Terminamos a parte 1 falando sobre i^i. <\/p>\n\n\n\n
J\u00e1 vimos que a l\u00f3gica \u00e0s vezes pode nos ajudar a encontrar atalhos na matem\u00e1tica, mas o que acontece quando realmente verificamos o resultado de um desses “saltos l\u00f3gicos”? Por exemplo, do que exatamente estamos falando quando escrevemos i^i? A l\u00f3gica pode nos ajudar nessa interpreta\u00e7\u00e3o?<\/p>\n\n\n\n
\u00c0 primeira vista, a intui\u00e7\u00e3o parece nos dizer que isso deva ser algo que n\u00e3o pertence aos n\u00fameros Reais, afinal, i \u00e9 definido como a \u221a(-1), ent\u00e3o como i^i poderia ser Real?<\/p>\n\n\n\n
Mas e se come\u00e7assemos reescrevendo-a na sua forma exponencial? Isto \u00e9, a^b = e^(ln(a^b)) = e^(b*ln(a))<\/p>\n\n\n\n
Substituindo “a” e “b” por i, temos: e^(i*ln(i))<\/p>\n\n\n\n
Agora para determinar o valor de ln(i), temos que o logaritmo natural de um n\u00famero Complexo \u00e9 dado pelo logaritmo natural de seu m\u00f3dulo, mais i vezes seu argumento (seu \u00e2ngulo). Ou seja: ln(i) = ln|1| + i*\u03c0\/2 = 0 + i*\u03c0\/2 = i*\u03c0\/2.<\/p>\n\n\n\n
Aqui optamos por simplificar nosso resultado, assumindo que o argumento de i seja \u03c0\/2, em vez de \u03c0\/2 + n*2\u03c0, com n \u2208 \u2124, que equivale a todos os \u00e2ngulos em equivalentes \u00e0 \u03c0\/2.<\/p>\n\n\n\n
Substituindo o valor encontrado na express\u00e3o exponencial, temos e^[i*i(\u03c0\/2)] = e^(\u2013\u03c0\/2) \u2248 e^(-1,570) \u2248 0,207.<\/p>\n\n\n\n
Surpreendentemente, um n\u00famero Real.<\/p>\n\n\n\n
Mas porque esse resultado funciona? Ser\u00e1 que houve alguma falha no processo? Ou chegamos a um ponto onde a regra n\u00e3o vale e nos leva a um resultado contradit\u00f3rio\/absurdo?<\/p>\n\n\n\n
O ln(i) \u00e9 puramente imagin\u00e1rio, mas multiplicando-o por i, ele se transforma em um n\u00famero Real.<\/p>\n\n\n\n
Assim, o n\u00famero de Euler “e” elevado a um n\u00famero Real, ser\u00e1 um n\u00famero Real.<\/p>\n\n\n\n
Assim, o que come\u00e7ou como uma express\u00e3o de apar\u00eancia estranha no mundo dos n\u00fameros Imagin\u00e1rios acaba nos dando um n\u00famero Real (e at\u00e9 sem gra\u00e7a). <\/p>\n\n\n\n
\u00c9 um daqueles momentos em que a l\u00f3gica e a \u00e1lgebra trabalham juntas para revelar uma harmonia inesperada entre o “Imagin\u00e1rio” e o “Real”.<\/p>\n\n\n\n
Como referenciar este conte\u00fado em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023\/2018):<\/p>\n\n\n\n
CARNIELLI, Walter. Como a L\u00f3gica pode nos salvar dos C\u00e1lculos \u2013 parte 2. In<\/em>: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero \u2013 Blog de Ci\u00eancia da Unicamp<\/a>. <\/strong>Volume 15. Ed. 1. 1\u00ba semestre de 2026<\/a>. Campinas, 8 de Janeiro de 2026. Dispon\u00edvel em: https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/6193\/<\/a>. Acesso em: <data-de-hoje>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Terminamos a parte 1 falando sobre i^i. J\u00e1 vimos que a l\u00f3gica \u00e0s vezes pode nos ajudar a encontrar atalhos<\/p>\n","protected":false},"author":434,"featured_media":6194,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"colormag_page_container_layout":"default_layout","colormag_page_sidebar_layout":"default_layout","_monsterinsights_skip_tracking":false,"_monsterinsights_sitenote_active":false,"_monsterinsights_sitenote_note":"","_monsterinsights_sitenote_category":0,"pgc_sgb_lightbox_settings":"","_vp_format_video_url":"","_vp_image_focal_point":[],"footnotes":""},"categories":[1244],"tags":[],"class_list":["post-6193","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-v-15-ed-1"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/6193","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/users\/434"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=6193"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/6193\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":6222,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/6193\/revisions\/6222"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/media\/6194"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=6193"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=6193"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=6193"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}