Dados não-transitivos
Se Ana é mais velha que Beatriz, que é mais velha que Carolina, então Ana é mais velha que Carolina.
Se Ana é mãe de Beatriz, que é mãe de Carolina, então Ana é mãe de Carolina.
A única diferença nas duas frases acima, são os trechos em negrito. Porque uma das frases faz sentido e a outra não?
A questão aqui, é que estas partes em negrito representam relações. No caso, ser mais velha que, e ser mãe de.
A maneira como as frases são colocadas, temos uma relação de transitividade, isto é, se Ana se relaciona com Beatriz, e Beatriz se relaciona com Carolina, então Ana se relaciona com Carolina.
Isto é verdade quando a respectiva relação admite a transitividade. Por exemplo, a relação ser mais velha que.
Assim, esta frase parece errada quando a respectiva relação não admite a transitividade, no caso, é uma relação não-transitiva. Por exemplo, a relação ser mãe de.
Agora vamos por um pouco as mãos na massa. Sua próxima tarefa é conseguir cartões de visita! Não precisam ser iguais, basta terem os mesmos tamanhos e uma das faces em branco. A ideia é construirmos cubinhos com estes cartões, para cada cubo precisamos de 8 cartões.
- Comece sobrepondo dois a dois os cartões, de modo a formarmos sinais de +.
- Então, dobre as beiradas de cada +, formando então 4 quadrados.
- Desdobre os 8 cartões, então forme sinais de + com dois pares.
- Dobre as beiradas destes 2 pares de + em sentidos inversos, de modo a ficarem permanentemente dobrados pelo encaixe das pontas.
- Encaixe as beiradas de outros 2 cartões dobrados nas frestas destes 2 pares permanentemente dobrados, de modo a uní-los em um cubo sem tampa nem base.
- Procure encaixar os 2 cartões restantes no cubo sem tampa nem base, de modo que as próprias dobras do cubo segurem os cartões, mantendo-o assim bem firme.
O passo seguinte, é dar valores para os cubos. Chamaremos de Dado A, um dado com os seguintes valores {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A chance de obtermos qualquer um destes valores é a mesma (ou pelo menos deveria ser, exceto por irregularidades no formato do dado). Dessa forma, seria uma probabilidade próxima de 16% para cada resultado ocorrer, ou pelo menos, esta é a probabilidade esperada, obtida de modo teórico. Já a probabilidade observada é aquela que obtemos a partir das observações. Podemos lançar uma quantidade de vezes os dados e ver quantas vezes cai cada um dos resultados. Em um experimento realizado com 10 lançamentos, obtivemos as seguintes ocorrências:
- 1 vezes (probabilidade observada 10%)
- 2 vezes (probabilidade observada 20%)
- 2 vezes (probabilidade observada 20%)
- 1 vezes (probabilidade observada 10%)
- 1 vezes (probabilidade observada 10%)
- 3 vezes (probabilidade observada 30%)
Em outro experimento realizado com 100 lançamentos, obtivemos as seguintes ocorrências:
- 16 vezes (probabilidade observada 16%)
- 22 vezes (probabilidade observada 22%)
- 16 vezes (probabilidade observada 16%)
- 18 vezes (probabilidade observada 18%)
- 14 vezes (probabilidade observada 14%)
- 14 vezes (probabilidade observada 14%)
Estas são porcentagens diferentes da probabilidade esperada, mas à medida que a quantidade de experimentos aumenta, a probabilidade observada se aproxima da probabilidade observada.
De modo que a relação de chance de um deles ter maior valor do que o outro, seja uma relação transitiva. Podemos pensar em um caso bastante simples:
Dado A: 1, 2, 3, 4, 5, 6
Dado B: 11, 12, 13, 14, 15, 16
Dado C: 101, 102, 103, 104, 105, 106
Nestes exemplos, temos que a chance de lançarmos os dados A e B, e o dado B ter um valor maior que o dado A, é de 100%. Do mesmo modo, ao lançarmos os dados B e C, a chance do dado C ter um valor maior que o dado B, é de 100%. Neste caso, a chance de lançarmos os dados A e C, e o dado C ter um valor maior que o dado A, também é de 100%. Este é um exemplo bastante simples de valores para os dados de modo que sua relação de qual tem a maior chance de obter um valor mais alto, seja transitiva.
Agora podemos pensar em valores para outros três dados, digamos D, E e F de modo que essa relação não se aplique. Seja criativo, chute alguns valores e vejamos o que acontece XD
Apesar de ser possível lançarmos nossos dados para verificar suas probabilidades esperadas é interessante realizarmos estes experimentos computacionalmente. Isto pode ser realizado de maneira simples com o auxílio de softwares de planilha eletrônica. A principal vantagem desta abordagem é a velocidade com que podemos realizar milhares de testes, e obter com precisão seus resultados. No caso das figuras abaixo, realizamos 100 lançamentos de cada um dos dados A, B, C, D, E, F e comparamos seus resultados em pares {A – B, A – C, B – C, D – E, D – F, E – F}, encontrando quase que de imediato, suas probabilidades esperadas juntamente com o resultado (baseado nestas probabilidades esperadas), sobre a relação ser transitiva ou não-transitiva.
Voála!
Temos nossos dados A, B e C, como dados transitivos (em relação à probabilidade de um deles ter um valor maior do que o outro).
Entretanto, temos nossos dados D, E e F, como dados não-transitivos (em relação à probabilidade de um deles ter um valor maior do que o outro).
Divertido, não acha?
(talvez não, mas pelo menos é interessante)
Caso queira saber mais sobre essas relações de transitividade e não-transitividade, ou procure um material complementar para usar em sala de aula, tem um recurso incrível no repositório Matemática Multimídia chamado “Dados não-transitivos” que traz exatamente o suporte necessário para esta discussão. Eu já utilizei dados não-transitivos no meu estágio na graduação, e achei uma proposta bem legal pois vai em contramão ao intuitivo, de pensarmos que esta relação será transitiva. Ver acontecer, e principalmente, testando com algumas centenas de experimentos, favorece esta percepção :3
Para facilitar, disponibilizo o link do recurso:
Se gostou, já usou, tem dúvidas ou simplesmente ta de boa, comenta ai.
Créditos da imagem de capa à Alexa por Pixabay
Autor: Zero