O Garlon faz vários cortes no poliedro, mas a fórmula de Euler é implacável

O título deste post é uma referência a um episódio especial de Looney Tunes chamado “Patolino o Mago” (é bem engraçado e fácil de achar este vídeo).

Mas o que ele tem a ver com fórmula de Euler?

Neste episódio o Mago enfrente o Garlon, uma espécie de demônio bem poderosa. Contudo, o Garlon lança todos os seus ataques contra o Mago, mas nenhum é capaz de ferí-lo, pois “o Mago é implacável!”.

É isso que a fórmula de Euler tem a ver com este episódio, pois não importam os cortes retos que o Garlon faça num poliedro, a relação entre faces, arestas e vértices continuará valendo, pois “a fórmula de Euler é implacável!”

Você assim como eu, que gosta do Patolino, talvez diria que a fórmula de Euler não mereça ser considerada tão implacável quanto o Mago… afinal, vamos pegar um cubo, um estilete e ver se esta formulazinha merece ser chamada de implacável…

Ok, um cubo tem 6 Faces, 8 Vértices e 12 Arestas.

A fórmula de Euler “neste caso” seria Faces + Vértices – Arestas = 2, logo, 6 + 8 – 12 = 2.

Funcionou, mas isso não impressiona ninguém…

Vamos agora fazer um corte neste cubo e ver se esta fórmula é mesmo implacável…

Vejamos o que mudou, perdemos um Vértice mas ganhamos 1 Face, 3 Vértices e 3 Arestas.

A fórmula de Euler “neste caso” seria Faces + Vértices – Arestas = 2, logo, 7 + 10 – 15 = 2.

Funcionou, mas isso também não impressiona, afinal, foi um corte muito simples…

Vamos pegar um cubo novo (com 6 Faces, 8 Vértices e 12 Arestas) e fazer algo mais ousado nele …

Agora será um pouco mais difícil de contar as Faces, Vértices e Arestas, mas vamos lá. Temos 9 Faces, 14 Vértices e 21 Arestas.

A fórmula de Euler “neste caso” seria Faces + Vértices – Arestas = 2, logo, 9 + 14 – 21 = 2.

Funcionou, isto talvez seja meio impressionante, mas não diria que merece o título de implacável…

Agora acabou a brincadeira, pegamos nosso estilete, fazemos um furo quadrado do meio de uma Face até a Face oposta, depois cortamos fazeno caa Face com furo virar outras 4 Faces.

Será um pouco difícil de contar as Faces, Vértices e Arestas, mas já estamos ficando bons nisso! Temos 16 Faces, 16 Vértices e 32 Arestas.

Faces + Vértices – Arestas = 0, logo, 16 + 16 – 32 = 0.

Opa, opa, opa… parece que funcionou! Chegamos num resultado diferente daquele bendito 2. Derrotamos a fórmula de Euler?

Errado!

Veja que nos outros exemplos que apresentei sempre coloquei entre aspas que A fórmula de Euler “neste caso” seria Faces + Vértices – Arestas = 2.

Quando digo “neste caso”, quero dizer um sólido com um total de 0 buracos.

Se o sólido tivesse um buraco (como neste exemplo) a fórmula de Euler seria Faces + Vértices – Arestas = 0.

Ou seja, após todos estes cortes, a relação continua valendo, pois a fórmula de Euler é implacável!

FIcou curioso para saber mais sobre esta fórmula poderosa ou gostaria de levá-la para seus alunos? Em ambos os casos, fica a indicação do repositório Matemática Multimídia que tem um roteiro do experimento Cortar cubos, junto a um guia do professor e dos estudantes, tudo para tirarem o melhor aproveitamento deste tema 🙂 o link está logo abaixo:

https://m3.ime.unicamp.br/recursos/1369

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Autor: Zero