Um jeito certo de calcular áreas usando a sorte
Monte Carlo
Não sei porque, mas este termo parece algo assustador. Duas palavras que juntas intimidam quem ouve falar dele. Mas deixemos esse nome pra lá um pouco e vamos pensar em coisas divertidas. Pense que tenho papel, caneta, um compasso, um saco de feijões e quero descobrir o valor da famosa constante pi, como você faria?
… chorar não é uma opção rsrsrsrsrs …
Vamos começar desenhando uma figura da qual sabemos calcular a área, algo bem simples, como um quadrado, e dentro deste quadrado, desenhamos o maior círculo possível.
Assim, o lado do quadrado terá o dobro do raio do círculo.
Com isso, a área do quadrado será (2*raio)^2 enquanto a área do círculo será pi*r^2.
Assim, a área do círculo em relação a área do quadrado será pi*r^2/4*r^2 = pi/4.
…
Legal, mas continuamos sem saber o valor de pi
…
Espera, espera, ainda não usamos os feijões XD
Se eu jogar um feijão no meu quadrado, a chance dele cair na área do círculo é de pi/4 (seja lá quanto vale pi).
Ou seja:
- se eu lançar 10 feijões no quadrado, a chance de caírem X feijões na área do círculo é de (pi/4)*10.
- se eu lançar 100 feijões no quadrado, a chance de caírem X feijões na área do círculo é de (pi/4)*100.
- se eu lançar 1000 feijões no quadrado, a chance de caírem X feijões na área do círculo é de (pi/4)*1000.
Fiz os testes (perdão, mas usei uma planilha eletrônica para isso), e obtive os seguintes resultados:
- dos 10 feijões lançados: 6 caíram dentro do círculo.
- dos 100 feijões lançados: 79 caíram dentro do círculo.
- dos 1000 feijões lançados: 779 caíram dentro do círculo.
Com estes valores em mãos, podemos reescrever as expressões anteriores.
- 6 = (pi/4)*10
- 79 = (pi/4)*100
- 779 = (pi/4)*1000
Isolando o valor de pi para cada um destes experimentos, encontramos:
- pi = 6*4/10 = 2,4.
- pi = 79*4/100 = 3,16.
- pi = 779*4/1000 = 3,116.
Assim, quanto mais feijões jogarmos, mais certa será a distribuição da probabilidade encontrada:
N*4/M = pi, onde N são os feijões que caíram dentro do círculo, e M é o total de feijões lançados.
De forma análoga, para uma figura de área desconhecida, dentro de uma região de área conhecida. A ideia segue exatamente a mesma, seja X a área da figura desconhecida, Y a área conhecida, N os feijões que caíram dentro dela e M o total de feijões lançados, teremos:
N/M = X/Y
Faremos um exemplo com um quadrado de lado 1 m, e dentro dele existe uma figura de área desconhecida.
Ao lançarmos 100 feijões neste quadrado.
Tivemos 37 feijões dentro da região.
Ou seja:
- N = 37
- M = 100
- Y = 1m^2
Logo:
37/100 = X/1m^2
37*1m^2/100 = X
0,37 m^2 = X
Ou seja, a área estimada para minha figura é de 0,37 m^2.
Claro que precisamos de duas coisas, um grande número de feijões, e a garantia de que eles foram jogados de forma aleatória. Assim, a medida que aumentamos a quantidade de feijões, devemos chegar cada vez mais perto da área que queremos.
O mais legal disso é que sequer precisamos saber como a figura se parece, a região poderia ser uma piscina, e ao lançar os feijões somente ouviriamos “toc” se cair no piso, e “plot” se cair na água. Só sabendo quantos caíram na água e no piso, podemos aproximar a área da piscina.
Prazer, este é o Método de Monte Carlo :3
Na Coleção Matemática Multimídia tem um experimento chamado O método de Monte Carlo que permite determinar a área do mapa do Brasil.
Para facilitar o acesso, disponiblizo o link abaixo:
Fique a vontade para comentar, um abraço!
Autoria: Zero
Como referenciar este conteúdo em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023/2018):
SILVA, Marcos Henrique de Paula Dias da. Um jeito certo de calcular áreas usando a sorte. In: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. M³ – Blog de Ciência da Unicamp. Volume 12. Ed. 1. 2º semestre de 2024. Campinas, 9 dezembro 2024. Disponível em: https://www.blogs.unicamp.br/m3/1058. Acesso em: <data-de-hoje>.