{"id":6473,"date":"2026-08-24T17:49:17","date_gmt":"2026-08-24T20:49:17","guid":{"rendered":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/?p=6473"},"modified":"2026-08-24T17:51:15","modified_gmt":"2026-08-24T20:51:15","slug":"no-alto-daquele-cume","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/6473\/","title":{"rendered":"No alto daquele cume"},"content":{"rendered":"\n

Uma vez que a gente conhece derivadas, fica meio bobo achar o ponto de v\u00e9rtice de uma par\u00e1bola (m\u00e1ximo\/m\u00ednimo). Derivamos a fun\u00e7\u00e3o uma vez, e a igualamos a 0, pois isso representa o ponto onde a inclina\u00e7\u00e3o da curva muda de positividade, ou seja, o cume da fun\u00e7\u00e3o.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Podemos at\u00e9 generalizar essa express\u00e3o, para f(x) = a.x\u00b2 + b.x + c, o v\u00e9rtice dessa fun\u00e7\u00e3o ser\u00e1 2.a.x + b = 0.<\/p>\n\n\n\n

Por\u00e9m estava aqui montando minha lista de exerc\u00edcios pra usar no Ensino M\u00e9dio, e pensei… como posso falar disso com meus alunos do Ensino M\u00e9dio?<\/p>\n\n\n\n

Dar uma f\u00f3rmula pronta seria muito sem gra\u00e7a… tipo, n\u00e3o \u00e9 legal fazer as pessoas aceitarem as coisas, quando \u00e9 poss\u00edvel convenc\u00ea-las de que seja realmente verdade.<\/p>\n\n\n\n

Mas tamb\u00e9m explicar derivadas nessa faixa-et\u00e1ria pode ser uma dor de cabe\u00e7a desnecess\u00e1ria… <\/p>\n\n\n\n

Poderia at\u00e9 fazer um procedimento mais mec\u00e2nico, encontrando os dois pontos que a fun\u00e7\u00e3o cruza o eixo horizontal, e afirmando que o ponto do dom\u00ednio que se encontra no meio desses dois pontos, corresponder\u00e1 ao ponto em que a fun\u00e7\u00e3o alcan\u00e7a seu valor m\u00e1ximo\/m\u00ednimo.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Mas nem toda fun\u00e7\u00e3o de 2o grau cruza o eixo horizontal… <\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Um processo simples \u00e9 escolher uma altura qualquer que a fun\u00e7\u00e3o exista, por exemplo, f(x) = k.<\/p>\n\n\n\n

Agora temos:<\/p>\n\n\n\n

f(x) = a.x\u00b2 + b.x + c = k<\/p>\n\n\n\n

Reescrevendo isso, temos:<\/p>\n\n\n\n

g(x) = a.x\u00b2 + b.x + (c – k) = 0<\/p>\n\n\n\n

Uma fun\u00e7\u00e3o que cruza o eixo horizontal, e que \u00e9 paralela \u00e0 fun\u00e7\u00e3o f(x).<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Agora vejamos se \u00e9 poss\u00edvel escrever isso de uma forma gen\u00e9rica. <\/p>\n\n\n\n

A fun\u00e7\u00e3o g(x) = a.x\u00b2 + b.x + (c – k) vai cruzar o eixo horizontal obrigatoriamente em dois pontos.<\/p>\n\n\n\n

x1 = [ -b + sqrt(b\u00b2 – 4.a.(c – k)) ]\/2.a
x2 = [ -b – sqrt(b\u00b2 – 4.a.(c – k)) ]\/2.a<\/p>\n\n\n\n

Ent\u00e3o quando escrevemos (x1 + x2)\/2<\/p>\n\n\n\n

( [ -b + sqrt(b\u00b2 – 4.a.(c – k)) ]\/2.a + [ -b – sqrt(b\u00b2 – 4.a.(c – k)) ]\/2.a ) \/ 2<\/p>\n\n\n\n

Embora essa pare\u00e7a ser uma express\u00e3o horr\u00edvel de resolver, observe o que muda de x1 para x2, apenas a parte do + e do -, associado a ra\u00edz quadrada. Isso significa que quando somo x1 com x2, essas ra\u00edzes se anulam, ficando apenas.<\/p>\n\n\n\n

(-b\/2.a -b\/2.a)\/2<\/p>\n\n\n\n

((-b – b)\/2a)\/2<\/p>\n\n\n\n

(-2b\/2a)\/2<\/p>\n\n\n\n

(-b\/a)\/2<\/p>\n\n\n\n

-b\/2a<\/p>\n\n\n\n

Ou seja, o ponto x = -b\/2a equivale a posi\u00e7\u00e3o na qual a fun\u00e7\u00e3o encontra seu m\u00e1ximo\/m\u00ednimo. Vamos apenas dar uma reorganizada nessa express\u00e3o.<\/p>\n\n\n\n

x = -b\/2a<\/p>\n\n\n\n

2.a.x = -b<\/p>\n\n\n\n

2.a.x + b = 0<\/p>\n\n\n\n

Voal\u00e1, exatamente o valor da derivada da fun\u00e7\u00e3o de 2o grau que eu tinha, e dessa vez, encontrada a partir de uma m\u00e9dia aritm\u00e9tica de dois pontos (hipot\u00e9ticos) que a fun\u00e7\u00e3o cruza. O legal desse resultado \u00e9 que usando apenas valores gen\u00e9ricos e recursos bem b\u00e1sicos, chegamos em uma express\u00e3o fechada para esse tipo de situa\u00e7\u00e3o. Sinceramente, achei que ia dar mais trabalho, principalmente porque imaginava que teria de somar duas ra\u00edzes, expandir a express\u00e3o at\u00e9 que ela come\u00e7asse a se anular, mas foi bem mais simples do que pensei :3<\/p>\n\n\n\n


SILVA, Emanuelly de Paula Dias da. No alto daquele cume.\u00a0In<\/em>: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS.\u00a0Zero \u2013 Blog de Ci\u00eancia da Unicamp<\/a>.\u00a0<\/strong>Volume 16. Ed. 1. 2\u00ba semestre de 2026<\/a>. Campinas, 24 de Agosto de 2026. Dispon\u00edvel em:\u00a0https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/6473\/<\/a>. Acesso em: <data-de-hoje>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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