{"id":6492,"date":"2026-09-19T16:21:45","date_gmt":"2026-09-19T19:21:45","guid":{"rendered":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/?p=6492"},"modified":"2026-09-19T16:21:47","modified_gmt":"2026-09-19T19:21:47","slug":"a-incrivel-equacao-biquadrada","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/6492\/","title":{"rendered":"A incr\u00edvel equa\u00e7\u00e3o Biquadrada"},"content":{"rendered":"\n

No filme Os Incr\u00edveis (2004), o Sr. Incr\u00edvel enfrenta o Omnidroid, um rob\u00f4 criado para eliminar super-her\u00f3is. Logo no in\u00edcio do combate, o Sr. Incr\u00edvel faz um salto por cima do rob\u00f4, que rapidamente calcula sua trajet\u00f3ria com base sua posi\u00e7\u00e3o, na posi\u00e7\u00e3o do Sr. Incr\u00edvel e outros fatores que aparecem na tela como sendo a vis\u00e3o da m\u00e1quina diante aquele momento.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Ent\u00e3o, antes que o salto terminasse, o rob\u00f4 determina quando ele estar\u00e1 no alcance de seus bra\u00e7os mec\u00e2nicos, para ating\u00ed-lo em pleno ar.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Vamos assumir por conveni\u00eancia (e tamb\u00e9m com base na cena extra\u00edda da anima\u00e7\u00e3o) que a trajet\u00f3ria do salto do Sr. Incr\u00edvel seja uma par\u00e1bola e o alcance do rob\u00f4 seja uma circunfer\u00eancia cujo centro est\u00e1 no mesmo eixo de simetria da par\u00e1bola, para x e y os eixos horizontal e vertical do plano cartesiano.<\/p>\n\n\n\n

Salto do Sr. Incr\u00edvel:<\/strong> y = a.x\u00b2 + b.x + c, onde a, b e c s\u00e3o n\u00fameros Reais, e a diferente de 0.
Alcance do rob\u00f4:<\/strong> x\u00b2 + y\u00b2 = r\u00b2, onde r \u00e9 o raio da circunfer\u00eancia.<\/p>\n\n\n\n

No Alcance do rob\u00f4, podemos ignorar a semi-circunfer\u00eancia inferior, uma vez que o salto se d\u00e1 por cima dele, ent\u00e3o, se isolarmos o y, teremos:<\/p>\n\n\n\n

Salto do Sr. Incr\u00edvel:<\/strong> y = a.x\u00b2 + b.x + c
Alcance do rob\u00f4:<\/strong> y = \u221a(r\u00b2 – x\u00b2)<\/p>\n\n\n\n

Igualando as duas express\u00f5es em fun\u00e7\u00e3o de y, ficamos com:<\/p>\n\n\n\n

a.x\u00b2 + b.x + c = \u221a(r\u00b2 – x\u00b2)<\/p>\n\n\n\n

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminarmos esta ra\u00edz quadrada, temos:<\/p>\n\n\n\n

(a.x\u00b2 + b.x + c)\u00b2 = r\u00b2 – x\u00b2<\/p>\n\n\n\n

a\u00b2.x\u2074 + 2.a.b.x\u00b3 + (b\u00b2 + 2.a.c + 1).x\u00b2 + 2.b.c.x + (c\u00b2 – r\u00b2) = 0<\/p>\n\n\n\n

Como escolhemos o centro do plano cartesiano na posi\u00e7\u00e3o do rob\u00f4, e temos por defini\u00e7\u00e3o que o eixo de simetria da par\u00e1bola passa pelo centro da circunfer\u00eancia, ent\u00e3o, b tem que ser igual a 0, logo:<\/p>\n\n\n\n

a\u00b2.x\u2074 + (2.a.c + 1).x\u00b2 + (c\u00b2 – r\u00b2) = 0<\/p>\n\n\n\n

Veja que legal, encontramos uma situa\u00e7\u00e3o real em que chegamos numa equa\u00e7\u00e3o polinomial de grau 4 (se eu ganhasse uma moeda cada vez que algo assim acontece, hoje eu teria duas moedas, eu sei que n\u00e3o \u00e9 muito, mas \u00e9 estranho que algo assim tenha acontecido uma outra vez).<\/p>\n\n\n\n

Mas e ai? O que fazer? Se no Ensino M\u00e9dio j\u00e1 sofremos para resolver equa\u00e7\u00f5es de 2o grau, e s\u00f3 vemos que existem equa\u00e7\u00f5es de 3o grau, mas nunca nem chegamos perto de resolv\u00ea-las (n\u00e3o \u00e9 nada saud\u00e1vel tentar isso…), o que dizer de uma equa\u00e7\u00e3o de 4o grau? <\/p>\n\n\n\n

De forma geral, eu recomendo dist\u00e2ncia… por\u00e9m, h\u00e1 uma exce\u00e7\u00e3o para esse g\u00eanero de equa\u00e7\u00f5es, que realmente vale a pena conversarmos aqui… as equa\u00e7\u00f5es biquadradas.<\/p>\n\n\n\n

Observe novamente a equa\u00e7\u00e3o que encontramos:<\/p>\n\n\n\n

a\u00b2.x\u2074 + (2.a.c + 1).x\u00b2 + (c\u00b2 – r\u00b2) = 0<\/p>\n\n\n\n

Ela n\u00e3o parece t\u00e3o feinha n\u00e3o… talvez se eu der um nome para x\u00b2 ela fique um pouco mais agrad\u00e1vel… digamos ent\u00e3o que k = x\u00b2.<\/p>\n\n\n\n

a\u00b2.k\u00b2 + (2.a.c + 1).k + (c\u00b2 – r\u00b2) = 0<\/p>\n\n\n\n

Uia… isso agora tem a apar\u00eancia de uma equa\u00e7\u00e3o de 2o grau. Basta tomarmos os coeficientes que acompanham a inc\u00f3gnita e montarmos nossa f\u00f3rmula de resolver esse tipo de equa\u00e7\u00e3o. Isso deve gerar at\u00e9 duas solu\u00e7\u00f5es, k1 e k2.<\/p>\n\n\n\n

Mas h\u00e1 um detalhe, nem k1 e nem k2, s\u00e3o realmente solu\u00e7\u00f5es do nosso problema. Pois na verdade, chamamos x\u00b2 de k, logo, de k1 encontramos duas solu\u00e7\u00f5es para x, como \u221ak1 e -\u221ak1. Por outro lado, de k2 tamb\u00e9m encontramos duas solu\u00e7\u00f5es para x, como \u221ak2 e -\u221ak2.<\/p>\n\n\n\n

Essas s\u00e3o as poss\u00edveis 4 situa\u00e7\u00f5es em que a par\u00e1bola, cruza a circunfer\u00eancia.<\/p>\n\n\n\n

Mas por que isso funciona?<\/p>\n\n\n\n

No caso, resolver equa\u00e7\u00f5es de 4o grau n\u00e3o s\u00e3o t\u00e3o simples, a situa\u00e7\u00e3o das biquadradas saem dessa forma “t\u00e3o f\u00e1cil”, pois estamos considerando que o eixo de simetria da par\u00e1bola est\u00e1 alinhado ao centro da circunfer\u00eancia. Assim, em vez de considerarmos a par\u00e1bola inteira, podemos considerar somente uma das suas metades, que a solu\u00e7\u00e3o completa se dar\u00e1 por simetria.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Assim, temos 1\/4 da circunfer\u00eancia cruzando metade da par\u00e1bola. Isso \u00e9 um problema com at\u00e9 duas solu\u00e7\u00f5es, e por isso conseguimos modelar como uma equa\u00e7\u00e3o de 2o grau :3<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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