{"id":6518,"date":"2026-10-04T23:02:44","date_gmt":"2026-10-05T02:02:44","guid":{"rendered":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/?p=6518"},"modified":"2026-10-05T07:28:04","modified_gmt":"2026-10-05T10:28:04","slug":"o-poco-e-o-pendulo","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/6518\/","title":{"rendered":"O Po\u00e7o e o P\u00eandulo"},"content":{"rendered":"\n

O Po\u00e7o e o P\u00eandulo \u00e9 um dos mais famosos contos de terror de Edgar Allan Poe (1842). Sem querer dar spoilers (embora o final j\u00e1 seja conhecido a 184 anos), o drama envolve um prisioneiro da Inquisi\u00e7\u00e3o Espanhola (eu n\u00e3o esperava um dia escrever sobre a Inquisi\u00e7\u00e3o Espanhola… Nobody expects the Spanish Inquisition!<\/em>).<\/strong> Que encontra-se preso de barriga para cima, e um enorme p\u00eandulo com uma l\u00e2mina afiada que come\u00e7a a descer lentamente, balan\u00e7ando em um arco calculado para cortar seu peito aos poucos (prov\u00e1vel que voc\u00ea j\u00e1 tenha visto esta armadilha em outras hist\u00f3rias, mas acho que sua fama se deve principalmente a esse conto).<\/p>\n\n\n\n

\"\"
Cena do filme O Po\u00e7o e o P\u00eandulo (1961)<\/strong> obtida em https:\/\/bocadoinferno.com.br\/criticas\/2021\/02\/o-poco-e-o-pendulo-1961<\/a><\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Agora imagine que voc\u00ea foi contratado por um certo grupo de Inquisidores para projetar a l\u00e2mina desse p\u00eandulo. Eles determinaram que a l\u00e2mina deve ter a forma de um semi-c\u00edrculo com 2 metros de raio, e a l\u00e2mina deve ser mais grossa de forma proporcional a sua altura.<\/p>\n\n\n\n

Voc\u00ea come\u00e7ou o projeto rascunhando essa l\u00e2mina como um semi-c\u00edrculo inferior, com raio de 2 metros, e considerando seu centro na origem do plano cartesiano.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Agora para atender a sua densidade superficial, voc\u00ea precisou pesquisar no setor que produz l\u00e2minas conveniado com a Inquisi\u00e7\u00e3o, quais densidades de metal eles trabalham, e te explicaram que a varia\u00e7\u00e3o dispon\u00edvel ia de 2 kg\/m\u00b2 a 4 kg\/m\u00b2. Assim, como seus contratantes disseram que “a l\u00e2mina deve ser mais grossa de forma proporcional a sua altura”<\/strong>, isso significa que sua densidade aumenta a medida que sua altura diminui. O termo proporcional indica para voc\u00ea que esse aumento \u00e9 linear, e como estamos considerando o semi-c\u00edrculo inferior, ent\u00e3o teremos altura negativa, logo, uma fun\u00e7\u00e3o linear para a densidade que vai de 2 kg\/m\u00b2 a 4 kg\/m\u00b2 pode ser descrita como: (2 – y) kg\/m\u00b2.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

O \u00faltimo passo para encerrar o projeto, \u00e9 determinar o peso da l\u00e2mina, para ent\u00e3o pedir fazer o or\u00e7amento e ver se a Inquisi\u00e7\u00e3o concorda com o valor.<\/p>\n\n\n\n

Para calcular sua massa, basta integrarmos a fun\u00e7\u00e3o densidade no dom\u00ednio da l\u00e2mina. Assim, seja o dom\u00ednio de integra\u00e7\u00e3o dado por: D = {x\u00b2 + y\u00b2 \u2264 4, e y \u2264 0}. Sua massa ser\u00e1 dada por: \u222c_D (2 – y).dA. Se isolarmos o y do dom\u00ednio, fica: y = – \u221a(4 – x\u00b2), pois estamos considerando o semi-c\u00edrculo inferior. Como o x varia entre -2 e 2, temos: -2 \u2264 x \u2264 2, enquanto y est\u00e1 restrito \u00e0: – \u221a(4 – x\u00b2) \u2264 y \u2264 0. Logo nossa integral fica:<\/p>\n\n\n\n

\u222b_(-2)_<\/em>(2) \u222b_(- \u221a(4 – x\u00b2))_<\/em>(0) (2 – y).dy.dx<\/p>\n\n\n\n

\u222b_(-2)_(2) [ (2.y – y\u00b2\/2) |_(-\u221a(4 – x\u00b2))_(0) ] dx<\/p>\n\n\n\n

\u222b_(-2)_(2) (2.\u221a(4 – x\u00b2) + (4 – x\u00b2)\/2).dx<\/p>\n\n\n\n

Para resolver a parte da ra\u00edz, voc\u00ea precisou fazer uma substitui\u00e7\u00e3o trigonom\u00e9trica, de x = 2.sen(\u03b8), enquanto a parte quadr\u00e1tica, deu pra calcular normalmente, chegando que a massa do p\u00eandulo ser\u00e1: (4.\u03c0 + 16\/3) kg, ou aproximadamente 17,9 kg.<\/p>\n\n\n\n

Ao apresentar o resultado, os Inquisidores acharam bastante complicado e come\u00e7aram a suspeitar se voc\u00ea n\u00e3o estava manipulando alguns dados de prop\u00f3sito para engan\u00e1-los, e te “incentivaram” a pensar em uma explica\u00e7\u00e3o menos complicada. Com essa “motiva\u00e7\u00e3o” adicional, voc\u00ea logo percebeu que a substitui\u00e7\u00e3o trigonom\u00e9trica que voc\u00ea fez para a ra\u00edz quadrada, poderia ter sido feita desde o come\u00e7o.<\/p>\n\n\n\n

Se chamarmos a vari\u00e1vel x de r.cos(\u03b8) e y de r.sen(\u03b8), isso tamb\u00e9m deve afetar nossa unidade de \u00e1rea, que deixar\u00e1 de ser pequenos ret\u00e2ngulos dx.dy, e passar\u00e1 a ser pequenas fatias de pizza r.dr.d\u03b8, onde r \u00e9 a medida do raio da circunfer\u00eancia e \u03b8 o \u00e2ngulo de sua abertura. Agora, a mesma regi\u00e3o que antes descrevemos com a ajuda de ra\u00edz quadrada, dessa vez ficar\u00e1 como: 0 \u2264 r \u2264 2, e \u03c0 \u2264 \u03b8 \u2264 2.\u03c0. Por fim, voc\u00ea ainda tem que ajustar nossa fun\u00e7\u00e3o de densidade para as coordenadas polares, se y = r.sen(\u03b8), ent\u00e3o 2 – y ficar\u00e1 2 – r.sen(\u03b8).<\/p>\n\n\n\n

Com isso, chegamos em uma integral dupla, apenas com fatores polinomiais:<\/p>\n\n\n\n

\u222b_(\u03c0)_(2.\u03c0) \u222b_(0)_(2) (2 – sen(\u03b8)).r.dr.d\u03b8<\/p>\n\n\n\n

\u222b_(\u03c0)_(2.\u03c0) \u222b_(0)_(2) (2.r – r\u00b2.sen(\u03b8)).dr.d\u03b8<\/p>\n\n\n\n

Integrar em fun\u00e7\u00e3o de r, \u00e9 simples, j\u00e1 que nesse contexto ele \u00e9 um polin\u00f4mio.<\/p>\n\n\n\n

\u222b_(\u03c0)_(2.\u03c0) (4 – 8.sen(\u03b8)\/3).d\u03b8<\/p>\n\n\n\n

Integrar em fun\u00e7\u00e3o de \u03b8 aqui tamb\u00e9m \u00e9 f\u00e1cil, j\u00e1 que s\u00f3 temos constantes e uma fun\u00e7\u00e3o seno. O resultado dessa express\u00e3o, \u00e9 novamente (4\u03c0 + 16\/3) kg ou aproximadamente 17,9 kg.<\/p>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

Dessa forma o comportamento curvil\u00edneo da circunfer\u00eancia se ajustou nessas novas coordenadas como um comportamento polinomial limpo. Da outra forma, a ra\u00edz quadrada nos perseguia e n\u00e3o deixava escaparmos, tendo at\u00e9 no fim, que fazer uma mudancinha de coordenadas trigonom\u00e9tricas pra um seno, sen\u00e3o aquilo ficaria at\u00e9 agora sem solu\u00e7\u00e3o. <\/p>\n\n\n\n

Voc\u00ea apresentou com felicidade o resultado, mas os Inquisidores por outro lado acharam que voc\u00ea resolveu de forma muito f\u00e1cil pra ser algo de “boa proced\u00eancia” e ent\u00e3o te deram uma \u00faltima chance… <\/p>\n\n\n\n

Desesperado, voc\u00ea ent\u00e3o colocou v\u00e1rios c\u00e1lculos in\u00fateis e redundantes (que n\u00e3o contribu\u00edam em nada com a resolu\u00e7\u00e3o, mas eram f\u00e1ceis de entender). Ent\u00e3o, quando eles voltaram, zangados com seu comportamento, viram a nova resolu\u00e7\u00e3o e ficaram encantados, pois dessa vez entendiam a maior parte do que voc\u00ea havia escrito (embora n\u00e3o tivesse relev\u00e2ncia real ao problema), e felizes apontavam para procedimentos de c\u00e1lculos que conheciam, e conferiam com zelo se o resultado dessas partes era correto. Deixando as partes que n\u00e3o entendiam (que comparativamente eram m\u00ednimas) para que voc\u00ea, o especialista conferisse. Ent\u00e3o aprovaram o or\u00e7amento e voc\u00ea enfim pode respirar aliviado.<\/p>\n\n\n\n

O curioso desse problema de integra\u00e7\u00e3o, \u00e9 que a fun\u00e7\u00e3o densidade era bastante simples (2 – y), mas se ela fosse um pouquinho mais complicada, querer resolv\u00ea-la por coordenadas cartesianas sendo seu dom\u00ednio uma circunfer\u00eancia, seria extremamente trabalhoso (e insalubre). Uma analogia simples, \u00e9 que nem jogar SuperSmashBross de Nintendo 64 usando um joystick de volante como controle, os movimentos de luta do seu personagem dependeriam de a\u00e7\u00f5es como mudar a marcha, apertar o acelerador, freio e girar o volante… sim, esse foi um exemplo bem espec\u00edfico, mas que ilustra o fato de alguns comandos\/dom\u00ednios e fun\u00e7\u00f5es se ajustarem melhor a determinadas jogabilidade\/sistemas de coordenadas do que outros.<\/p>\n\n\n\n

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