Uma experiência didática com grafos, parte 1: Pontes de Könisgsberg

Embora a Teoria dos Grafos não faça parte do currículo de Matemática no Ensino Médio, ela se relaciona a outros conteúdos curriculares como por exemplo Matrizes, Análise Combinatória, e em problemas aplicados às áreas de Informática, Engenharia e Química.

Mas falar que se relacionam a conteúdos e mostrar como se relacionam na prática, são coisas bem diferentes. Assim, nesse post contarei para vocês um pouco de como foram minhas experiências docente trabalhando com grafos com o 2o Ano do Ensino Médio, espero que gostem.

Meus alunos já haviam visto conteúdos relacionados à Matrizes, assim, tive apenas que retomar alguns tópicos de forma geral, para então iniciarmos a atividade dividindo a turma em duplas e distribuindo folhas com a seguinte imagem.

Imagem extraída do recurso: Caminhos e grafos

Para que os alunos pudessem compreender o desafio de cruzar as 7 pontes e se envolverem com a história desse problema, passei o áudio As pontes de Königsberg.

Extraído do recurso: As pontes de Königsberg

Em seguida os alunos foram incentivados a encontrarem uma solução. As duplas fizeram as tentativas e depois de alguns minutos avisei que o problema não tem solução e que veríamos o motivo disso nas próximas atividades.

Para que a próxima etapa fosse realizada com sucesso, introduzi os conceitos de vértice, aresta e caminho fechado, depois, distribui as plantas abaixo junto ao desafio de passar por todas as salas cruzando cada porta apenas uma vez. Ao passo que os alunos já tiveram a experiência com o problema das pontes, e que estes agora eram mais simples de se tratar.

Imagem extraída do recurso: Caminhos e grafos
Imagem extraída do recurso: Caminhos e grafos

Apesar do empenho dos alunos na realização da atividade e da semelhança entre os problemas das pontes e das portas, os alunos pareceram não associá-los (pontes ≠ portas?). Dando sequência, apresentamos mais dois desafios, agora envolvendo rota para entrega de mercadorias (no caso, jornais).

Imagem extraída do recurso: Caminhos e grafos
Imagem extraída do recurso: Caminhos e grafos

Por fim, os alunos foram desafiados a descobrir porque em alguns grafos era possível e em outros não, sair e voltar ao mesmo vértice passando por todos os outros vértices, sem passar pela mesma aresta mais de uma vez.

As discussões entre as duplas foram muito proveitosas, até que um dos participantes sugeriu que, “para eu entrar em um vértice teremos que ter um caminho novo para pode sair”. Esse foi o ponto de partida para uma conclusão parcial do conceito em questão.

No final da aula, um dos alunos associou estas atividades a um desafio que lhes foi apresentado no Ensino Fundamental I, O problema das ligações de água, luz e telefone (a inexistência de solução desse problema é discutida na Revista Professor de Matemática).

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O conteúdo dessa experiência na íntegra pode ser encontrado na minha dissertação de mestrado:

https://repositorio.unesp.br/handle/11449/152457

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O recurso completo junto ao guia do professor pode ser encontrado no endereço abaixo:

https://m3.ime.unicamp.br/recursos/1368

https://m3.ime.unicamp.br/recursos/1258

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Se gostou, tem alguma dúvida ou crítica, por favor poste nos comentários.

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Imagem de capa extraída do próprio recurso do M³.

Autora: Flavia Fernanda Favaro

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