00e9rica dele:<\/p>\n\n\n\n

Dado um tri\u00e2ngulo com hipotenusa X, e per\u00edmetro Y, com X e Y n\u00fameros Reais maiores que 0, e Y > X. Determine a medida dos outros catetos desse tri\u00e2ngulo.<\/em><\/p>\n\n\n\n

Podemos pensar nesse exerc\u00edcio como uma situa\u00e7\u00e3o na qual voc\u00ea tem uma corda de comprimento Y, define uma medida X como sendo o maior lado de um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo e ent\u00e3o fecha o tri\u00e2ngulo com o restante da corda.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n

A resolu\u00e7\u00e3o desse exerc\u00edcio segue abaixo:<\/p>\n\n\n\n

Seja A e B os catetos desse tri\u00e2ngulo.<\/p>\n\n\n\n

A + B + X = Y -> <\/p>\n\n\n\n

A + B = Y – X (como Y e X s\u00e3o n\u00fameros, at\u00e9 aqui ta tranquilo) -><\/p>\n\n\n\n

A = Y – X – B (agora escrevemos A em fun\u00e7\u00e3o de B)<\/p>\n\n\n\n

Vamos ent\u00e3o aproveitar da rela\u00e7\u00e3o do tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo:<\/p>\n\n\n\n

A\u00b2 + B\u00b2 = X\u00b2<\/p>\n\n\n\n

Substituindo A temos:<\/p>\n\n\n\n

(Y – X – B)\u00b2 + B\u00b2 = X\u00b2 -><\/p>\n\n\n\n

B\u00b2 + 2BX – 2BY + X\u00b2 – 2XY + Y\u00b2 + B\u00b2 = X\u00b2 -><\/p>\n\n\n\n

2B\u00b2 + 2B(X – Y) + X\u00b2 – X\u00b2 – 2XY + Y\u00b2 = 0 -><\/p>\n\n\n\n

2B\u00b2 + 2B(X – Y) – 2XY + Y\u00b2 = 0<\/p>\n\n\n\n

Como X e Y s\u00e3o n\u00fameros conhecidos, chegamos em uma equa\u00e7\u00e3o de 2o grau, que pode ser resolvida como:<\/p>\n\n\n\n

B = [ -2(X – Y) +- sqrt( (2X – 2Y)\u00b2 – 4*2*(-2XY + Y\u00b2) ) ] \/ 2*2<\/p>\n\n\n\n

B = [ -2(X – Y) +- sqrt( 4X\u00b2 – 8XY + 4Y\u00b2 +16XY – 8Y\u00b2) ] \/ 4<\/p>\n\n\n\n

B = [ -2(X – Y) +- 2*sqrt( X\u00b2 + 2XY – Y\u00b2)] \/ 4<\/p>\n\n\n\n

B = [ -X + Y +- sqrt( X\u00b2 + 2XY – Y\u00b2)] \/ 2<\/p>\n\n\n\n

(acho que reduzi ao m\u00e1ximo que dava, o resto depende de substitui\u00e7\u00f5es num\u00e9ricas).<\/p>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

Com o resultado acima, e conhecendo o valor de X e de Y, podemos ent\u00e3o deduzir o valor de B e por consequ\u00eancia o valor de A, chegando nos catetos do tri\u00e2ngulo.<\/p>\n\n\n\n

Ok, mas o que isso tem a ver com a conversa sobre os desafios de matem\u00e1tica no in\u00edcio desse post?<\/p>\n\n\n\n

Ent\u00e3o, ao resolver na lousa me dei conta de que havia uma rela\u00e7\u00e3o geom\u00e9trica entre suas partes, que poderia ser explorada visualmente. Embora tenha feito 450 desafios de matem\u00e1tica diferentes, acredito que em nenhum deles fiz uso da rela\u00e7\u00e3o do per\u00edmetro de uma figura. Assim, me coloquei a pensar em como poderia ser este enunciado na forma de desafio de matem\u00e1tica seguindo o modelo com que trabalho, isto \u00e9, dando apenas uma medida num\u00e9rica de \u00e1rea e pedindo para determinar outra \u00e1rea.<\/p>\n\n\n\n

Inicialmente tenho que ter meu tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo. Posso pedir a medida de sua \u00e1rea, pois isso deve requerer o conhecimento da medida de dois lados. Para apresentar a medida do cateto, posso usar quadradinhos de \u00e1rea 1. Resta agora pensar em como posso representar o per\u00edmetro do tri\u00e2ngulo sem “entregar” informa\u00e7\u00f5es sobre outras partes.<\/p>\n\n\n\n

Uma alternativa \u00e9 apresentar apenas a medida da soma dos catetos, pois a hipotenusa j\u00e1 seria uma medida definida numericamente (atrav\u00e9s da \u00e1rea dos quadradinhos). Assim, se um cateto tem a medida de um quadrad\u00e3o e o outro cateto a medida de outro quadrad\u00e3o, ao colocar ambos os quadrados lado a lado, isto deveria ser equivalente ao lado de um quadrad\u00e3o ainda maior, cujo lado seria equivalente a uma quantidade Inteira de quadradinhos de \u00e1rea 1. O resultado dessa “composi\u00e7\u00e3o” est\u00e1 abaixo:<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n

Talvez isso n\u00e3o pare\u00e7a nada de mais, por\u00e9m temos aqui a seguinte situa\u00e7\u00e3o:<\/p>\n\n\n\n

Um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo de hipotenusa 9 e per\u00edmetro igual \u00e0 21.<\/em><\/p>\n\n\n\n

Sim, toda essa enorme representa\u00e7\u00e3o visual, representa essa frase curta bem acima, que pode ser resolvida aproveitando o resultado gen\u00e9rico que obtemos a alguns par\u00e1grafos atr\u00e1s:<\/p>\n\n\n\n

B = [ -X + Y +- sqrt( X\u00b2 + 2XY – Y\u00b2)] \/ 2<\/p>\n\n\n\n

B = [ -9 + 21 +- sqrt( 9\u00b2 + 2*9*21 – 21\u00b2)] \/ 2<\/p>\n\n\n\n

B1 = 6 – 3\/sqrt(2) ~ 3.87<\/p>\n\n\n\n

B2 = 6 + 3\/sqrt(2) ~ 8.12<\/p>\n\n\n\n

No caso, B1 e B2 v\u00e3o equivaler as medidas dos catetos do tri\u00e2ngulo.<\/p>\n\n\n\n

A \u00e1rea do tri\u00e2ngulo fica sendo B1*B2\/2 = 63\/4 = 15,75.<\/p>\n\n\n\n

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Como referenciar este conte\u00fado em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023\/2018):<\/p>\n\n\n\n

SILVA, Marcos Henrique de Paula Dias da. Um desafio peculiar.\u00a0In<\/em>: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS.\u00a0Zero \u2013 Blog de Ci\u00eancia da Unicamp<\/a>.\u00a0<\/strong>Volume 14. Ed. 1. 2\u00ba semestre de 2025<\/a>. Campinas, 10 de setembro 2025. Dispon\u00edvel em:\u00a0https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/6040\/<\/a>. Acesso em: <data-de-hoje>.<\/p>\n\n\n