Qual é o máximo de jogadas em um Jenga Gigante?

Você pode até não conhecer por nome, mas certamente já viu um jogo de pecinhas de madeira empilhadas no qual as pessoas vão retirando-as da base colocando no topo até que alguém derrube a torre. Prazer, esse jogo se chama Jenga. A versão com peçonas que nem mostra na foto de capa é conhecida como Jenga Gigante.

O número mínimo de jogadas é bem fácil de calcular, 0. A pessoa derruba a torre sem tirar nenhuma peça.

Mas para calcularmos o número máximo de jogadas, precisamos lembrar de como se joga.

Em uma torre de N andares, se o topo da torre estiver completo, você pode tirar qualquer peça do térreo até o andar N-2.

Em uma torre de N andares, se o topo da torre estiver com uma ou duas peças, você pode tirar qualquer peça do térreo até o andar N-3.

Vamos assumir também que o mínimo de peças que possamos tirar de um andar é 0, enquanto o máximo de peças que podemos tirar de um andar seja 2.

Assim, se temos inicialmente 18 andares, cada um com 3 peças, podemos pensar que a resposta seja 18*3 – 18 = 36 (total de peças menos as 18 correspondentes a coluna central da torre inicialmente montada). Porém longe disso!

A regra da quantidade de peças no topo nos diz muito sobre o resto da divisão inteira por 3 (chamado de mod[3]).

Seja X a quantidade atual de jogadas realizadas:
se X mod[3] = 0, então há exatamente 3 peças no topo da torre;
se X mod[3] = 1, então há exatamente 1 peça no topo da torre;
se X mod[3] = 2, então há exatamente 2 peças no topo da torre.

Como há pelo menos dois andares completos no topo da torre, podemos imaginar que essas 6 peças sejam fixas (nunca poderemos mexer nelas), assim restam-nos 48 peças em 16 andares para jogar.

O máximo que podemos tirar de cada andar é 2 peças, então podemos tirar no máximo 32 peças. Mas esse valor se altera dependendo da divisibilidade atual do número de jogadas (vou mostrar abaixo):

Jogadas realizadasPeças disponíveis para retirar
032
131
230
331

Veja que o número de peças disponíveis para retirar após a terceira jogada aumentou. Isso ocorreu, pois formamos mais um andar completo.

E assim essa estrutura segue, de modo que apenas após 92 jogadas teremos um total de 0 peças disponíveis para retirar.

Como 92 mod[3] = 2, isso significa que teremos uma torre de 49 andares (16 iniciais, +2 andares fixos, +90/3 andares + 1 andar com 2 peças no topo).

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