Experimento dos tanques alemães

O problema dos Tanques Alemães na 2a Guerra Mundial é bastante famoso na história da matemática, não pretendo explicar os conceitos por trás dele já que inúmeros posts e artigos muito melhor escritos já o fazem. Contudo reservo esse espaço para apresentá-lo rapidamente e expor um experimento que desenvolvi relacionado ao tema.

• Na segunda guerra mundial os aliados queriam saber quanto tanques alemães eram fabricados, para isso tinham duas vertentes, a espionagem e a estatística. Após a guerra conferiram os valores estimados por ambas as vertentes, e constataram que a abordagem estatística foi absurdamente mais precisa do que aquela feita pelos espiões.
• A abordagem estatística envolvia investigar os números de séries encontrados nos tanques capturados, e a partir da amplitude dessas amostras, estimar quantos foram feitos.
  • Na moral, tem bem mais detalhes, vale muito a pena pesquisar essa história :3

Voltando agora para o experimento, a ideia é pegar dois objetos compostos por peças que possam ser desmontadas, ou fazer o objeto com papel ou lego, o material é da sua preferência. No caso, eu fiz dois cubinhos usando 8 cartões de visitas cada um (há vários tutoriais explicando como fazer isso), e desenhei em cada uma das suas 6 faces, partes de um tanque de guerra. Agora, imagine que esses dois tanques inimigos foram capturados pelos aliados, olhando os números de série dos tanques (na parte de trás deles) descobrimos que são #148 e #366, e fica a pergunta, qual estimativa do total de tanques inimigos?

Para início de conversa, não podemos garantir que essa seriação comece do 1, assim considerando que ela seja unitária, devem existir pelo menos 218 tanques (366 – 148 + 1). Porém resta a dúvida, como estimar o total de tanques? Uma forma de fazer isso é utilizar uma estimativa frequentista, com um total de observações K igual à 2, e uma amplitude M de 218, temos:

M*(1 + 1/K) – 1 = 218*(3/2) – 1 = 326

Ficamos então com a estimativa de que existam 326 tanques inimigos, mas historicamente, digo isso pois foi o que ocorreu, já que os aliados desmontaram os tanques para acrescentar seus números de série na amostragem, assim, repetindo essa ideia, demonstei meus cubinhos e organizei suas peças em cima do meu teclado, como você pode ver na figura abaixo.

Agora ao procurarmos na parte de dentro das peças (virando os cartõezinhos), encontramos os seguintes números de série: 87; 289; 272; 359; 372; 209; 57; 214; 389; 369; 250; 125.

Mas atenção, nesse problema estamos supondo que a seriação das peças tenha se iniciado junto com a produção dos tanques, cada peça serve somente para os tanques, e que não sabemos se já haviam tanques anteriores à essa produção (isto é, não assumimos que a contagem comece com o número de seriação 1).

Utilizando novamente a estimativa frequentista, mas agora assumindo que nosso total de observações K seja 14 (6 peças de cada tanque + o número de série do tanque pronto), encontramos a amplitude M de 333, e chegamos na seguinte estimativa:

M*(1 + 1/K) – 1 = 333*(15/14) – 1 = 356

Por outro lado, com essa quantidade de amostras, podemos também utilizar uma estimativa bayesiana, e chegar em 360±30.

Contudo, se assumirmos que a seriação tenha começado do 1, podemos recalcular as estimativas frequentistas e bayesianas, mantendo o número de observações K igual à 14, mas a amplitude M passando a ter um mínimo predeterminado (a série começa em 1), e tendo seu máximo observado no número de série no topo de um dos tanques, igual à 389.

Frequentista: 416

Bayesiana: 420±35

Para fins de curiosidade, os valores escolhidos para o exemplo desse experimento dentro de um variação de 400 números de série, começando do 1 e indo até o 400 (assim, se soubéssemos que a seriação começava no 1, teríamos uma estimativa melhor).

Como disse no início desse post, a intenção aqui não é explicar sobre o problema, nem tampouco dar uma aula de estimativa frequentista ou bayesiana (nem conseguiria fazer isso…), mas compartilhar um experimento que pretendo utilizar em minhas aulas este semestre :3

Inclusive, tem um outro experimento da Coleção Matemática Multimídia que poderia complementar este (não tão legal quanto tanques de guerra), sobre determinar Quantos peixes há no lago?. Nele os alunos enchem uma caixinha com 300-900 papeizinhos quadrados para representar peixinhos, depois retiram 20 peixes da caixa, contam quantos não foram pintados, pintam-os e devolvem-os para a caixa, e repetindo este processo passa a ser possível após 7 “pescarias” estimar com uma boa aproximação, o total de peixes no lago.

A ideia desse experimento é partir de uma informação conhecida (quantos peixes pintados tem no lago) e da quantidade de peixes pintados em uma amostragem, para determinar o total de peixes no lago. Para entender melhor, no quadro abaixo extraídos dos materiais do próprio repositório, vemos que o total de peixes pintados no lago é conhecida (já que somos nós quem pintamos os peixes não pintados em cada amostragem), e que podemos determinar em cada amostra, a % dos peixes pintados. Por exemplo, se amostramos 20 peixes, e 4 eram pintados, então 20% da amostra está pintada.

Por fim, se a amostra é de fato representativa (isso é uma suposição), temos que a % de peixes pintados na amostra é próxima da % de peixes pintados no lago. Assim, se tiramos na amostra 20% de peixes pintados, e sabemos que no lago há 91 peixes pintados, podemos estimar que o total dos peixes seja 20% pintados (91 peixes), e os outros 80% não-pintados (728 peixes). A proposta é interessante, e agora repensando (sim, eu escrevo o post enquanto tenho as ideias) talvez seja mais proveitosa de ser utilizada antes do trabalho com os tanques alemães, já que seus cálculos são bem mais simples de serem explicados/justificados.

Enfim, disponibilizo o link para o recurso abaixo e quando realizar o experimento dos tanques alemães, volto aqui para contar como foi :3

https://m3.ime.unicamp.br/recursos/1373

Fique a vontade para comentar, um abraço!

Autoria: Zero

Como referenciar este conteúdo em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023/2018):

SILVA, Marcos Henrique de Paula Dias da. Experimento dos tanques alemães. In: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. M³ – Blog de Ciência da Unicamp. Volume 11. Ed. 1. 1º semestre de 2024. Campinas, 14 fev. 2024. Disponível em: https://www.blogs.unicamp.br/m3/1008. Acesso em: <data-de-hoje>.