{"id":6483,"date":"2026-09-07T15:22:27","date_gmt":"2026-09-07T18:22:27","guid":{"rendered":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/?p=6483"},"modified":"2026-09-07T15:25:22","modified_gmt":"2026-09-07T18:25:22","slug":"as-caixas-de-lagrange","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/6483\/","title":{"rendered":"As caixas de Lagrange"},"content":{"rendered":"\n

Lagrange \u00e9 uma jovem cientista que est\u00e1 preparando recipientes para seu experimento de pesquisa. Ela pretende estudar o efeito do uso de uma manta biol\u00f3gica para isolar o interior de uma embalagem. Devido \u00e0s propriedades biol\u00f3gicas da manta, uma mesma folha pode ser cortada e colada para revestir todo o interior de um recipiente; entretanto, a utiliza\u00e7\u00e3o de folhas diferentes gera uma incompatibilidade que compromete o isolamento. Assim, Lagrange est\u00e1 limitada a utilizar apenas uma folha por caixa e deseja determinar as dimens\u00f5es da caixa de maior volume poss\u00edvel que pode construir.<\/p>\n\n\n\n

Como a universidade \u00e9 um ambiente de contatos e ningu\u00e9m precisa ser especialista em todas as \u00e1reas, Lagrange, percebendo a dificuldade de sua tarefa, procurou sua amiga Emanuelly para saber se ela poderia ajud\u00e1-la a encontrar uma forma de determinar essas medidas. Ap\u00f3s entender a natureza do problema, Emanuelly come\u00e7ou a rascunhar, fazer desenhos e testar alguns c\u00e1lculos \u2014 afinal, ningu\u00e9m resolveria um problema desses de surpresa. Ela achou o problema divertido e, depois de muitas folhas gastas e alguns fios de cabelo arrancados, voltou com uma folha contendo sua resolu\u00e7\u00e3o, agora mais organizada.<\/p>\n\n\n\n

Pra come\u00e7ar, temos tr\u00eas vari\u00e1veis no problema: comprimento (x), largura (y), altura (h).<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Queremos maximizar o volume: f(x, y, h) = x.y.h.<\/p>\n\n\n\n

Por\u00e9m, temos como restri\u00e7\u00e3o, cobrir com uma folha de manta todo seu interior, ou seja: g(x, y, h) = x.y + 2.x.h + 2.y.h \u2264 A (\u00e1rea da folha de manta). Pensando que estamos procurando o maior volume, podemos assumir que nessa situa\u00e7\u00e3o, n\u00e3o deve sobrar nada da folha de manta, ou seja: g(x, y, h) = x.y + 2.x.h + 2.y.h = A.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Logo, precisamos maximizar a fun\u00e7\u00e3o f(x, y, h) com a fun\u00e7\u00e3o g(x, y, h) como restri\u00e7\u00e3o.<\/p>\n\n\n\n

f(x, y, h) ter\u00e1 seu maior crescimento na dire\u00e7\u00e3o do seu vetor gradiente, ou seja, \u2207f(x, y, h) = (y.h, x.h, x.y).<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

Enquanto a restri\u00e7\u00e3o g(x, y, h) ter\u00e1 seu maior crescimento na dire\u00e7\u00e3o do seu vetor gradiente, ou seja, \u2207g(x, y, h) = (y + 2.h, x + 2.h, 2.x + 2.y).<\/p>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

O maior crescimento ent\u00e3o deve ocorrer quando ambas as fun\u00e7\u00f5es estiverem na dire\u00e7\u00e3o de seu maior crescimento, em outras palavras, quando os vetores de crescimento de ambas forem paralelas. Isso significa que ambos os vetores s\u00e3o iguais, a menos de um n\u00famero Real diferente de 0 multiplicado por um deles.<\/p>\n\n\n\n

\u2207f(x, y, h) = \u03bb.\u2207g(x, y, h)
e
g(x, y, h) = A<\/p>\n\n\n\n

(y.h, x.h, x.y) = \u03bb.(y + 2.h, x + 2.h, 2.x + 2.y)
e
x.y + 2.x.h + 2.y.h = A<\/p>\n\n\n\n

Reescrevendo isso como um sistema de 4 equa\u00e7\u00f5es e 4 inc\u00f3gnitas, temos:<\/p>\n\n\n\n

y.h = \u03bb.(y + 2.h)
x.h = \u03bb.(x + 2.h)
x.y = \u03bb.(2.x + 2.y)
x.y + 2.x.h + 2.y.h = A<\/p>\n\n\n\n

Das duas primeiras equa\u00e7\u00f5es, chegamos que x = y.
Da terceira equa\u00e7\u00e3o, temos: \u03bb = x\/4.
Substituindo esse valor na primeira equa\u00e7\u00e3o, temos: x = 2.h.<\/p>\n\n\n\n

Logo, o volume m\u00e1ximo da caixa ocorre quando a largura \u00e9 igual ao comprimento, e a largura \u00e9 o dobro da altura.<\/p>\n\n\n\n

Reescrevendo a 4a equa\u00e7\u00e3o em fun\u00e7\u00e3o de h, temos ent\u00e3o a medida da altura da caixa.<\/p>\n\n\n\n

(2.h).(2.h) + 2.(2.h).h + 2.(2.h).h = A
4.h\u00b2 + 4.h\u00b2 + 4.h\u00b2 = A
12.h\u00b2 = A
h\u00b2 = A\/12
h = \u221a(A\/12) = \u221a(3.A)\/6<\/p>\n\n\n\n

Ent\u00e3o, x = y = \u221a(3.A)\/3<\/p>\n\n\n\n

Lagrange ent\u00e3o agradeceu a explica\u00e7\u00e3o (embora tenha entendido menos de 30% dela), e come\u00e7ou seu projeto, tomando as medidas da folha de manta, para seu trabalho. Mas depois de muito esfor\u00e7o, ficou faltando um pouquinho de manta para isolar totalmente o interior de sua caixinha. Ela n\u00e3o entende, se fez tudo certo, porque ficou faltando? Ent\u00e3o logo decide culpar sua amiga, pedindo que ela revise os c\u00e1lculos, por ter algo errado. Mas Emanuelly pergunta se ela chegou a considerar uma margem de erro na hora de construir a caixa? Lagrange diz que n\u00e3o, que fez nas medidas exatas que ela deu. Mas Emanuelly ap\u00f3s um longo suspiro, diz que por mais que tomemos as medidas exatas, na hora de construir algo, h\u00e1 sempre um desvio, pelo pr\u00f3prio instrumento de medida ser limitado a alguma precis\u00e3o… <\/p>\n\n\n\n

Por fim, sua primeira caixinha (fracassada) virou um lindo vazinho que Lagrange deu de presente pra Emanuelly, com um enxerto de jib\u00f3ia que ela tinha em casa.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

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