Calculando o volume deste paralelepípedo

Quando olhamos para um cartão de visitas (como este na imagem de capa do post) pensamos que ele é um retângulo. Contudo, retângulos são entidades bidimensionais, e o que estou segurando certamente tem pelo menos três dimensões (dê uma olhada nesse post Cubo instantâneo para entender porque disse “pelo menos três”) espaciais. Por padrão, cartões de visita têm dimensões de largura e altura de 0,08 m e 0,05 m, isso nos dá uma área de 0,004 m², mas como calcular seu volume?

Medir com uma régua sua grossura (terceira dimensão) parece um tanto frustrante, pois nossas réguas convencionais possuem precisão de milímetros, enquanto a grossura desse cartão está abaixo desta unidade. Mas e se reunirmos cartões o suficiente para chegar em 1 mm? Parece uma boa ideia, que tal testar?

Sucesso, com 3 cartões, consegui a marca de 1 mm. Agora posso afirmar que o volume desse cartão é (0,08 m)(0,05 m)(0,01/3 m) = 0.0000133 m³. Porém, será que essa é uma boa aproximação para sua grossura? Sinceramente eu não sei, mas posso descobrir ao reduzir minha margem de erro!

Para isso em vez de reunir cartões o suficiente para chegar em 1 mm, reunirei o suficiente para chegar a 1 cm.

Sucesso, com 26 cartões, consegui a marca de 1 cm. Agora posso afirmar que o volume desse cartão é (0,08 m)(0,05 m)(0,01/26 m) = 0,00000153 m³. Porém, será que essa é uma boa aproximação para sua grossura? Ela parece melhor do que a aproximação anterior, pois o erro resultante de eu ter colocado um cartão a mais ou a menos na última medida (com 1 mm) era de 1/2 e 1/4 da medida encontrada, algo entre 25% e 50% do valor para mais ou para menos. Agora, se eu me enganei ao colocar um cartão a mais ou a menos, meu erro resultante é de 1/25 e 1/27 da medida encontrada, algo entre 3,7% e 4% do valor para mais ou para menos.

Mas posso melhorar ainda mais minha aproximação, para isso reunirei o suficiente para chegar em 10 cm (vai dar um trabalhinho contar isso, mas vamos lá).

Sucesso, com 257 cartões, consegui a marca de 10 cm. Agora posso afirmar que o volume desse cartão é (0,08 m)(0,05 m)(0,1/257 m) = 0,00000155 m³. Ela parece melhor do que a aproximação anterior, pois o erro resultante de eu ter colocado um cartão a mais ou a menos na última medida (com 1 cm) era de 1/25 e 1/27 da medida encontrada, algo entre 3,7% e 4% do valor para mais ou para menos. Agora, se eu me enganei ao colocar um cartão a mais ou a menos, meu erro resultante é de 1/256 e 1/258 da medida encontrada, algo entre 0,38% e 0,39% do valor para mais ou para menos.

Veja que legal, começamos com uma aproximação de que cada cartão tem grossura igual à 1/3 mm (0,3333 mm).

Avançamos para uma aproximação de que cada cartão tem grossura igual à 10/26 mm (0,3846 mm).

Chegamos ao final, em uma aproximação de que cada cartão tem grossura igual à 100/256 mm (0,3906 mm).

Pensando agora de trás pra frente, se temos um paralelepípedo formado por 1000 cartões de visita (quantidade comum vendida em gráficas), podemos esperar que ele tenha volume igual à 1000*(0,08 m)(0,05 m)(0,1/256 m) ~ 0,0015 m³.

E ai, curtiu nossa discussão?

Você conseguiria explicar para um matemático sobre o que fizemos aqui?

Por sorte, se você falar em “Princípio de Cavalieri” boa parte dos matemáticos entenderá rapidamente o que foi feito. Isso porque fizemos basicamente uma aplicação do Princípio de Cavalieri para paralelepípedos, mas esse princípio é poderoso, pode nos ajudar em diversos outros cálculos de volumes, como a terrível esfera!!!! Enfim, existe um material bem detalhado e com ótimos roteiros para você professor ou aluno acompanharem esta discussão e entenderem mais desse assunto. Tudo isso encontra-se na Coleção Matemática Multimídia, nos recursos intitulados 3, 2, 1 – mistério, Volume, cones e cilindros, Volume de Pirâmides. Para facilitar, seguem os links dos recursos:

https://m3.ime.unicamp.br/recursos/1040

https://m3.ime.unicamp.br/recursos/1326

https://m3.ime.unicamp.br/recursos/1039

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Autor: Zero

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