Mudar ou não mudar de porta?

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Na teoria da probabilidade, existe um famoso paradigma relacionado a um apresentador de TV conhecido por Monty Hall. Na parte final do show, os participantes escolhiam na sorte entre 3 portas com prêmios muito bons (como um carro novo) e prêmios satisfatórios (como um piano).

Com base nesse contexto (mas diferente do que acontecia no show), é proposto o seguinte problema: Se atrás das portas tivermos dois bodes e um carro novo, e após a escolha do participante, o apresentador revela o que estava por trás de um das outras duas portas não escolhidas, e pergunta se o participante deseja permanecer na porta escolhida ou se o participante deseja mudar a porta. Qual é a melhor estratégia?

Essa questão suscita muita discussão, porque aparentemente no momento em que podemos trocar de porta, temos apenas duas opções, uma com o prêmio e outra com o bode (supondo que o participante não considere o bode como um prêmio). Ou seja, pode parecer que temos 50% de chance de ganhar ou perder.

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No entanto, a situação é diferente. O apresentador não abriu aleatoriamente uma das duas portas restantes. O apresentador sabe muito bem o que está por trás de cada porta e, com isso, abriu uma porta que não tinha o prêmio. Dessa forma, toda a decisão do participante gira em torno de uma questão: eu escolhi inicialmente uma porta com o prêmio ou uma porta com um bode? Pois é exatamente isso que significa trocar de portas. Mudar a porta é acreditar que escolheu a porta com o bode, manter-se na mesma porta é acreditar que escolheu a porta com o prêmio.

Nessa situação, a escolha inicial da porta certa é 1/3 e a porta errada é 2/3. O principal problema desse raciocínio é não garantir que a troca de portas dê ao participante o prêmio, é apenas uma questão de probabilidade. Por exemplo, fiz alguns testes de amostra sem trocar a porta:

Para 10 testes, 50% das vezes escolheram a porta com o prêmio;

Para 100 testes, 32% das vezes escolheram a porta com o prêmio;

Para 200 testes, 34% das vezes escolheram a porta com o prêmio;

Para 1.000 testes, 31,8% das vezes escolheram a porta com o prêmio;

Para 10.000 testes, 33,1% das vezes escolheram a porta com o prêmio.

Seguindo a mesma lógica, podemos propor um caso um pouco mais fácil de entender. Se tivéssemos 4 portas, e após a primeira escolha, o apresentador abre 2 portas e pergunta se o participante quer mudar ou não. Nesse caso, a chance de escolher inicialmente a porta com o prêmio é de 1/4, enquanto a chance de escolher o bode é de 3/4.

Com esse padrão, aumentando o número de portas e mantendo apenas um prêmio temos:

Para 3 portas, 1/3 para escolher inicialmente a porta com o prêmio, 2/3 para escolher o bode;

Para 4 portas, 1/4 para escolher inicialmente a porta com o prêmio, 3/4 para escolher o bode;

Para 5 portas, 1/5 para escolher inicialmente a porta com o prêmio, 4/5 para escolher o bode;

Para 6 portas, 1/6 para escolher inicialmente a porta com o prêmio, 5/6 para escolher o bode;

Para 7 portas, 1/7 para escolher inicialmente a porta com o prêmio, 6/7 para escolher o bode;

Para 8 portas, 1/8 para escolher inicialmente a porta com o prêmio, 7/8 para escolher o bode;

Para 9 portas, 1/9 para escolher inicialmente a porta com o prêmio, 8/9 para escolher o bode;

Para 10 portas, 1/10 para escolher inicialmente a porta com o prêmio, 9/10 para escolher o bode;

Para 100 portas, 1/100 para escolher inicialmente a porta com o prêmio, 99/100 para escolher o bode;

Para 1000 portas, 1/1000 de inicialmente escolhe a porta com o prêmio, 999/1000 para escolher o bode.

Por outro lado, se houvessem 2 prêmios e 4 portas, teríamos 2/4 de chance de escolher a porta com o prêmio. Nesse cenário, as opções para o apresentador são:

1. O apresentador mostra uma porta com o bode;

2. O apresentador mostra uma porta com o bode e uma porta com prêmio;

3. O apresentador mostra uma porta do prêmio.

Nos três casos, o participante tem 2/4 de chance de ter escolhido inicialmente a porta com o prêmio.

No primeiro caso, mudar significa uma nova opção, pois há uma porta com o bode e duas portas com o prêmio. Dessa forma, temos 9 opções (listadas abaixo). Não mudar a porta, significa acreditar que você escolheu inicialmente um dos prêmios, por isso temos três situações em que isso ocorre, e dessas em uma terminamos com o bode. Da mesma forma, trocar uma porta significa acreditar que na nova escolha você encontrará um prêmio. Nesse caso, temos 6 situações em que isso ocorre, das quais em quatro terminamos com prêmios. Ou seja, nos dois casos, temos 2/3 de chance de receber o prêmio, por isso é indiferente mudar a porta ou não.

Ele escolheu o bode, ele ganhou o bode;

Ele escolheu o bode; alterado para o prêmio 1;

Ele escolheu o bode; alterado para o prêmio 2;

Ele escolheu o prêmio 1; mudou para o bode;

Ele escolheu o prêmio 1; ganhou o prêmio 1;

Ele escolheu o prêmio 1; alterado para o prêmio 2;

Ele escolheu o prêmio 2; ganhou o prêmio 2;

Ele escolheu o prêmio 2; mudou para o bode;

Ele escolheu o prêmio 2; alterado para o prêmio 1.

No segundo caso, temos 4 opções, destas em duas terminamos com o bode e em duas terminamos com o prêmio. Trocar a porta ou não, neste caso é indiferente, pois ambos teremos 50% de chance de ganhar.

Ele escolheu o bode, ele ganhou o bode;

Ele escolheu o bode; alterado para o prêmio;

Ele escolheu o prêmio; ele ganhou o prêmio;

Ele escolheu o prêmio; mudou paro bode.

No terceiro caso, mudar significa uma nova escolha, pois há em jogo duas portas com bode e uma com o prêmio. Dessa forma, temos 9 opções (listadas abaixo). Não trocar a porta, significa acreditar que você escolheu o prêmio inicialmente, então temos 3 situações em que isso ocorre, e dessas em 2 terminamos com o bode. Da mesma forma, trocar uma porta significa acreditar que na nova escolha você encontrará o prêmio. Nesse caso, temos seis situações em que isso ocorre, das quais em quatro terminamos com o bode. Ou seja, em ambos os casos, temos uma chance de 1/3 de receber o prêmio, por isso é indiferente mudar a porta ou não.

Ele escolheu o bode 1, ele ganhou o bode 1;

Ele escolheu o bode 1; alterado paro bode 2;

Ele escolheu o bode 1; alterado para o prêmio;

Ele escolheu o prêmio; ele ganhou o prêmio;

Ele escolheu o prêmio; alterado paro bode 1;

Ele escolheu o prêmio; alterado paro bode 2.

Problemas semelhantes podem ser construídos propondo N portas e M prêmios, de modo que M + 1 < N. Para encerrar faremos um caso mais divertido. Suponha que o apresentador não saiba o que tem atrás de cada porta, e que o participante não veja o conteúdo das portas após o apresentar tê-las aberto. Assim, o participante escolhe uma das N portas, o apresentador abre outras N-2 portas e pergunta se o participante deseja permanecer na sua porta, ou prefere trocar. Talvez agora o resultado seja indiferente, tanto faz ficar ou trocar?

Neste caso, realmente é indiferente trocar ou não, pois o prêmio pode já ter sido revelado e o participante não sabe. Ou seja, ele pode trocar um bode por outro bode. Se analisarmos as possibilidades deste problema, a chance do participante ter escolhido a porta com o prêmio é 1/N, logo seu complementar é (N-1)/N. Então a chance do apresentador não ter aberto a porta com o prêmio dado que o participante não a escolheu é:

(1/N-1).(N-1/N) = 1/N.

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