{"id":6211,"date":"2026-01-16T12:40:54","date_gmt":"2026-01-16T15:40:54","guid":{"rendered":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/?p=6211"},"modified":"2026-01-19T07:22:47","modified_gmt":"2026-01-19T10:22:47","slug":"como-a-logica-pode-nos-salvar-dos-calculos-parte-4","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/6211\/","title":{"rendered":"Como a L\u00f3gica pode nos salvar dos C\u00e1lculos \u2013 parte 4"},"content":{"rendered":"\n

Voc\u00ea sabe o que s\u00e3o n\u00fameros alg\u00e9bricos?<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Um n\u00famero \u00e9 chamado de alg\u00e9brico se for raiz de algum polin\u00f4mio com coeficientes inteiros.<\/em> <\/p>\n\n\n\n

Por exemplo, \u221a2 \u00e9 alg\u00e9brico porque satisfaz a equa\u00e7\u00e3o x\u00b2 \u2212 2 = 0.<\/p>\n\n\n\n

Em contraste com os n\u00fameros alg\u00e9bricos, um n\u00famero \u00e9 chamado de transcendental, quando n\u00e3o \u00e9 solu\u00e7\u00e3o de nenhum polin\u00f4mio desse tipo \u2014 ele \u201ctranscende\u201d equa\u00e7\u00f5es alg\u00e9bricas. Exemplos famosos incluem “\u03c0” e “e”.<\/p>\n\n\n\n

Mas o que isso tem a ver com o tema dessa s\u00e9rie sobre l\u00f3gica para evitar c\u00e1lculos?<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Nossa explora\u00e7\u00e3o de express\u00f5es como i^i nos leva naturalmente a uma das hist\u00f3rias mais fascinantes da matem\u00e1tica do s\u00e9culo XX: o s\u00e9timo problema de Hilbert<\/strong>, e o Teorema de Gelfond-Schneider<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

Na virada do s\u00e9culo, David Hilbert apresentou sua famosa lista de vinte e tr\u00eas problemas n\u00e3o resolvidos para orientar a pesquisa matem\u00e1tica no novo s\u00e9culo. O s\u00e9timo problema<\/strong> questionava se: um n\u00famero da forma a^b deveria sempre ser transcendental quando a \u00e9 alg\u00e9brico (mas n\u00e3o 0 ou 1) e b \u00e9 um n\u00famero alg\u00e9brico Irracional.<\/em><\/p>\n\n\n\n

Hilbert questionou exemplos espec\u00edficos que intrigaram os matem\u00e1ticos por d\u00e9cadas: 2^(\u221a2) \u00e9 transcendental? e^(\u03c0) \u00e9 transcendental?<\/p>\n\n\n\n

Essas quest\u00f5es representaram um grande desafio at\u00e9 1934, quando Aleksandr Gelfond e Theodor Schneider, trabalhando independentemente, finalmente resolveram o problema, resultando no Teorema de Gelfond-Schneider<\/strong>:<\/p>\n\n\n\n

Se \u03b1 e \u03b2 s\u00e3o n\u00fameros alg\u00e9bricos com \u03b1 \u2260 0, \u03b1 \u2260 1 e \u03b2 Irracional, ent\u00e3o \u03b1^\u03b2 \u00e9 transcendental.<\/em><\/p>\n\n\n\n

Agora, vamos aplicar isso ao nosso exemplo \u03b1 = \u221a2 e \u03b2 = \u221a2. Ambos s\u00e3o alg\u00e9bricos e \u03b2 = \u221a2 \u00e9 Irracional. Pelo teorema de Gelfond-Schneider<\/strong>, \u03b1^\u03b2 = (\u221a2)^\u221a2 deve ent\u00e3o ser transcendental \u2014 o que significa que n\u00e3o pode ser expresso como raiz de nenhuma equa\u00e7\u00e3o alg\u00e9brica. E como todo n\u00famero transcendental tamb\u00e9m \u00e9 Irracional, (\u221a2)^\u221a2 tamb\u00e9m \u00e9 automaticamente Irracional. Esse n\u00famero em particular \u00e9 chamado de constante de Gelfond-Schneider e \u00e9 um exemplo fundamental que demonstra como a exponencia\u00e7\u00e3o pode gerar tipos de n\u00fameros inteiramente novos, muito al\u00e9m do mundo alg\u00e9brico.<\/p>\n\n\n\n

Esse mesmo teorema tamb\u00e9m nos diz que e^{\u03c0} \u00e9 transcendental, j\u00e1 que e^{\u03c0} = i^(\u22122i), conectando novamente a l\u00f3gica dos expoentes imagin\u00e1rios com uma das descobertas mais profundas da teoria dos n\u00fameros.<\/p>\n\n\n\n

Imagem de capa adaptada da anima\u00e7\u00e3o Alice no Pa\u00eds das Maravilhas (1951)<\/em><\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

Como referenciar este conte\u00fado em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023\/2018):<\/p>\n\n\n\n

CARNIELLI, Walter. Como a L\u00f3gica pode nos salvar dos C\u00e1lculos \u2013 parte 4. In<\/em>: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero \u2013 Blog de Ci\u00eancia da Unicamp<\/a>. <\/strong>Volume 15. Ed. 1. 1\u00ba semestre de 2026<\/a>. Campinas, 16 de Janeiro de 2026. Dispon\u00edvel em: https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/6211\/<\/a>. Acesso em: <data-de-hoje>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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