{"id":6502,"date":"2026-09-20T21:32:21","date_gmt":"2026-09-21T00:32:21","guid":{"rendered":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/?p=6502"},"modified":"2026-09-20T21:33:44","modified_gmt":"2026-09-21T00:33:44","slug":"jenga-de-riemann","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/6502\/","title":{"rendered":"Jenga de Riemann?"},"content":{"rendered":"\n

Essa semana eu estava pensando em como trabalharei Somas de Riemann com meus alunos de C\u00e1lculo II. Semestre passado eu usei a ideia de calcular o volume de uma folha fina de papel, um objeto que individualmente tem volume irris\u00f3rio, pois uma das suas 3 dimens\u00f5es \u00e9 t\u00e3o pequena que fica dif\u00edcil at\u00e9 de medir com instrumentos convencionais. Por\u00e9m no momento que empilhamos uma quantidade suficiente dessas folhas (e assumimos que n\u00e3o h\u00e1 deforma\u00e7\u00e3o devido a compacta\u00e7\u00e3o das folhas), podemos mensurar a altura da pilha, e dividir pela quantidade de folhas que a comp\u00f5e (tenho inclusive um texto que fala exatamente sobre isso, Calculando o volume deste paralelep\u00edpedo<\/strong><\/a>). Por\u00e9m senti que essa proposta ficou meio m\u00e9h… os alunos n\u00e3o falaram nada, talvez devido a uma concep\u00e7\u00e3o antiga de obedi\u00eancia e aceita\u00e7\u00e3o por receio de criar uma situa\u00e7\u00e3o de inimizade (principalmente no Ensino Superior onde n\u00e3o h\u00e1 muitos mecanismos de controle e modera\u00e7\u00e3o para as a\u00e7\u00f5es dos docentes), por\u00e9m eu senti que n\u00e3o ficou divertida o suficiente. Da\u00ed estava pensando no que fazer, e seria legal talvez montar algumas superf\u00edcies, o problema \u00e9 a necessidade de pecinhas similares, na forma de paralelep\u00edpedos que possam ser empilhadas… Dai lembrei do Jenga que comprei pra minha filha (ela ainda n\u00e3o sabe jogar, s\u00f3 gosta de empilhar e derrubar as pe\u00e7as).<\/p>\n\n\n\n

A Soma de Riemann costuma ser a primeira forma de integra\u00e7\u00e3o que nos \u00e9 apresentada, ela \u00e9 bastante fraca, porque requer muitas condi\u00e7\u00f5es para seu uso (tenho inclusive um texto onde h\u00e1 um meme zoando essa forma de integra\u00e7\u00e3o, Divulga\u00e7\u00e3o Cient\u00edfica de Teoria da Medida<\/strong><\/a>). Mas a Soma de Riemann \u00e9 bonitinha, e f\u00e1cil de entender. Para uma vari\u00e1vel, sua ideia \u00e9 que se temos uma curva cont\u00ednua, por exemplo uma par\u00e1bola.<\/p>\n\n\n\n

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Podemos dividir seu dom\u00ednio em intervalos de mesmos tamanhos.<\/p>\n\n\n\n

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Ent\u00e3o, medindo a altura da curva em uma posi\u00e7\u00e3o espec\u00edfica de cada intervalo, por exemplo, na posi\u00e7\u00e3o mais \u00e0 esquerda do intervalo, seremos capazes de calcular a \u00e1rea de um conjunto de ret\u00e2ngulos que aproximam a \u00e1rea da nossa curva.<\/p>\n\n\n\n

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Embora essa seja uma aproxima\u00e7\u00e3o ruinzinha, d\u00e1 para entender que se aumentarmos a quantidade de intervalos, estaremos mais pr\u00f3ximos da \u00e1rea exata abaixo da curva.<\/p>\n\n\n\n

Mas o que muda em C\u00e1lculo II? Em vez de responder, vou mostrar uma fotim que tirei hoje (gosto de falar fotim em vez de fotinho, acho mais fofo, assm, como cafezim em vez de cafezinho…).<\/p>\n\n\n\n

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Embora possa se parecer com uma curva, nossa experi\u00eancia enxergando em perspectiva nos diz algo diferente. H\u00e1 uma profundidade nessa imagem. Ou seja, o ideal n\u00e3o seria que ela representasse a \u00e1rea abaixo de uma curva, e sim o volume abaixo de uma superf\u00edcie.<\/p>\n\n\n\n

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Ou seja, n\u00e3o temos mais uma reta como Dom\u00ednio, e sim o plano cartesiano, assim em vez de intervalos Reais, teremos intervalos de \u00e1rea (a base de cada pecinha de jenga). Contudo, continuaremos tendo a altura de cada \u00c1rea, e isso resulta na medida de seu volume. Logo, a soma de todos os volumes resulta na aproxima\u00e7\u00e3o para o volume abaixo da superf\u00edcie.<\/p>\n\n\n\n

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No exemplo acima, a \u00e1rea de cada regi\u00e3o do dom\u00ednio \u00e9 dada por (x2 – x1)*(y2 – y1)*f(x1, y1), onde f(x, y) seria a fun\u00e7\u00e3o que representa esta superf\u00edcie.<\/p>\n\n\n\n

Naturalmente, quando aumentarmos a quantidade de regi\u00f5es de \u00c1reas do Dom\u00ednio, aproximaremos com mais precis\u00e3o o volume real abaixo da superf\u00edcie, daquele formado por paralelep\u00edpedos (precisei escrever essa palavra pausadamente…). O mais legal disso tudo, \u00e9 que o conceito segue exatamente o mesmo, isto \u00e9, se voc\u00ea entendeu bem o que era Soma de Riemann para 1 vari\u00e1vel, agora basta dar uma inchadinha nos seus intervalos, transformando-os de segmentos de reta, para ret\u00e2ngulos. Se te faltar um pouco de sanidade, voc\u00ea pode por exemplo, querer calcular o volume de um peda\u00e7o de bolo, colando-o sob uma malha quadriculada e cortando-o em alturas definidas para cada regi\u00e3ozinha dessa malha. Teremos v\u00e1rios blocos de bolo, cada um cujo volume \u00e9 dado por \u00e1rea da base vezes altura, e somados teremos uma aproxima\u00e7\u00e3o razo\u00e1vel pro seu volume total… depois voc\u00ea tenta explicar pras pessoas porque fez uma atrocidade dessa com o pobre bolinho…<\/p>\n\n\n\n

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