Torneio do Cell

Circula na internet um meme relacionado ao torneio de artes marciais realizado pelo Cell (antagonista da 3a saga de Dragon Ball Z). Na parte de cima dos quadros que compõe o meme, vemos Cell levitando um enorme paralelepípedo de pedra e cortando-o em placas (4x4x7).

Na parte de baixo do meme, mostra a arena do torneio montada com 10×10 placas. O meme ironiza para onde foram 12 das placas, já que 4x4x7 = 112, enquanto 10×10 = 100.

Adianto que atualmente não gosto da saga do Cell, embora quando criança/adolescente achava ela muito dahora… enfim, não vou entrar em detalhes.

Esse meme levanta uma questão bem interessante. Seria possível cortar um paralelepípedo formando uma quantidade de placas iguais e suficientes para montar uma arena com a mesma quantidade de placas na horizontal e na vertical? (detalhe, não sei a resposta, estou escrevendo o post enquanto penso no tema)

Existe sim (acabei de perceber uma solução bem simples)! Podemos não cortar o paralelepípedo, e assim temos uma arena com 1×1. Ok, essa é a solução trivial do problema, e ela não nos interessa… então, vamos procurar soluções não triviais. Para isso reescreveremos o problema de um jeito mais fácil de tratá-lo algebricamente:

A quantidade de peças do paralelepípedo é dada pelo produto do total de cortes em cada eixo ortogonal do plano tridimensional. Assim, para A, B e C cortes, temos (A + 1)*(B + 1)*(C + 1) placas, podemos simplificar isto considerando que D, E e F equivalem respectivamente a (A + 1), (B + 1) e (C + 1), sendo D, E e F números Naturais. Assim, queremos encontrar 3 números Naturais tais que D*E*F sejam iguais a um número Natural G elevado ao quadrado. Ou seja:

D*E*F = G², para D, E, F, G ∈ ℕ, D, E, F, G > 1.

Simplificando nossa expressão, temos que:

√(D*E*F) ∈ ℕ

Agora se representarmos a raiz-quadrada como uma potência, temos:

(D*E*F)^(1/2) ∈ ℕ

Ou seja,

(D^1/2)*(E^1/2)*(F^1/2) ∈ ℕ

Assim, temos uma quantidade infinita de soluções, desde que pelo menos um dos três valores (D, E, F) for um quadrado perfeito. Assim, basta que o produto dos outros dois termos também seja um quadrado perfeito.

Por exemplo:

• Se D = 4, e E*F = 9, temos que D*E*F = 36.
• Se D = 9, e E*F = 16, temos que D*E*F = 324.

Mas pelo que podemos notar, é impossível criarmos uma arena 10×10 assim, uma vez que precisaríamos escrever 10×10 como o produto de dois quadrados perfeitos. Ou seja, qualquer arena pode ser criada, desde que ela tenha dimensões dadas por G²*H², assumindo é claro que G e H sejam maiores do que 1.

Assim, podemos restringir o tamanho das arenas com menos de 100 placas a apenas 4 casos:

• 4*4 = 16
• 4*9 = 36
• 4*16 = 64
• 9*9 = 81

Achei divertidinho escrever este post (a princípio pensei que nem teria solução, mas acabei me surpreendendo :3 )

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Como referenciar este conteúdo em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023/2018):

SILVA, Marcos Henrique de Paula Dias da. Torneio do Cell. In: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero – Blog de Ciência da Unicamp. Volume 13. Ed. 1. 1º semestre de 2025. Campinas, 31 de março de 2025. Disponível em: https://www.blogs.unicamp.br/zero/6008/. Acesso em: <data-de-hoje>.