{"id":6130,"date":"2025-12-03T21:39:10","date_gmt":"2025-12-04T00:39:10","guid":{"rendered":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/?p=6130"},"modified":"2025-12-04T11:03:39","modified_gmt":"2025-12-04T14:03:39","slug":"onde-esta-carmen-sandiego","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/6130\/","title":{"rendered":"Onde est\u00e1 Carmen Sandiego?"},"content":{"rendered":"\n

Esse semestre trouxe para meus alunos de Matem\u00e1tica VII (Ensino M\u00e9dio T\u00e9cnico em Qu\u00edmica no s\u00e9timo semestre) um teste\/problema para que resolvessem em duas semanas (individual ou em duplas). No teste mostrava um plano cartesiano e nele 3 pontos n\u00e3o colineares que representavam antenas de celular. Era dito tamb\u00e9m que detectaram Carmen Sandiego a uma dist\u00e2ncia em km de cada uma das 3 antenas e pedia que determinassem sua posi\u00e7\u00e3o no plano. Depois que explicassem porque seria preciso uma quarta antena para termos sua posi\u00e7\u00e3o exata.<\/p>\n\n\n\n

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…<\/p>\n\n\n\n

Ent\u00e3o, estou fazendo esses testes para serem dif\u00edceis e trabalhosos, e exigirem uma etapa de interpreta\u00e7\u00e3o e tratamento do enunciado. Mas por descuido (e tamb\u00e9m pra deixar mais divertido) eu n\u00e3o estou resolvendo-os antes de passar para minhas turmas. Tipo, eu sei que h\u00e1 solu\u00e7\u00e3o, pela forma como fiz deve haver (ou deveria).<\/p>\n\n\n\n

Esse em particular \u00e9 um caso em que me equivoquei, mas de um jeito que vale a pena discutir a raz\u00e3o desse suposto erro.<\/p>\n\n\n\n

Quando criei o teste pensei no problema de triangula\u00e7\u00e3o (um cl\u00e1ssico), onde voc\u00ea tem 3 dist\u00e2ncias de pontos de refer\u00eancia, e determina este ponto. O problema do problema \u00e9 que essas dist\u00e2ncias n\u00e3o podem ser arbitr\u00e1rias!<\/p>\n\n\n\n

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Quest\u00e3o 88 do ENEM 2015, caderno azul<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Pensemos assim (est\u00e1 errado, mas tente achar o erro), com uma dist\u00e2ncia X conhecida de um ponto de refer\u00eancia A temos uma circunfer\u00eancia de raio X. <\/p>\n\n\n\n

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Com mais uma dist\u00e2ncia Y conhecida de um ponto de refer\u00eancia B, se a dist\u00e2ncia entre A e B for menor ou igual que X+Y ent\u00e3o temos at\u00e9 dois pontos em que as circunfer\u00eancias se intersectam.<\/p>\n\n\n\n

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Para eliminar a incerteza sobre qual desses dois pontos estamos falando, bastaria uma terceira dist\u00e2ncia Z com um ponto de refer\u00eancia C, n\u00e3o colinear com A e B, e de modo que Z seja suficientemente grande para interceptar as circunfer\u00eancias com centro em A e B. Assim, sei exatamente qual ponto considerar? Afinal, se eu pudesse estar em d\u00favida entre dois pontos, com isso tenho a certeza de qual ponto estou falando, j\u00e1 que C n\u00e3o \u00e9 colinear, n\u00e3o corre o risco da sua circunfer\u00eancia cruzar exatamente com esses dois, certo?<\/p>\n\n\n\n

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Errado!!!!<\/p>\n\n\n\n

Como percebi tardiamente, na parte final desse problema, n\u00e3o basta uma circunfer\u00eancia qualquer que cruze as outras duas, e sim, uma circunfer\u00eancia que cruze um dos dois pontos de intersec\u00e7\u00e3o entre as duas j\u00e1 existentes. Sen\u00e3o corremos o risco de que a circunfer\u00eancia com centro C cruze a circunfer\u00eancia com centro A em dois novos pontos, e cruze a circunfer\u00eancia com centro B em dois novos pontos. Terminando o problema com 6 solu\u00e7\u00f5es poss\u00edveis (o que era pra resolver, gerou maior confus\u00e3o…).<\/p>\n\n\n\n

Acrescentar uma quarta circunfer\u00eancia arbitr\u00e1ria que cruze as outras tr\u00eas a esse problema em nada ajudaria a delimitar a posi\u00e7\u00e3o de Carmen Sandiego.<\/p>\n\n\n\n

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Por\u00e9m h\u00e1 algo curioso nesse suposto erro com 3 circunfer\u00eancias. Ele n\u00e3o \u00e9 um erro em si, e sim uma limita\u00e7\u00e3o dimensional do problema. Quando falamos em dist\u00e2ncia de um ponto de refer\u00eancia, n\u00e3o temos uma circunfer\u00eancia, e sim uma esfera. <\/p>\n\n\n\n

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Quando duas esferas se cruzam, elas n\u00e3o foram dois pontos, e sim uma circunfer\u00eancia. <\/p>\n\n\n\n

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Quando tr\u00eas esferas se cruzam elas formam dois pontos. <\/p>\n\n\n\n

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Por\u00e9m ainda assim, acrescentar uma quarta esfera arbitr\u00e1ria ao problema, com o pretexto de que ela cruze as outras 3, traz um erro de combinat\u00f3ria, pois ter\u00edamos ent\u00e3o as combina\u00e7\u00f5es dessas interse\u00e7\u00f5es triplas ocorrendo com essa quarta esfera. Ou seja, uma quarta esfera de fato permite determinar qual desses dois pontos \u00e9 o verdadeiro, por\u00e9m n\u00e3o uma esfera qualquer, e sim, uma esfera que cruze um dos dois (e n\u00e3o ambos).<\/p>\n\n\n\n

Assim, de volta ao problema original, o que eu tinha pensado? Porque pedi uma quarta antena? Pois no enunciado eu digo “em que posi\u00e7\u00e3o do plano ela est\u00e1?” De fato, com 3 antenas e dist\u00e2ncias apresentadas, isto gera 6 posi\u00e7\u00f5es poss\u00edveis. Por\u00e9m estamos falando de Carmen Sandiego… precisamos considerar que ela n\u00e3o se limita ao plano, podendo estar bem acima (ou bem abaixo) da superf\u00edcie da Terra. Por isso a pergunta seguinte era, “porque uma quarta antena seria necess\u00e1ria para determinar sua posi\u00e7\u00e3o exata?”.<\/p>\n\n\n\n

Ou seja, se Carmen Sandiego estivesse no subterr\u00e2neo ou no c\u00e9u, as 3 antenas escolhidas apresentariam um erro como esse, de mostrar 6 posi\u00e7\u00f5es poss\u00edveis. Mas quando consideramos a interse\u00e7\u00e3o de esferas, temos somente dois resultados poss\u00edveis! E com a ajuda de mais uma antena escolhida de modo que a sua esfera de alcance intersecta somente um desses dois pontos, teremos a posi\u00e7\u00e3o exata de Carmen Sandiego!<\/p>\n\n\n\n

Ou ser\u00e1 que Carmen Sandiego tem mais um truque na manga?<\/em><\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

Como referenciar este conte\u00fado em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023\/2018):<\/p>\n\n\n\n

SILVA, Marcos Henrique de Paula Dias. Onde est\u00e1 Carmen Sandiego?. In<\/em>: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero \u2013 Blog de Ci\u00eancia da Unicamp<\/a>. <\/strong>Volume 14. Ed. 1. 2\u00ba semestre de 2025<\/a>. Campinas, 3 de dezembro de 2025. Dispon\u00edvel em: https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/6130\/<\/a>. Acesso em: <data-de-hoje>.<\/p>\n\n\n\n

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