{"id":981,"date":"2019-12-28T16:50:30","date_gmt":"2019-12-28T19:50:30","guid":{"rendered":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/?p=981"},"modified":"2026-11-08T06:42:26","modified_gmt":"2026-11-08T09:42:26","slug":"paradoxo-do-aniversario-alienigena","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/981\/","title":{"rendered":"Paradoxo do Anivers\u00e1rio Alien\u00edgena"},"content":{"rendered":"\t\t
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Sabia que, se 23 pessoas forem escolhidas aleatoriamente, a chance de pelo menos duas delas terem a mesma data de anivers\u00e1rio \u00e9 maior do que 50%?<\/p>\n

Esse \u00e9 um resultado muito famoso na Matem\u00e1tica, conhecido como Paradoxo do Aniversariante. Entretanto, sua explica\u00e7\u00e3o, apesar de utilizar conceitos simples de probabilidade, n\u00e3o \u00e9 t\u00e3o intuitiva. J\u00e1 tentei explicar esse resultado para v\u00e1rios colegas da Matem\u00e1tica e acho que at\u00e9 hoje alguns deles n\u00e3o entenderam por que isso acontece.<\/p>\n

A primeira vez que esse paradoxo \u00e9 apresentado, imaginamos que, para termos uma chance maior do que 50% de duas ou mais pessoas fazerem anivers\u00e1rio no mesmo dia, precisaremos de pelo menos 183 pessoas. Entretanto, essa \u00e9 uma ideia bastante equivocada. Faremos um passo a passo para entender por que, com apenas 23 pessoas, j\u00e1 \u00e9 poss\u00edvel chegar a essa probabilidade.<\/p>\n

Caso 0:<\/b> Escolhemos apenas uma pessoa. A chance de duas ou mais pessoas fazerem anivers\u00e1rio na mesma data \u00e9 de 0%, pois s\u00f3 existe uma pessoa.<\/p>\n

Caso 1:<\/b> Somamos uma pessoa ao Caso 0. Agora, temos uma data de anivers\u00e1rio j\u00e1 ocupada. A chance de essa nova pessoa n\u00e3o fazer anivers\u00e1rio no mesmo dia que a anterior \u00e9 de 364\/365.<\/p>\n

Caso 2:<\/b> Somamos uma pessoa ao Caso 1. Agora, temos duas datas de anivers\u00e1rio j\u00e1 ocupadas, desde que as duas pessoas anteriores tenham anivers\u00e1rios diferentes. A chance de essa nova pessoa n\u00e3o fazer anivers\u00e1rio no mesmo dia que nenhuma das anteriores \u00e9 de 363\/365.<\/p>\n

Caso 3:<\/b> Somamos uma pessoa ao Caso 2. Agora, temos tr\u00eas datas de anivers\u00e1rio j\u00e1 ocupadas, desde que as tr\u00eas pessoas anteriores tenham anivers\u00e1rios diferentes. A chance de essa nova pessoa n\u00e3o fazer anivers\u00e1rio no mesmo dia que nenhuma das anteriores \u00e9 de 362\/365.<\/p>\n

Caso 4:<\/b> Somamos uma pessoa ao Caso 3. Agora, temos quatro datas de anivers\u00e1rio j\u00e1 ocupadas, desde que as quatro pessoas anteriores tenham anivers\u00e1rios diferentes. A chance de essa nova pessoa n\u00e3o fazer anivers\u00e1rio no mesmo dia que nenhuma das anteriores \u00e9 de 361\/365.<\/p>\n

Observe que o resultado do Caso 2 depende da aus\u00eancia de coincid\u00eancias no Caso 1. Da mesma forma, o resultado do Caso 3 depende da aus\u00eancia de coincid\u00eancias no Caso 2, que depende da aus\u00eancia de coincid\u00eancias no Caso 1.<\/p>\n

Analogamente, o resultado do Caso 4 depende da aus\u00eancia de coincid\u00eancias no Caso 3, que depende da aus\u00eancia de coincid\u00eancias no Caso 2, que depende da aus\u00eancia de coincid\u00eancias no Caso 1.<\/p>\n

Ent\u00e3o, para que cheguemos ao contexto do Caso N, precisamos que os N casos anteriores tenham obtido resultados sem coincid\u00eancias.<\/p>\n

Fazendo as contas, temos que:<\/p>\n

Caso 1:<\/b> (364\/365) = 99,7%<\/p>\n

Caso 2:<\/b> (364\/365) \u00b7 (363\/365) = 99,1%<\/p>\n

Caso 3:<\/b> (364\/365) \u00b7 (363\/365) \u00b7 (362\/365) = 98,3%<\/p>\n

Caso 4:<\/b> (364\/365) \u00b7 (363\/365) \u00b7 (362\/365) \u00b7 (361\/365) = 97,2%<\/p>\n

\u2026<\/p>\n

Caso 22:<\/b> (364\/365) \u00b7 (363\/365) \u00b7 … \u00b7 (345\/365) \u00b7 (344\/365) = 49,2%<\/p>\n

Dessa forma, chegamos ao resultado de que, com apenas 23 pessoas, a chance de que nenhuma delas fa\u00e7a anivers\u00e1rio na mesma data que outra \u00e9 de aproximadamente 49,2%. Invertendo a proposi\u00e7\u00e3o, a chance de que duas ou mais pessoas fa\u00e7am anivers\u00e1rio na mesma data \u00e9 de aproximadamente 50,8%.<\/p>\n

O resultado \u00e9 interessante, por\u00e9m j\u00e1 existem muitos livros, blogs e outros canais falando sobre esse mesmo conceito e mostrando esses c\u00e1lculos. Por isso, faremos algo mais divertido: calcularemos, para cada um dos outros sete planetas do nosso Sistema Solar, quantos extraterrestres precisamos escolher aleatoriamente para que a chance de dois deles fazerem anivers\u00e1rio na mesma data, considerando um calend\u00e1rio planet\u00e1rio, seja maior do que 50%.<\/p>\n

Para isso, consideraremos que cada planeta possui um calend\u00e1rio com um n\u00famero de datas igual ao n\u00famero de dias de seu ano. Como os per\u00edodos de rota\u00e7\u00e3o e transla\u00e7\u00e3o dos planetas s\u00e3o diferentes, precisaremos determinar quantos dias existem em cada ano planet\u00e1rio.<\/p>\n

MERC\u00daRIO:<\/b> O per\u00edodo de transla\u00e7\u00e3o de Merc\u00fario ao redor do Sol \u00e9 de aproximadamente 88 dias terrestres, enquanto seu per\u00edodo de rota\u00e7\u00e3o sideral \u00e9 de aproximadamente 58,6 dias terrestres. Isso significa que o planeta completa cerca de 1,5 rota\u00e7\u00f5es siderais durante uma transla\u00e7\u00e3o. Entretanto, o ano mercuriano continua sendo uma refer\u00eancia para a defini\u00e7\u00e3o de anivers\u00e1rios: cada extraterrestre pode comemorar seu anivers\u00e1rio a cada revolu\u00e7\u00e3o completa do planeta ao redor do Sol.<\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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V\u00caNUS:<\/b> O per\u00edodo de transla\u00e7\u00e3o de V\u00eanus ao redor do Sol \u00e9 de aproximadamente 225 dias terrestres, enquanto sua rota\u00e7\u00e3o sideral, que ocorre em sentido retr\u00f3grado, dura aproximadamente 243 dias terrestres. Apesar de sua rota\u00e7\u00e3o ser mais lenta que sua transla\u00e7\u00e3o, os venusianos podem comemorar anivers\u00e1rios a cada ano venusiano.<\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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MARTE:<\/b>O per\u00edodo de transla\u00e7\u00e3o de Marte ao redor do Sol \u00e9 de aproximadamente 687 dias terrestres, enquanto sua rota\u00e7\u00e3o sideral dura aproximadamente 24,6 horas terrestres. Assim, um ano marciano corresponde a aproximadamente 687 dias marcianos. Portanto, existem muitas datas poss\u00edveis para os anivers\u00e1rios dos marcianos.<\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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J\u00daPITER:<\/b> O per\u00edodo de transla\u00e7\u00e3o de J\u00fapiter ao redor do Sol \u00e9 de aproximadamente 4.333 dias terrestres, enquanto sua rota\u00e7\u00e3o sideral dura aproximadamente 9,9 horas terrestres. Isso corresponde a cerca de 10.500 rota\u00e7\u00f5es durante um ano jupiteriano. Considerando um calend\u00e1rio com aproximadamente 10.500 datas, descobrimos que, se reunirmos 121 jupiterianos aleatoriamente, existe uma probabilidade ligeiramente superior a 50% de pelo menos dois deles fazerem anivers\u00e1rio na mesma data.<\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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SATURNO:<\/b>O per\u00edodo de transla\u00e7\u00e3o de Saturno ao redor do Sol \u00e9 de aproximadamente 10.756 dias terrestres, enquanto sua rota\u00e7\u00e3o sideral dura aproximadamente 10,7 horas terrestres. Isso corresponde a cerca de 24.200 rota\u00e7\u00f5es durante um ano saturniano. Repetindo o c\u00e1lculo do paradoxo do anivers\u00e1rio, descobrimos que, se reunirmos 185 saturnianos aleatoriamente, existe uma probabilidade ligeiramente superior a 50% de pelo menos dois deles fazerem anivers\u00e1rio na mesma data.<\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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URANO:<\/b> O per\u00edodo de transla\u00e7\u00e3o de Urano ao redor do Sol \u00e9 de aproximadamente 30.687 dias terrestres, enquanto sua rota\u00e7\u00e3o sideral dura aproximadamente 17,2 horas terrestres. Isso corresponde a cerca de 42.800 rota\u00e7\u00f5es durante um ano uraniano. Repetindo o c\u00e1lculo do paradoxo do anivers\u00e1rio, descobrimos que, se reunirmos 245 uranianos aleatoriamente, existe uma probabilidade ligeiramente superior a 50% de pelo menos dois deles fazerem anivers\u00e1rio na mesma data.<\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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NETUNO:<\/b> O per\u00edodo de transla\u00e7\u00e3o de Netuno ao redor do Sol \u00e9 de aproximadamente 60.190 dias terrestres, enquanto sua rota\u00e7\u00e3o sideral dura aproximadamente 16,1 horas terrestres. Isso corresponde a cerca de 89.700 rota\u00e7\u00f5es durante um ano netuniano. Repetindo o c\u00e1lculo do paradoxo do anivers\u00e1rio, descobrimos que, se reunirmos 353 netunianos aleatoriamente, existe uma probabilidade ligeiramente superior a 50% de pelo menos dois deles fazerem anivers\u00e1rio na mesma data.<\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Quem escreve os posts?<\/a><\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

O paradigma do aniversariante \u00e9 um cl\u00e1ssico na probabilidade. Mas como podemos aplic\u00e1-lo aos outros planetas do sistema solar?<\/p>\n","protected":false},"author":434,"featured_media":984,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"colormag_page_container_layout":"default_layout","colormag_page_sidebar_layout":"default_layout","_monsterinsights_skip_tracking":false,"pgc_sgb_lightbox_settings":"","video_url":"","_vp_format_video_url":"","_vp_image_focal_point":[],"footnotes":""},"categories":[1208],"tags":[],"class_list":["post-981","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-v-2-ed-1"],"jetpack_featured_media_url":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-content\/uploads\/sites\/187\/2019\/12\/anivers\u00e1rio-2.png","_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/981","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/users\/434"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=981"}],"version-history":[{"count":21,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/981\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":6597,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/981\/revisions\/6597"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/media\/984"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=981"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=981"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.blogs.unicamp.br\/zero\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=981"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}