Um jeito certo de calcular áreas usando a sorte

Monte Carlo

Não sei porque, mas este termo parece algo assustador. Duas palavras que juntas intimidam quem ouve falar dele. Mas deixemos esse nome pra lá um pouco e vamos pensar em coisas divertidas. Pense que tenho papel, caneta, um compasso, um saco de feijões e quero descobrir o valor da famosa constante pi, como você faria?

… chorar não é uma opção rsrsrsrsrs …

Vamos começar desenhando uma figura da qual sabemos calcular a área, algo bem simples, como um quadrado, e dentro deste quadrado, desenhamos o maior círculo possível.

Assim, o lado do quadrado terá o dobro do raio do círculo.

Com isso, a área do quadrado será (2*raio)^2 enquanto a área do círculo será pi*r^2.

Assim, a área do círculo em relação a área do quadrado será pi*r^2/4*r^2 = pi/4.

Legal, mas continuamos sem saber o valor de pi

Espera, espera, ainda não usamos os feijões XD

Se eu jogar um feijão no meu quadrado, a chance dele cair na área do círculo é de pi/4 (seja lá quanto vale pi).

Ou seja:

  • se eu lançar 10 feijões no quadrado, a chance de caírem X feijões na área do círculo é de (pi/4)*10.
  • se eu lançar 100 feijões no quadrado, a chance de caírem X feijões na área do círculo é de (pi/4)*100.
  • se eu lançar 1000 feijões no quadrado, a chance de caírem X feijões na área do círculo é de (pi/4)*1000.

Fiz os testes (perdão, mas usei uma planilha eletrônica para isso), e obtive os seguintes resultados:

  • dos 10 feijões lançados: 6 caíram dentro do círculo.
  • dos 100 feijões lançados: 79 caíram dentro do círculo.
  • dos 1000 feijões lançados: 779 caíram dentro do círculo.

Com estes valores em mãos, podemos reescrever as expressões anteriores.

  • 6 = (pi/4)*10
  • 79 = (pi/4)*100
  • 779 = (pi/4)*1000

Isolando o valor de pi para cada um destes experimentos, encontramos:

  • pi = 6*4/10 = 2,4.
  • pi = 79*4/100 = 3,16.
  • pi = 779*4/1000 = 3,116.

Assim, quanto mais feijões jogarmos, mais certa será a distribuição da probabilidade encontrada:

N*4/M = pi, onde N são os feijões que caíram dentro do círculo, e M é o total de feijões lançados.

De forma análoga, para uma figura de área desconhecida, dentro de uma região de área conhecida. A ideia segue exatamente a mesma, seja X a área da figura desconhecida, Y a área conhecida, N os feijões que caíram dentro dela e M o total de feijões lançados, teremos:

N/M = X/Y

Faremos um exemplo com um quadrado de lado 1 m, e dentro dele existe uma figura de área desconhecida.

Ao lançarmos 100 feijões neste quadrado.

Tivemos 37 feijões dentro da região.

Ou seja:

  • N = 37
  • M = 100
  • Y = 1m^2

Logo:

37/100 = X/1m^2

37*1m^2/100 = X

0,37 m^2 = X

Ou seja, a área estimada para minha figura é de 0,37 m^2.

Claro que precisamos de duas coisas, um grande número de feijões, e a garantia de que eles foram jogados de forma aleatória. Assim, a medida que aumentamos a quantidade de feijões, devemos chegar cada vez mais perto da área que queremos.

O mais legal disso é que sequer precisamos saber como a figura se parece, a região poderia ser uma piscina, e ao lançar os feijões somente ouviriamos “toc” se cair no piso, e “plot” se cair na água. Só sabendo quantos caíram na água e no piso, podemos aproximar a área da piscina.

Prazer, este é o Método de Monte Carlo :3

Na Coleção Matemática Multimídia tem um experimento chamado O método de Monte Carlo que permite determinar a área do mapa do Brasil.

O método de Monte Carlo

Para facilitar o acesso, disponiblizo o link abaixo:

O método de Monte Carlo

Fique a vontade para comentar, um abraço!


Autoria: Zero

Como referenciar este conteúdo em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023/2018):

SILVA, Marcos Henrique de Paula Dias da. Um jeito certo de calcular áreas usando a sorte. In: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. M³ – Blog de Ciência da UnicampVolume 12. Ed. 1. 2º semestre de 2024. Campinas, 9 dezembro 2024. Disponível em: https://www.blogs.unicamp.br/m3/1058. Acesso em: <data-de-hoje>.

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