{"id":6185,"date":"2026-01-07T21:59:22","date_gmt":"2026-01-08T00:59:22","guid":{"rendered":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/?p=6185"},"modified":"2026-01-19T07:10:04","modified_gmt":"2026-01-19T10:10:04","slug":"como-a-logica-pode-nos-salvar-dos-calculos-parte-1","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/6185\/","title":{"rendered":"Como a L\u00f3gica pode nos salvar dos C\u00e1lculos &#8211; parte 1"},"content":{"rendered":"\n<p class=\" eplus-wrapper\">Voc\u00ea consegue pensar em dois n\u00fameros Irracionais &#8220;a&#8221; e &#8220;b&#8221; tal que a^b seja Racional? (fizemos algo parecido no post <a href=\"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/443\/\">Buracos Irracionais<\/a>).<\/p>\n\n\n\n<p class=\" eplus-wrapper\">E para n\u00fameros Complexos, ser\u00e1 que existem &#8220;a&#8221; e &#8220;b&#8221; tal que a^b seja Real?<\/p>\n\n\n\n<p class=\" eplus-wrapper\"><\/p>\n\n\n\n<p class=\" eplus-wrapper\">\u00c0 primeira vista, esses problemas parecem exigir teoria dos n\u00fameros ou c\u00e1lculos avan\u00e7ados&#8230; mas surpreendentemente, um \u00fanico princ\u00edpio da l\u00f3gica \u2014 a Lei do Terceiro Exclu\u00eddo de Arist\u00f3teles (j\u00e1 falamos disso no post <a href=\"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/3682\/\">Principium tertii exclusi e Reductio ad absurdum: antigos \u201cfeiti\u00e7os\u201d matem\u00e1ticos<\/a>) \u2014 pode resolv\u00ea-los quase instantaneamente, e sem dizer exatamente quem s\u00e3o esses n\u00fameros &#8220;a&#8221; e &#8220;b&#8221;. Essa antiga ferramenta l\u00f3gica nos permite pular completamente os c\u00e1lculos, mostrando como a pr\u00f3pria l\u00f3gica pode, \u00e0s vezes, substituir a a\u00e7\u00e3o de calcular.<\/p>\n\n\n\n<p class=\" eplus-wrapper\"><strong>Vamos relembrar o que diz a Lei do Terceiro Exclu\u00eddo:<\/strong> <em>Toda proposi\u00e7\u00e3o A deve ser verdadeira ou falsa.<\/em> <\/p>\n\n\n\n<p class=\" eplus-wrapper\">Apesar de bastante simples, ela \u00e9 um princ\u00edpio da l\u00f3gica cl\u00e1ssica, e que n\u00e3o vale para alguns outros tipos de l\u00f3gica (falamos de algo parecido no post <a href=\"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/2148\/\">A falha do Duplo Negativo-Inator<\/a>). Vejamos como esse poderoso princ\u00edpio resolve as duas quest\u00f5es com as quais iniciamos esse texto.<\/p>\n\n\n\n<ul class=\" wp-block-list eplus-wrapper\">\n<li class=\" eplus-wrapper\">&#8220;a&#8221; e &#8220;b&#8221; Irracinais tal que a^b seja Racional.\n<ul class=\" wp-block-list eplus-wrapper\">\n<li class=\" eplus-wrapper\">Seja a = \u221a2 e b = \u221a2.<\/li>\n\n\n\n<li class=\" eplus-wrapper\">\u221a2^\u221a2 \u00e9 um n\u00famero na forma a^b.<\/li>\n\n\n\n<li class=\" eplus-wrapper\">\u221a2^\u221a2 \u00e9 Racional ou Irracional\n<ul class=\" wp-block-list eplus-wrapper\">\n<li class=\" eplus-wrapper\">Se \u221a2^\u221a2 for Racional, o problema est\u00e1 resolvido.<\/li>\n\n\n\n<li class=\" eplus-wrapper\">Se \u221a2^\u221a2 for Irracional, ent\u00e3o escolhemos a = \u221a2^\u221a2 e b = \u221a2, logo a^b ser\u00e1 da forma (\u221a2^\u221a2)^\u221a2 = \u221a2^(\u221a2*\u221a2) = \u221a2^2= 2, que \u00e9 um n\u00famero Racional.<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p class=\" eplus-wrapper\">Observe que nenhum c\u00e1lculo foi necess\u00e1rio para isso, mas tamb\u00e9m sequer sabemos quem deve ser o &#8220;a&#8221; para isso dar certo, mas sabemos que para algum dos dois casos, isso vai funcionar.<\/p>\n\n\n\n<p class=\" eplus-wrapper\">Agora vamos tentar replicar esse racioc\u00ednio para o conjunto dos Complexos.<\/p>\n\n\n\n<ul class=\" wp-block-list eplus-wrapper\">\n<li class=\" eplus-wrapper\">&#8220;a&#8221; e &#8220;b&#8221; Complexos tal que a^b seja Real.\n<ul class=\" wp-block-list eplus-wrapper\">\n<li class=\" eplus-wrapper\">Seja a = i e b = i.<\/li>\n\n\n\n<li class=\" eplus-wrapper\">i^i \u00e9 um n\u00famero na forma a^b.<\/li>\n\n\n\n<li class=\" eplus-wrapper\">i^i \u00e9 Real ou Complexo\n<ul class=\" wp-block-list eplus-wrapper\">\n<li class=\" eplus-wrapper\">Se i^i for Real, o problema est\u00e1 resolvido.<\/li>\n\n\n\n<li class=\" eplus-wrapper\">Se i^i for Complexo, ent\u00e3o escolhemos a = i^i e b = -2i, logo a^b ser\u00e1 da forma (i^i)^(-2i) = i^(-2i*i) = i^2 = -1, que \u00e9 um n\u00famero Real.<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p class=\" eplus-wrapper\">Observe que novamente, nenhum c\u00e1lculo foi necess\u00e1rio para isso, mas tamb\u00e9m sequer sabemos quem deve ser o &#8220;a&#8221; para isso dar certo, mas sabemos que para algum dos dois casos, isso vai funcionar.<\/p>\n\n\n\n<p class=\" eplus-wrapper\">Cr\u00e9ditos da imagem de capa \u00e0 <a href=\"https:\/\/xkcd.com\/1856\/\">https:\/\/xkcd.com\/1856\/<\/a> que brinca exatamente com a ideia de que para matem\u00e1ticos, muitas vezes \u00e9 suficiente saber que existe uma solu\u00e7\u00e3o, sem realmente encontr\u00e1-la (e destru\u00ed-la!).<\/p>\n\n\n\n<p class=\" eplus-wrapper\"><\/p>\n\n\n\n<hr class=\" wp-block-separator has-alpha-channel-opacity eplus-wrapper\" \/>\n\n\n\n<p class=\" eplus-wrapper\">Como referenciar este conte\u00fado em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023\/2018):<\/p>\n\n\n\n<p class=\" eplus-wrapper\">CARNIELLI, Walter. Como a L\u00f3gica pode nos salvar dos C\u00e1lculos &#8211; parte 1.&nbsp;<em>In<\/em>: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS.&nbsp;<strong><a href=\"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Zero \u2013 Blog de Ci\u00eancia da Unicamp<\/a>.&nbsp;<\/strong><a href=\"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/category\/v-15-ed-1\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Volume 15. Ed. 1. 1\u00ba semestre de 2026<\/a>. Campinas, 7 de Janeiro de 2026. Dispon\u00edvel em:&nbsp;<a href=\"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/6185\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/6185\/<\/a>. Acesso em: &lt;data-de-hoje&gt;.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Voc\u00ea consegue pensar em dois n\u00fameros Irracionais &#8220;a&#8221; e &#8220;b&#8221; tal que a^b seja Racional? 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