O mistério de π=4

π deve ser o mais famoso dos números… as pessoas parecem fazer diversas associações estranhas quanto ao seu significado. Existe até mesmo um filme de ficção científica no qual conseguem descobrir o último dígito decimal de π (apesar deste “dígito” hipotético não existir), e isto possibilita o protagonista prever as variações nas bolsas de valores do mundo inteiro. Apesar de toda esta popularidade, o significado de π é um pouco “mais sem graça” do que parece. π significa o perímetro de um círculo de diâmetro 1 unidade.

Linha vermelha tem comprimento π unidades.

Porém, o perímetro deste círculo é um Número Irracional, assim somente pode ser tratado nos cálculos decimais pela sua aproximação. Apesar de algumas pessoas acharem legal lembrar de muitas casas decimais da aproximação de π, sinceramente para qualquer problema que você precise de uma aproximação de melhor do que 3,141592 provavelmente estará resolvendo com algum software, que te dará umas 100 casas do π automaticamente.

Neste texto discutimos a respeito de um meme que circula envolvendo o “cálculo” de π de forma que ele dê 4.

Em algumas respostas a este meme, quem o critica sugere que a figura formada deveria ser um losango… porém esta conclusão está errada. Podemos realmente ter um “círculo” de diâmetro 1 e perímetro 4. Mas para entender como é possível construirmos um “círculo” nestas condições, é interessante primeiro discutirmos um pouco sobre fractais.

Imagine um triângulo equilátero de lado 1. Sem nenhum mistério, sabemos que seu perímetro é igual a 3.

Então segmentamos cada uma de suas arestas em três partes. E criamos no centro de cada aresta, um novo triângulo equilátero com lado 1/3. Agora esta nova figura tem 12 arestas, cada uma com tamanho 1/3, dessa forma seu perímetro é 4.

Então segmentamos cada uma de suas arestas em três partes. E criamos no centro de cada aresta, um novo triângulo equilátero com lado 1/27. Agora esta nova figura tem 192 arestas, cada uma com tamanho 1/27, dessa forma seu perímetro é aproximadamente 7,11.

Então segmentamos cada uma de suas arestas em três partes. E criamos no centro de cada aresta, um novo triângulo equilátero com lado 1/81. Agora esta nova figura tem 768 arestas, cada uma com tamanho 1/81, dessa forma seu perímetro é aproximadamente 9,48.

O processo pode ser continuado indefinidamente. Levando a construção de uma figura conhecida como Ilha de Koch, que possuí área finita, porém perímetro infinito. Uma característica peculiar desta figura diz respeito a todo o seu perímetro ser formado por pontos de inflexão (bicos), o que a faz não derivável para qualquer ponto.

Este mesmo princípio pode ser aplicado para transformar um quadrado em um “círculo”. Transformando cada vértice com ângulo interno de 90 graus, em outros três vértices como apresentado no meme, preservamos o perímetro da figura, porém forçamos que sua área seja igual a área de um círculo.

Assim, não importa o quanto nos aproximarmos, a figura sempre parecerá um círculo (pois o processo foi repetido infinitas vezes), contudo assim como o caso da Ilha de Koch, este “círculo” é todo formado por pontos de inflexão (bicos), o que faz dele não derivável para qualquer ponto (detalhe: círculos são deriváveis em todos os pontos).

2 thoughts on “O mistério de π=4

Deixe um comentário

O seu endereço de e-mail não será publicado. Campos obrigatórios são marcados com *